Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Теорема Гринберга

5305 байт добавлено, 19:35, 4 сентября 2022
м
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition=
'''Порождённый подграфБонд''' (англ. ''induced subgraphbond'') — подграфграфа {{---}} это минимальный (по включению) непустой [[Разрез, порождённый множеством рёбер исходного _лемма_о_потоке_через_разрез | разрез графа. Содержит не обязательно все вершины графа, но эти вершины соединены такими же ребрами, как в графе]] <tex>G</tex>.
}}
Пусть множество вершин графа <tex> G </tex> разбито на взаимно дополнительные подмножества <tex> X </tex> и <tex> Y </tex>. Через <tex> J(X, Y) </tex> обозначим множество всех ребер графа <tex> G </tex>, у каждого из которых один конец лежит в <tex> X </tex>, а другой {{---}} в <tex> Y </tex>.
{{Определение
|definition=
Если граф '''Минимальный (по включению)''' (англ. ''minimal by inclusion'') разрез графа <tex>G</tex> {{---}} разрез, из которого нельзя выделить разрезы с меньшим количеством ребер. }} {{Лемма|statement=Разрез <tex>E(V_1, V_2)</tex> связного графа <tex> G </tex> является '''бондом''', если и порожденные подграфы только если оба графа <tex> G[X] (V_1)</tex> и <tex> G[Y] (V_2)</tex> связны, то множество .|proof=Для удобства примем <tex> JE = E(XV_1, YV_2) </tex> называется '''бондом''' графа .  <tex>\Rightarrow</tex>. Пусть <tex>E</tex> {{---}} бонд. Докажем, что для любого ребра <tex>e \in E</tex> граф <tex> G - E + e</tex>связен. Подграфы Действительно, пусть этот граф несвязен и имеет, скажем, компоненты связности <tex> G[X] U_1</tex> и <tex>U_2</tex>. Тогда <tex>E \supsetneq E(U_1, U_2)</tex>, а из связности графа <tex> G[Y] </tex> называются '''торцевыми графами''' этого бонда. Из приведенного определения следует, что бонд <tex> JE(XU_1, U_2) \neq \varnothing</tex>. Противоречие с минимальностью <tex>E</tex>.  Теперь докажем, Yчто подграфы <tex>G(V_1) \text{ и } G(V_2) </tex> должен быть непустым множествомсвязны. Если граф Рассмотрим отдельно подграф <tex> G (V_1)</tex> несвязен, если он не связный, то его '''бонд''' определим имеет как бонд какой-либо его минимум <tex>2</tex> компонентысвязности, назовем их <tex>O_1 \text{ и } O_2</tex>. Заметим <tex>e \in E </tex> можно также представить как <tex>e = (u, v) \text{ при этом } u \in G(V_1), v \in G(V_2)</tex>, то есть <tex>u \in O_1 \mid u \in O_2</tex>, и граф <tex> G - E + e </tex> состоит из <tex>2</tex> компонент {{---}} <tex>(O_1 \cup G(V_2), O_2) \mid (O_2 \cup G(V_2), O_1)</tex>, что всякий перешеек противоречит условию связности. Так же доказывается связность <tex>G(V_2)</tex>. <tex>\Leftarrow</tex>. Если оба графа <tex>G(V_1)</tex> и <tex>G(V_2)</tex> — связны, то добавление любого ребра из <tex>E</tex> даст нам связный подграф графа образует однореберный бонд<tex>G</tex>, содержащий все его вершины. Значит, в этом случае разрез <tex>E</tex> минимален по включению. Торцевые графы перешейка являются торцевыми графами соответствующего бондаВ силу связности <tex>G</tex> этот разрез непуст, то есть, является бондом.
}}
 
{{Определение
|definition=
Подграфы <tex>V_1</tex> и <tex>V_2</tex> из предыдущей леммы называются '''торцевыми графами''' (англ. ''end graph'').
}}
Также стоит отметить, что если граф <tex> G </tex> несвязен, то его '''бонд''' определим как бонд какой-либо его компоненты, а всякий [[Мост,_эквивалентные_определения | мост]] графа образует однореберный бонд. Торцевые графы моста являются торцевыми графами соответствующего бонда.
{{Определение
== Теорема Гринберга ==
{{Теорема
|aboutauthor=Гринберг
|statement=
Пусть связный граф <tex> G </tex> имеет гамильтонов бонд <tex> H </tex> с торцевыми графами <tex> X </tex> и <tex> Y </tex>. Пусть <tex> f_n^{X} </tex> и <tex> f_n^{Y} </tex> {{---}} число вершин в графов <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> соответственно, имеющих в <tex> G </tex> степень <tex> n ~ (n = 1, ~ 2, ~ 3, ~ \ldots) </tex>. Тогда:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) (f_n^{X} - f_n^{Y}) = 0 ~~~ \bf{(1)} </tex>. </center>
|proof=
Так как торцевые графы являются деревьями, токоличество их вершин на единицу больше количества ребер:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n^{X} = |V(X)| = |E(X)| + 1 ~~~ \textbf{(2)} </tex>. </center>
Ясно такжеПосчитаем <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} </tex>, чтото есть количество всех исходящих ребер из <tex>X</tex>. По [[Лемма_о_рукопожатиях | лемме о рукопожатиях]] ребер, с обоих сторон прикрепленных к <tex>X</tex>, будет <tex>2|E(X)|</tex>. Количество ребер, прикрепленных и к <tex>X</tex>, и к <tex>Y</tex>, по определению бонда {{---}} количество ребер в бонде <tex>H</tex>, то есть <tex>|E(H)|</tex>. Отсюда:
<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} n f_n^{X} = |E(H)| + 2|E(X)| ~~~ \textbf{(3)} </tex>. </center>
ПоэтомуВычитаем дважды из формулы <tex>\textbf{(3)}</tex> формулу <tex>\textbf{(2)}</tex> и получаем:<center> <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n - 2) f_n^{X} = |E(H)| - 2 ~~~ \textbf{(4)} </tex>. </center>Аналогичную формулу получаем Полученная формула в правой части не зависит от подграфа, поэтому вычитая вариант для графа <tex> Y </tex>. Вычитая ее из '''<tex>\textbf{(4)'''}</tex>, приходим к '''<tex>\textbf{(1)'''}</tex>.
}}
== Использование теоремы ==
 * Сам Гринберг использовал свою теорему для того, чтобы искать негамильтоновы кубические (все вершины имеют степень <tex>3</tex>) полиэдральные графы<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%8D%D0%B4%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84 Википедия {{---}} Полиэдральный граф]</ref> с высокой циклической реберной связностью. Циклическая рёберная связность графа {{---}} это наименьшее число рёбер, которое можно удалить так, чтобы оставшийся граф содержал более чем одну циклическую компоненту. Например он нашел граф с <tex>46</tex> вершинами, <tex>25</tex> гранями и циклической рёберной связностью пять, показанный на рисунке <tex>1</tex>. {|align="center" |[[Файл: Гамильтонов граф.png|300px|center|thumb|Рис. 1]] |[[Файл: Новый гамильтонов_бонд.png|500x300px|thumb|Рис. 2]] |} * Теорему Гринберга можно иногда использовать для доказательства отсутствия гамильтонова бонда в графе. Пусть, например, все вершины связного графа <tex> G </tex>, кроме одной, имеют степени, сравнимые с <tex>2 </tex> по модулю <tex>3</tex>. Тогда левая часть формулы '''<tex>\textbf{(1)''' }</tex> не делится на <tex>3 </tex> и, следовательно, гамильтонова бонда в графе <tex> G </tex> не существует. Рисунок '''1''' <tex>2</tex> иллюстрирует этот простой пример.* Чтобы планарный граф существовал и содержал гамильтонов цикл, необходимо выполнение теоремы Гринберга.<ref>Grinberg, È. Ja. (1968), "Plane homogeneous graphs of degree three without Hamiltonian circuits", Latvian Math. Yearbook 4 (in Russian), Riga: Izdat. “Zinatne”, pp. 51–58, MR 0238732. English translation by Dainis Zeps, [https://arxiv.org/abs/0908.2563v1 arXiv:0908.2563.]</ref>* Теорема Гринберга используется также для поиска планарных гипогамильтоновых графов<ref>[Файлhttps: Новый гамильтонов_бонд//ru.png|300px|thumb|center|Рисwikipedia. 1]org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B2_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84 Википедия {{---}} Гипогамильтонов граф]</ref> путём построения графа, в котором все грани имеют число рёбер, сравнимых с <tex>2</tex> по модулю <tex>3</tex>.
== См. также ==
* [[Гамильтоновы графы]]
* [[Разрез, лемма о потоке через разрез]]
* [[Лемма о рукопожатиях]]
* [[Дерево, эквивалентные определения]]
 
== Примечания ==
 
<references />
== Источники информации ==
* У. Татт. Теория графов. М.: "Мир", 1988. с. 304. ISBN 5-03-001001-7
* [https://logic.pdmi.ras.ru/~dvk/graphs_dk.pdf Д.В. Карпов. Теория графов. c. 301]
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Обходы графов]]
[[Категория:Гамильтоновы графы]]
1632
правки

Навигация