Изменения

Теорема Гринберга== Базовые определения =={{Определение|definition='''Подграф''' (англ. ''subgraph'') исходного графа {{---}} граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и некое подмножество инцидентных им рёбер. По отношению к подграфу исходный граф называется суперграфом.}} {{Определение|definition='''Бонд''' (англ. 'Grinberg'bond'') графа {{- необходимое условие содержания --}} это минимальный (по включению) непустой [[Гамильтоновы графыРазрез,_лемма_о_потоке_через_разрез |гамильтонова цикларазрез графа]] [[Укладка <tex>G</tex>. }} {{Определение|definition='''Минимальный (по включению)''' (англ. ''minimal by inclusion'') разрез графа <tex>G</tex> {{---}} разрез, из которого нельзя выделить разрезы с меньшим количеством ребер. }} {{Лемма|statement=Разрез <tex>E(V_1, V_2)</tex> связного графа <tex>G</tex> является '''бондом''', если и только если оба графа на плоскости<tex>G(V_1)</tex> и <tex>G(V_2)</tex> связны.|планарным]] графомproof=Для удобства примем <tex>E = E(V_1, V_2)</tex>.  <tex>\Rightarrow</tex>. Пусть <tex>E</tex> {{---}} бонд. Докажем, что для любого ребра <tex>e \in E</tex> граф <tex>G - E + e</tex> связен. Действительно, пусть этот граф несвязен и имеет, скажем, компоненты связности <tex>U_1</tex> и <tex>U_2</tex>. Тогда <tex>E \supsetneq E(U_1, U_2)</tex>, а из связности графа <tex>G</tex> следует, что <tex>E(U_1, U_2) \neq \varnothing</tex>. Противоречие с минимальностью <tex>E</tex>.  Теперь докажем, что подграфы <tex>G(V_1) \text{ и } G(V_2)</tex> связны. Рассмотрим отдельно подграф <tex>G(V_1)</tex>, если он не связный, то имеет как минимум <tex>2</tex> компоненты связности, назовем их <tex>O_1 \text{ и } O_2</tex>.

|aboutauthor=ГринбергаГринберг

Пусть связный граф <tex>G</tex> плоский граф без петель с гамильтоновым циклом имеет гамильтонов бонд <tex>CH </tex>, который делит плоскости на две области с торцевыми графами <tex>RX </tex> и <tex>R'Y </tex>. Пусть <tex>k_if_n^{X} </tex> и <tex>k'_if_n^{Y} </tex> {{---}} число вершин в графов <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, имеющих в <tex> G </tex> степень <tex> n ~ (n = 1, ~ 2, ~ 3, ~ \ldots) </tex>. Тогда:<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) (f_n^{X} - f_n^{Y}) = 0 ~~~ \bf{(1)} </tex>. </center>|proof=Так как торцевые графы являются деревьями, то количество их вершин на единицу больше количества граней размера ребер:<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n^{X} = |V(X)| = |E(X)| + 1 ~~~ \textbf{(2)} </tex>. </center>Посчитаем <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} </tex>, то есть количество всех исходящих ребер из <tex>X</tex>. По [[Лемма_о_рукопожатиях | лемме о рукопожатиях]] ребер, с обоих сторон прикрепленных к <tex>X</tex>, будет <tex>2|E(X)|</tex>. Количество ребер, прикрепленных и к <tex>X</tex>, и к <tex>iY</tex> , по определению бонда {{---}} количество ребер в бонде <tex>H</tex>, то есть <tex>|E(H)|</tex>. Отсюда:<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} = |E(H)| + 2|E(X)| ~~~ \textbf{(3)} </tex>. </center>Вычитаем дважды из формулы <tex>\textbf{(3)}</tex> формулу <tex>R\textbf{(2)}</tex> и получаем:<center> <tex>R'\sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) f_n^{X} = |E(H)| - 2 ~~~ \textbf{(4)} </tex> соответственно. Тогда</center>Полученная формула в правой части не зависит от подграфа, поэтому вычитая вариант для <tex> Y </tex> из <tex>\textbf{(4)}</tex>, приходим к <tex>\textbf{(1)}</tex>.}}

<math>\sum_{i=3}^{V(G)}(i-2)(k_i-k'_i)=0</math>|proofИспользование теоремы ==[[Файл: HamiltonExampleR.png|300px|thumb|right|Пример. Рёбра из гамильтонова цикла выделены красным]]Отметим* Сам Гринберг использовал свою теорему для того, что в гамильтоновом графе чтобы искать негамильтоновы кубические (все вершины имеют степень <tex>G3</tex>, очевидно, нет ) полиэдральные графы<ref>[[Мост, эквивалентные определения|мостов]] и граница любой грани https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%8D%D0%B4%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84 Википедия {{---}} простой цикл. Поэтому размер границы каждой его грани не более <tex>V(G)Полиэдральный граф]</texref>с высокой циклической реберной связностью. Пусть <tex>e</tex> и <tex>e'</tex> Циклическая рёберная связность графа {{---}} количества это наименьшее число рёбер графа , которое можно удалить так, чтобы оставшийся граф содержал более чем одну циклическую компоненту. Например он нашел граф с <tex>G46</tex>вершинами, лежащих внутри областей <tex>R25</tex> гранями и <tex>R'</tex> соответственно. Так как <tex>C</tex> {{---}} гамильтонов цикл графа <tex>G</tex>циклической рёберной связностью пять, то область R разбита показанный на рисунке <tex>e + 1</tex> граней. а область <tex>R'</tex>  {{---}} на <tex>e' + |align="center" |[[Файл: Гамильтонов граф.png|300px|center|thumb|Рис. 1</tex> граней]] |[[Файл: Новый гамильтонов_бонд.png|500x300px|thumb|Рис. Получаем соотношения:2]] |}

* Теорему Гринберга можно иногда использовать для доказательства отсутствия гамильтонова бонда в графе. Пусть, например, все вершины связного графа <tex> G </tex>, кроме одной, имеют степени, сравнимые с <tex>2</tex> по модулю <tex>3</tex>. Тогда левая часть формулы <tex>\textbf{(1) }</tex> не делится на <mathtex>\sum_{i=3}^{V</tex> и, следовательно, гамильтонова бонда в графе <tex> G </tex> не существует. Рисунок <tex>2</tex> иллюстрирует этот простой пример.* Чтобы планарный граф существовал и содержал гамильтонов цикл, необходимо выполнение теоремы Гринберга.<ref>Grinberg, È. Ja. (1968), "Plane homogeneous graphs of degree three without Hamiltonian circuits", Latvian Math. Yearbook 4 (Gin Russian), Riga: Izdat. “Zinatne”, pp. 51–58, MR 0238732. English translation by Dainis Zeps, [https://arxiv.org/abs/0908.2563v1 arXiv:0908.2563.]</ref>* Теорема Гринберга используется также для поиска планарных гипогамильтоновых графов<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B2_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84 Википедия {{---}}k_i=e+1Гипогамильтонов граф]</mathref>путём построения графа, в котором все грани имеют число рёбер, сравнимых с <mathtex>2</tex> по модулю <tex>\sum_{i=3}^{V(G)}k'_i=e'+1</mathtex>.

Каждое внутреннее ребро области <tex>R</tex> входит в границы двух внутренних граней области <tex>R</tex>== См. также ==* [[Гамильтоновы графы]]* [[Разрез, а каждое ребро цикла <tex>C</tex> {{---}} в границу одной внутренней грани этой области. Аналогичное соотношение верно и для <tex>R'</tex>. Следовательнолемма о потоке через разрез]]* [[Лемма о рукопожатиях]]* [[Дерево,эквивалентные определения]]

(2) <math>\sum_{i=3}^{V(G)}i*k_i=2e+E(C)</math>, <math>\sum_{iПримечания =3}^{V(G)}i*k'_i=2e'+E(C)</math>

<math>\sum_{i=3}^{V(G)}i(k_i-k'_i)=2(e - e')Источники информации =\sum_{i=3}^{V(G)}2(k_i* У. Татт. Теория графов. М.: "Мир", 1988. с. 304. ISBN 5-03-k'_i)<001001-7* [https://logic.pdmi.ras.ru/~dvk/math>graphs_dk.pdf Д.В. Карпов. Теория графов. c. 301]