Изменения

'''Код Грея ''' (англ. ''Gray code)''') {{---}} такое упорядочение <tex>k</tex>-ичных (обычно двоичных) векторов, что соседние вектора отличаются только в одном разряде.

[[Файл:Gray_CodeGray_Code_Building.png|360px300px|thumb|right|Иллюстрация получения Получение зеркального двоичного кода Грея.]]

Существует несколько видов кода Грея, самый простой из них {{---}} так называемый зеркальный двоичный код Грея. Строится он так:  Для получения кода длины <tex>n</tex> производится <tex>n</tex> шагов. На первом шаге код имеет длину <tex>1 </tex> и состоит из двух векторов (<tex>0) </tex> и (<tex>1)</tex>. На каждом следующем шаге в конец списка заносятся все уже имеющиеся вектора в обратном порядке, и затем к первой половине получившихся векторов дописывается "<tex>0"</tex>, а ко второй "<tex>1"</tex>. С каждым шагом длина векторов увеличивается на <tex>1</tex>, а их количество {{---}} вдвое.

*<tex>\mathtt{GrayCode }</tex> {{---}} двумерный массивтипа '''boolean''', в котором <tex>\mathtt{GrayCode[a, b] }</tex> {{---}} <tex>b</tex>-ый бит в <tex>a</tex>-ом коде Грея,*<tex>\mathtt{p}</tex> {{---}} Счетчик количества уже имеющихся кодов,*<tex>\mathtt{t}</tex> {{---}} Показывает количество кодов в <tex>(a-1)</tex>-м коде Грея.<font size=3code>

GrayCode[1, n] = 0''false'' GrayCode[2, n] = 1 {построение ''true'' <font color=green> // Построение кода длины 1}</font> p = 2 {p {{---}} количество уже имеющихся кодов} '''for (''' i = 2, i <'''to''' n t = n, i++):p p = p * 2 '''for (''' k = i (p / 2 + 1, k <= 2 * i, k++):'''to''' p GrayCode[k] = GrayCode[p + 1 - kt] {отражение <font color=green> // Отражение имеющихся кодов}</font> GrayCode[k - it, n + 1 - i] = 0''false'' GrayCode[k, n + 1 - i] = 1 {добавление ''true'' <font color=green> // Добавление 0 и 1 в начало}</font> t-- '''return''' GrayCode </fontcode>

* предположим, что код, получившийся на <tex>i</tex>-ом шаге, является Кодом кодом Грея* тогда на шаге <tex>i + 1</tex>: первая половина кода будет корректна, так как она совпадает с кодом с шага <tex>i</tex> за исключением добавленного последнего бита <tex>0</tex>. Вторая половина тоже соответствует условиям, так как она является зеркальным отражением первой половины, только добавлен везде бит <tex>1</tex>. На стыке: первые <tex>i</tex> бит совпадают в силу зеркальности, последние различны по построению. Таким образом, этот код {{---}} Код код Грея. Индукционное предположение доказано, алгоритм работает верно.

Этот алгоритм можно обобщить и для <tex>k</tex>-ичных векторов. Также известен алгоритм преобразования двоичного кода в Код код Грея.

Существует ещё несколько видов Кода кода Грея {{---}} сбалансированный Код код Грея, код БеккетаБаркера-Грея, одноколейный Код код Грея.<ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/Gray_code#Special_types_of_Gray_codes Wikipedia {{---}} Special types of Gray codes]</ref> Кроме того, коды Греяиспользуются для [[:Коды_Грея_для_перестановок|упорядочения перестановок.]]

Для кода длиной <tex>1 </tex> бит утверждение проверяется непосредственно.

Пусть существует зеркальный двоичный код Грея <tex>M</tex> длины <tex>n</tex>, для которого выполнено, что для любого <tex>i </tex> выполняется <tex>\enskip enspace M_i = i \oplus (\lfloor i / 2 \rfloor)</tex>

Для любого <tex>x < 2^n \enskip L_x = 0M_x = 0(x_{n-1}x_{n-2}...x_{0} \oplus 0x_{n-1}x_{n-2}...x_{1}) =</tex>выполняется <tex> 0x_{n-1}x_{n-2}...x_{0} \oplus 00x_{n-1}x_{n-2}...x_{1} enspace L_x = x \oplus (\lfloor x / 2 \rfloor)0M_x</tex>и, по условию, равно

Для любого <tex>x L_x = 0(x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{0} \geq oplus 0x_{n-1}x_{n-2^n } \enskip L_x = 1M_ydots x_{1})</tex>раскрыв скобки, где получим новое выражение <tex>y = 2^{n+1} - 1 - x = \neg xL_x</tex>, то есть :

<tex>L_x = 1(\overline {x_0x_{n-1} x_{n-2}... \dots x_{0}} \oplus 0 \overline {x_00x_{n-1} x_{n-2}... \dots x_{1}}) =</tex><tex> 1что равно (\overline {x_{n-1}}x_{n-2}...x_{0} \oplus 0x_{n-1}x_{n-2}..второе слагаемое равно первому, побитово сдвинутого вправо.x_{1}) =</tex>

<tex>= x \oplus (\lfloor x / 2 \rfloor)</tex>  Для любого <tex>x \geqslant 2^n</tex> выполняется <tex>\enspace L_x = 1</tex><tex>M_y</tex>, где <tex>y = 2^{n+1} - 1 - x = \neg x</tex>, то есть  <tex>L_x = 1(\overline {x_{n-1}x_{n-2}... \dots x_{0}} \oplus 1x_0 \overline {x_{n-1} x_{n-2} \dots x_{1}})</tex> что по свойству '''xor''' (<tex>\neg x \oplus \neg y = x \oplus y</tex>) равно <tex>= 1(\overline {x_{n-1}}x_{n-2} \dots x_{0} \oplus 0x_{n-1}x_{n-2}... \dots x_{1}) </tex> или (все по тому же свойству) <tex>= 1(x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{0} \oplus 1x_{n-1}x_{n-2}... \dots x_{01})</tex>раскрыв скобки, получим <tex> = 1x_{n-1}x_{n-2} \dots x_{0} \oplus 01x_{n-1}x_{n-2}... \dots x_{1} </tex> откуда получаем, зная из условия, что старший разряд <tex>L_x</tex> равен <tex>1</tex> <tex>= x_{n}x_{n-1}x_{n-2}... \dots x_{0} \oplus 0x_{n}x_{n-1}x_{n-2}... \dots x_{1} =</tex>что, аналогично первому пункту, равно <tex> = x \oplus (\lfloor x / 2 \rfloor)</tex>

=== Код Беккета-Сбалансированный код Грея ===Код БеккетаНесмотря на то, что зеркальный двоичный код Грея полезен во многих случаях, он не является оптимальным в некоторых ситуациях из-за отсутствия "однородности". В сбалансированном коде Грея был назван , количество изменений в честь ирландского писателя Сэмюэла Беккетаразличных координатных позициях сделаны максимально приближенными настолько, который интересовался симметриейнасколько это возможно. Его пьеса [http: Чтобы показать это точнее, пусть <tex>G</tex> {{---}} это <tex>R</tex>-ичный полный цикл Грея, имеющий последовательность перехода <tex>(\delta_k)</tex>, <tex>\delta_k = i</en.wikipedia.orgtex>, для <tex>k = 0 \dots n</wikitex> если в коде Грея <tex>i</Quad_tex>-й и <tex>(playi+1) "Quad"] содержала в себе четырёх актёров </tex> биты различны и была разделена на 16 временных периодов<tex>n</tex> {{---}} кол-во таких различий; отсчёты переходов (спектры) <tex>G</tex> являются наборами целых чисел, определенных как <tex>\lambda_k = |\{ j \in \mathbb{Z}_{R^n} : \delta_j = k \}| \,</tex> для <tex> k \in \mathbb{Z}_R</tex>. Каждый период заканчивался, когда один из четырёх актёров выходил на сцену  Код Грея является однородным или жеравномерно сбалансированным, наоборот, уходил с неё. Пьеса начиналась на пустой сценеесли все его отсчёты переходов равны, и Беккет хотел, чтобы каждое подмножество актёров появлялось ровно один разв этом случае у нас есть <tex>\lambda_k = R^n / n</tex> для всех <tex>k</tex>. Ясно, что множество актёровпри <tex>R = 2</tex>, находящихся в данное время на сцене может быть представлено в виде 4-битного двоичного кода Греятакие коды существуют только при <tex>n = 2</tex>. БеккетВ противном случае, однакоесли <tex>R^n</tex> не делится на <tex>n</tex> равномерно, добавил дополнительное условие в сценарий: чтобы со сцены уходил всегда тот из актеровто можно построить сбалансированные коды Грея, кто находился на ней дольше остальных. Актёры могли быть представлены как [http:где каждый отсчёт перехода либо <tex>\lfloor R^n /n \rfloor </ru.wikipedia.orgtex> либо <tex> \lceil R^n /wikin \rceil</FIFO FIFO очередь] такtex>.  Коды Грея также могут быть экспоненциально сбалансироваными, что (из всех актёров на сцене) уходил всегда тот актёресли все их отсчеты переходов являются смежными степеням двойки, который был первым в этой очередии такие коды существуют для каждой степени двойки. Беккет не смог найти  === Однодорожечный код БеккетаГрея ===Еще один вид кода Грея {{---}} это однодорожечный код Грея для своей пьесы, да разработанный Спеддингом и вообщеуточнен Хильтгеном, исчерпывающее перечисление всех возможных последовательностей показываетПатерсоном и Брандестини.  Однодорожечный код Грея является циклическим списком уникальных двоичных кодировок длины <tex>n</tex> так, что такой код не существует два последовательных слова отличаются ровно в одной позиции, и когда список рассматривается как <tex>P_{xn}</tex> матрица, каждая колонка {{---}} это циклический сдвиг первого столбца. Название происходит от их использования датчиками вращения, где количество дорожек в настоящее время измеряется с помощью контактов, в результате для n = 4каждой дорожки на выход подаётся <tex>0</tex> или <tex>1</tex>. Известно Чтобы снизить уровнень шума различных контактов не переключаясь в тот же момент времени, один датчик предпочтительно устанавливает дорожки так, что сегодня такие коды существуют выход данных от контактов находится в коде Грея. Чтобы получить высокую угловую точность, нужно много контактов; для n = 2достижения точности хотя бы в <tex>1</tex> градус нужно, 5по крайней мере, 6<tex>360</tex> различных позиций на оборот, 7который требует минимум <tex>9</tex> бит данных, и 8тем самым такое же количество контактов. '''Не путать''' с [[:Цепные_коды|цепными кодами]], и не существуют для n = 3 или 4получаемых циклическим сдвигом.=== Одноколейный Код Грея ===

 Фрэнк Грей изобрел метод для преобразования аналоговых сигналов в отраженные двоичные кодовые группы с использованием аппарата на основе вакуумной трубки. Способ и устройство были запатентованы в 1953 году, а код получил название код Грея. "PCM трубка" {{---}} аппарат, запатентованный Греем, был сделан Раймондом У. Сирсом из (англ.) Bell Labs, работая с Греем и Уильямом М. Гудоллом. * Использование кодов В технике коды Грея основано прежде всего на том, что он минимизирует эффект используются для минимизации ошибок при преобразовании аналоговых сигналов в цифровые (например, во многих видах датчиков).* Коды Грея часто используются в датчиках-энкодерах <ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BD%D0%BA%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D1%80 датчикахВикипедия {{---энкодерах}} Датчик угла поворота]</ref>).  В частности, коды Грея и были открыты в связи с этим применением. Их использование удобно тем(Код Грея — это код преобразования бинарных символов в <tex>M</tex>-арные, такие, что два соседних значения шкалы сигнала двоичные последовательности, соответствующие соседним символам (сдвигам фаз), отличаются только одним битом. Обычная бинарная кодировка сравнивается с кодировкой Грея. При появлении ошибки в <tex>M</tex>-арном символе наиболее вероятными являются ближайшие соседние символы, отличающиеся от переданного лишь одним битом, если используется кодировка Грея.  Таким образом, высока вероятность того, что при кодировании с помощью кода Грея в одном разрядеслучае возникновения ошибки ошибочным будет только один из <tex>k = \log_2 M</tex> переданных битов. )  

* Коды Грея широко применяются в теории генетических алгоритмов <ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC Википедия {{---}} Генетический алгоритм]</ref> для кодирования генетических признаков, представленных целыми числами. * Коды Грея используются в Картах Карно<ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D1%82%D1%8B_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE Википедия {{---}} Карта Карно]</ref> (при передаче в карту переменные сортируются в код Грея). * Алгоритм модуляции 2B1Q (англ. ''2 Binary 1 Quandary'') <ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/2B1Q Wikipedia {{---}} 2B1Q]</ref> * Код Грея можно использовать также и для решения следующей задачи<ref>[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B9%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%B1%D0%B0%D1%88%D0%BD%D0%B8 Википедия {{---}} Ханойская Башня]</ref>: === Задача о Ханойских башнях === {{задача|definition =Даны три стержня, на один из которых нанизаны восемь колец, причем кольца отличаются размером и лежат меньшее на большем. Задача состоит в том, чтобы перенести пирамиду из восьми колец за наименьшее число ходов на другой стержень. За один раз разрешается переносить только одно кольцо, причём нельзя класть большее кольцо на меньшее.}}'''Решение:''' Пусть <tex>n</tex> — количество дисков. Начнём с кода Грея длины <tex>n</tex>, состоящего из одних нулей (т.е. <tex>G(0)</tex>), и будем двигаться по кодам Грея (от <tex>G(i)</tex> переходить к <tex>G(i+1)</tex>).  Поставим в соответствие каждому <tex>i</tex>-ому биту текущего кода Грея <tex>i</tex>-ый диск (причём самому младшему биту соответствует наименьший по размеру диск, а самому старшему биту — наибольший). Поскольку на каждом шаге изменяется ровно один бит, то мы можем понимать изменение бита <tex>i</tex> как перемещение <tex>i</tex>-го диска. То есть, будем понимать переход от последовательности <tex>101</tex> к <tex>100</tex> как перемещение <tex>0</tex>-го диска на свободное место, а от <tex>010</tex> к <tex>110</tex> {{---}} как перемещение <tex>2</tex>-го диска на свободное место.  Заметим, что для всех дисков, кроме наименьшего, на каждом шаге имеется ровно один вариант хода (за исключением стартовой и финальной позиций). Для самого маленького диска всегда есть две свободные позиции, потому что он самый маленький, его можно положить сверху на любой диск. Если диск не самый маленький, то для него может быть не более одной свободной позиции. Допустим, что для него свободные две позиции. Это означает, что на двух других стержнях расположены диски размером больше, чем рассматриваемый. А так как рассматриваемый диск не самый маленький, то где-то расположен наименьший. Либо он расположен на рассматриваемом диске, тогда мы не можем переместить рассматриваемый, либо на каком-то другом, но тогда у нашего диска остаётся не более одной свободной позиции. Для наименьшего диска всегда имеется два варианта хода, однако имеется стратегия выбора хода, всегда приводящая к ответу: если <tex>n</tex> нечётно, то последовательность перемещений наименьшего диска имеет вид <tex>r_{1} \rightarrow r_{3} \rightarrow r_{2} \rightarrow r_{1} \rightarrow r_{3} \rightarrow r_{2} \rightarrow \ldots .</tex>(где <tex>r_{1}</tex> — стартовый стержень, <tex>r_{3}</tex> — финальный стержень, <tex>r_{2}</tex> — оставшийся стержень), а если <tex>n</tex> чётно, то <tex>r_{1} \rightarrow r_{2} \rightarrow r_{3} \rightarrow r_{1} \rightarrow r_{2} \rightarrow r_{3} \rightarrow \ldots.</tex> Выбор обусловлен тем, на каком стержне окажется в конце пирамидка, решение с помощью кода Грея является следствием классического нерекурсивного решения<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Tower_of_Hanoi#Non-recursive_solution Wikipedia {{---}} Tower of Hanoi Non-recursive solution]</ref>. ==См. Также== *[[:Коды_антигрея|Коды антигрея]] ==Примечания== <references /> == Источники информации ==

* [http://en.wikipedia.org/wiki/Gray_code Wikipedia {{---}} Gray code, From Wikipedia, the free encyclopedia]

* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Код_Грея код_Грея Википедия {{---}} Код Грея, Материал из Википедии — свободной энциклопедии]