1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
1. Аксиома непрерывности в множестве вещественных чисел, точные грани числовых
множеств.
Пусть <tex>A </tex> и <tex>B </tex> — 2 произвольных подмножества из пополненного множества рациональных чисел, и <tex> A \le B </tex>, то в пополненном множестве <tex> \exists d: A \le d \le B </tex>
2. Принцип вложенных отрезков.
: или
: <tex>\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N: x_n \in V_\varepsilon(x)</tex>, где <tex> V_\varepsilon(x) = \{ y: \rho(y, x) < \varepsilon \} </tex>, то есть открытый шар радиуса <tex>\ \varepsilon</tex> с центром в точке <tex>\ x</tex>
}}
{{Определение
|definition =
Пусть даны два метрических пространства <tex> (X,\rho) </tex> и <tex> (Y, \tilde \rho) </tex>, <tex> A \subset X</tex> и <tex>\ a </tex> {{---}} предельная точка <tex>A</tex>. Пусть <tex> f: A \rightarrow Y </tex>.
* Тогда <tex> b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x), b \in Y</tex> , если <tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0: 0 < \rho(x, a) < \delta \Rightarrow \tilde \rho(f(x), b) < \varepsilon </tex>.
}}
11. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.
Равномерная непрерывность - <tex> \forall \varepsilon >0 \exists \delta > 0 \forall x_1, x_2 \in X: | x_1 - x_2| < \delta : |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon </tex>
{{Теорема
26. Полиномы и теорема Бернштейна.
Существует ли <tex>\forall \varepsilon > 0</tex> некоторый полином <tex>P</tex> (неважно, какой степени) такой, что <tex>\forall x \in [a; b]: \ |f(x) - P(x)| < \varepsilon</tex>?
{{Теорема
|author=
Бернштейн
|statement=
Пусть функция <tex>f</tex> - непрерывна на <tex>[0; 1]</tex>. Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists P(x)</tex> - полином, такой, что <tex>\forall x \in [0; 1] \Rightarrow |f(x) - P(x)| < \varepsilon</tex>
}}
{{Теорема
|author=
Вейерштрасс
|statement=
Пусть функция <tex>f</tex> непрерывна на отрезке <tex>[a; b]</tex>.
Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists P \forall x \in [0; 1]: |f(x) - P(f, x)| \le \varepsilon</tex>
}}
27. Неопределенный интеграл: линейность, замена переменной интегрирования,
формула интегрирования по частям.
Линейность - интеграл суммы функций, произведения на число.
Пусть имеется [[Отображения|функция]] <tex>y = f(x)</tex>, заданная на <tex>[a; b]</tex>. Требуется найти функцию <tex>F(x)</tex>, такую, что <tex>F'(x) = f(x) \forall x \in [a; b]</tex>. Любая такая функция называется первообразной <tex>f</tex>.
{{Утверждение
|statement=
Если <tex>F_1' = f, F_2' = f</tex>, то <tex>F_2 = F_1 + \mathrm{const}</tex>
|proof=
Пусть <tex>g(x) = F_2(x) - F_1(x)</tex>. <tex>F_1, F_2</tex> непрерывны, следовательно, непрерывна и <tex>g</tex>, и можно применить теорему Лагранжа:
:<tex>g(x_2) - g(x_1) = g'(c)(x_2 - x_1)</tex>, но <tex>g' = F_2' - F_1' = 0</tex>.
Таким образом, <tex>g(x_2) = g(x_1) \forall x_1, x_2 \in [a; b]</tex>.
}}
Пусть <tex>f</tex> задана на <tex>[a; b]</tex>. Тогда совокупность всех её первообразных называется неопределённым интегралом и записывается:
:<tex>\int f(x)dx = \{F(x) + C, F' = f, c \in \mathbb R\}</tex>
Интегрирование по частям - <tex>\int udv = uv - \int vdu</tex>
Формула подстановки
: <tex> F(x) = \int f(x)dx </tex>
: <tex> x = \varphi(t) </tex>
: <tex> F(x) = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt </tex>
28. Интегральные суммы Римана, необходимое условие интегрируемости.
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\overline{x_k}</tex> {{---}} произвольное <tex>x</tex> из <tex>\left [ x_k,x_{k+1} \right ]</tex>, <tex>f</tex> {{---}} функция, заданная на отрезке <tex>[a; b]</tex>, <tex>\tau</tex> {{---}} разбиение отрезка <tex>[a; b]</tex>.
Тогда <tex>\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )</tex>
(также обозначается как <tex>\sigma \left ( f, \tau \right )</tex> или <tex>\sigma \left ( \tau \right )</tex>)
<tex>~= \sum\limits_{k=0}^{n-1}</tex> <tex>f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{k}</tex>
называется '''интегральной суммой Римана''' по разбиению <tex>\tau</tex>.
}}
Необхомдимое условие интегрируемости - функция является ограниченной.
29. Критерий интегрируемости по Риману.
Пусть <tex>\omega(f, \tau) = \overline{s}(\tau) - \underline{s}(\tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} (M_k - m_k)\Delta x_k \ge 0</tex>
<tex>\lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) \to 0 \Rightarrow</tex>
<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 : \ \operatorname{rang} \tau < \delta \Rightarrow \omega(f, \tau) < \varepsilon</tex>
Определим <tex>\underline{I} = \sup\limits_{\{\tau\}} \underline{s}(\tau)</tex>,
<tex>\overline{I} = \inf\limits_{\{\tau\}} \overline{s}(\tau)</tex>
<tex>I = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma(\tau)</tex>
{{Теорема
|about=
Критерий интегрируемости
|statement=
<tex>f \in \mathcal{R}(a; b) \iff \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) = 0</tex>
}}
30. Теорема Барроу.
{{Определение
|definition=
Объектом исследования этого параграфа является <tex>F(x) = \int\limits_a^x f(t) dt</tex>, <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>, <tex>x \in [a, b]</tex>.
Такая функция называется ''интегралом с переменным верхним пределом'
{{Теорема
|author=Барроу
|statement=
Пусть <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex> и непрерывна в <tex>x_0 \in (a; b)</tex>.
Тогда <tex>F</tex> дифференцируема в этой точке и её производная равна <tex>F'(x_0) = f(x_0)</tex>.
}}
31. Формула Ньютона-Лейбница.
{{Теорема
|about=формула Ньютона-Лейбница
|statement=
Пусть <tex>F</tex> дифференцируема на <tex>[a; b]</tex>, её производная <tex>f</tex> интегрируема на этом же отрезке. Тогда
<tex>F(b) - F(a) = \int\limits_a^b f(x) dx</tex>
}}
32. Критерий сходимости несобственных интегралов.
Пусть <tex>F(A) = \int\limits_a^A f(x) dx</tex>. Применяя критерий Коши существования предела функции, приходим к критерию Коши сходимости несобственного интеграла:
<tex>\int\limits_a^{+\infty}</tex> сходится <tex>\iff \lim\limits_{A, B \to +\infty} \int\limits_A^B f(x)dx = 0</tex>.
33. Остаток формулы Тейлора в интегральной форме.
{{Утверждение|statement=Пусть в окрестности точки <tex>x_0</tex> функция <tex>f</tex> <tex>n + 1</tex> раз дифференцируема и её <tex>(n + 1)</tex>-я производная интегрируема. Тогда в окрестности точки <tex>x_0</tex> <tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!}(x - x_0)^k + \frac1{n!} \int\limits_{x_0}^x f^{(n + 1)}(t) (x-t)^n dt</tex>. }} 34. Определение суммы числового ряда. Необходимый признак и критерий Кошисходимости ряда. Классический способ суммирования:<tex>S_n = \sum\limits_{k = 1}^n a_k</tex> {{---}} частичные суммы ряда. {{Определение|definition=<tex>\lim\limits_{n\to\infty} S_n</tex> {{---}} сумма числового ряда. Если этот предел существует и конечен, то ряд называют сходящимся, иначе {{---}} расходящийся.}} {{Утверждение|statement=Если ряд сходится, то его слагаемые необходимо стремятся к нулю. Однако, это требование лишь необходимое|proof=Переписывая на языке частичных сумм критерий Коши существования предела последовательности, приходим к критерию Коши сходимости ряда: <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k</tex> {{---}} сходится <tex>\iff</tex> <tex>\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k \xrightarrow[n,p\to \infty]{} 0</tex>.
35. Интегральный признак Коши сходимости рядов.
{{Утверждение
|statement=
Пусть при <tex>x \geq 1</tex> определена функция <tex>y = f(x)</tex>, <tex>y</tex> убывает, <tex>y \geq 0</tex>. Тогда <tex>\int\limits_1^{+\infty} f(x) dx \equiv \sum\limits_{k = 1}^\infty f(k)</tex>.
}}
36. Ряды и теорема Лейбница.
{{Определение
|definition=
Знакочередующийся ряд, в котором <tex>a_n</tex> убывает и <tex>a_n</tex> стремится к нулю {{---}} ряд Лейбница
}}
{{Теорема
|author=Лейбниц
|statement=
1. Любой ряд Лейбница сходится.
2. Для остатка такого ряда справедлива оценка <tex>|R_n| \leq |a_{n + 1}|</tex>.
}}
37. Теорема Мертенса о произведении рядов по Коши.
{{Теорема
|about=
Мертенс
|statement=
Пусть ряд из <tex>a_n</tex> — абсолютно сходящийся, а ряд из <tex>b_n</tex> — условно сходящийся. Тогда эти два ряда можно перемножить по способу Коши.
}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
