Изменения

Теорема Гринберга== Базовые определения =={{Определение|definition='''Подграф''' (англ. ''subgraph'') исходного графа {{---}} граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и некое подмножество инцидентных им рёбер. По отношению к подграфу исходный граф называется суперграфом.}} {{Определение|definition='''Бонд''' (англ. 'Grinberg'bond'') графа {{- необходимое условие содержания --}} это минимальный (по включению) непустой [[Гамильтоновы графыРазрез,_лемма_о_потоке_через_разрез |гамильтонова цикларазрез графа]] [[Укладка <tex>G</tex>. }} {{Определение|definition='''Минимальный (по включению)''' (англ. ''minimal by inclusion'') разрез графа <tex>G</tex> {{---}} разрез, из которого нельзя выделить разрезы с меньшим количеством ребер. }} {{Лемма|statement=Разрез <tex>E(V_1, V_2)</tex> связного графа <tex>G</tex> является '''бондом''', если и только если оба графа на плоскости<tex>G(V_1)</tex> и <tex>G(V_2)</tex> связны.|планарным]] графомproof=Для удобства примем <tex>E = E(V_1, V_2)</tex>.  <tex>\Rightarrow</tex>. Пусть <tex>E</tex> {{---}} бонд. Докажем, что для любого ребра <tex>e \in E</tex> граф <tex>G - E + e</tex> связен. Действительно, пусть этот граф несвязен и имеет, скажем, компоненты связности <tex>U_1</tex> и <tex>U_2</tex>. Тогда <tex>E \supsetneq E(U_1, U_2)</tex>, а из связности графа <tex>G</tex> следует, что <tex>E(U_1, U_2) \neq \varnothing</tex>. Противоречие с минимальностью <tex>E</tex>.  Теперь докажем, что подграфы <tex>G(V_1) \text{ и } G(V_2)</tex> связны. Рассмотрим отдельно подграф <tex>G(V_1)</tex>, если он не связный, то имеет как минимум <tex>2</tex> компоненты связности, назовем их <tex>O_1 \text{ и } O_2</tex>.

|aboutauthor=ГринбергаГринберг

Пусть связный граф <tex>G</tex> плоский граф без петель с гамильтоновым циклом имеет гамильтонов бонд <tex>CH </tex>, который делит плоскости на две области с торцевыми графами <tex>RX </tex> и <tex>R'Y </tex>. Пусть <tex>k_if_n^{X} </tex> и <tex>k'_if_n^{Y} </tex> {{---}} количества граней размера число вершин в графов <tex> X </tex> и <tex>iY </tex> соответственно, имеющих в <tex>RG </tex> и степень <tex>R'n ~ (n = 1, ~ 2, ~ 3, ~ \ldots) </tex> соответственно. Тогда:<mathcenter> <tex>\sum_sum\limits_{in=31}^{V(G)\infty}(in -2)(k_if_n^{X} -k'_if_n^{Y})=0~~~ \bf{(1)} </tex>. </mathcenter>

ОтметимТак как торцевые графы являются деревьями, что в гамильтоновом графе то количество их вершин на единицу больше количества ребер:<texcenter>G</tex>, очевидно, нет мостов и граница любой грани \sum\limits_{n=1}^{---\infty}f_n^{X} простой цикл. Поэтому размер границы каждой его грани не более = |V(GX)| = |E(X)| + 1 ~~~ \textbf{(2)} </tex>. Пусть у и e' </center>Посчитаем <tex> \sum\limits_{n=1}^{---\infty}n f_n^{X} количества рёбер графа G</tex>, то есть количество всех исходящих ребер из <tex>X</tex>. По [[Лемма_о_рукопожатиях | лемме о рукопожатиях]] ребер, с обоих сторон прикрепленных к <tex>X</tex>, будет <tex>2|E(X)|</tex>. Количество ребер, прикрепленных и к <tex>X</tex>, лежащих внутри областей R и R' соответственно. Так как C к <tex>Y</tex>, по определению бонда {{---}} гамильтонов цикл графа Gколичество ребер в бонде <tex>H</tex>, то область R разбита на e + 1 гранейесть <tex>|E(H)|</tex>. а область R' Отсюда:<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{---\infty}n f_n^{X} на e' = |E(H)| + 1 граней2|E(X)| ~~~ \textbf{(3)} </tex>. Получаем соотношения:</center>Вычитаем дважды из формулы <mathtex>\sum_textbf{i=(3)}^</tex> формулу <tex>\textbf{V(G2)}k_i=e+1</mathtex> и получаем:<mathcenter> <tex>\sum_sum\limits_{in=31}^{V\infty} (Gn - 2)f_n^{X}k'_i=e'+|E(H)| - 2 ~~~ \textbf{(4)} </tex>. </center>Полученная формула в правой части не зависит от подграфа, поэтому вычитая вариант для <tex> Y </tex> из <tex>\textbf{(4)}</tex>, приходим к <tex>\textbf{(1)}</mathtex>.}}

== Использование теоремы == * Сам Гринберг использовал свою теорему для того, чтобы искать негамильтоновы кубические (все вершины имеют степень <tex>3</tex>) полиэдральные графы<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%8D%D0%B4%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84 Википедия {{---}}Полиэдральный граф]</ref> с высокой циклической реберной связностью. Циклическая рёберная связность графа {{---}} это наименьшее число рёбер, которое можно удалить так, чтобы оставшийся граф содержал более чем одну циклическую компоненту. Например он нашел граф с <tex>46</tex> вершинами, <tex>25</tex> гранями и циклической рёберной связностью пять, показанный на рисунке <tex>1</tex>. {|align="center" |[[Файл: Гамильтонов граф.png|300px|center|thumb|Рис. 1]] |[[Файл: Новый гамильтонов_бонд.png|500x300px|thumb|Рис. 2]] |} * Теорему Гринберга можно иногда использовать для доказательства отсутствия гамильтонова бонда в графе. Пусть, например, все вершины связного графа <tex> G </tex>, кроме одной, имеют степени, сравнимые с <tex>2</tex> по модулю <tex>3</tex>. Тогда левая часть формулы <tex>\textbf{(1)}</tex> не делится на <tex>3</tex> и, следовательно, гамильтонова бонда в графе <tex> G </tex> не существует. Рисунок <tex>2</tex> иллюстрирует этот простой пример.* Чтобы планарный граф существовал и содержал гамильтонов цикл, необходимо выполнение теоремы Гринберга.<ref>Grinberg, È. Ja. (1968), "Plane homogeneous graphs of degree three without Hamiltonian circuits", Latvian Math. Yearbook 4 (in Russian), Riga: Izdat. “Zinatne”, pp. 51–58, MR 0238732. English translation by Dainis Zeps, [https://arxiv.org/abs/0908.2563v1 arXiv:0908.2563.]</ref>* Теорема Гринберга используется также для поиска планарных гипогамильтоновых графов<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B2_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84 Википедия {{---}} Гипогамильтонов граф]</ref> путём построения графа, в котором все грани имеют число рёбер, сравнимых с <tex>2</tex> по модулю <tex>3</tex>. == См. также ==* [[Гамильтоновы графы]]* [[Разрез, лемма о потоке через разрез]]* [[Лемма о рукопожатиях]]* [[Дерево, эквивалентные определения]] == Примечания == <references /> == Источники информации ==* У. Татт. Теория графов. М.: "Мир", 1988. с. 304. ISBN 5-03-001001-7* [https://logic.pdmi.ras.ru/~dvk/graphs_dk.pdf Д.В. Карпов. Теория графов. c. 301] [[Категория:Алгоритмы и структуры данных]][[Категория:Обходы графов]][[Категория:Гамильтоновы графы]]