|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | {| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
| |
| − | |+
| |
| − | |-align="center"
| |
| − | |'''НЕТ ВОЙНЕ'''
| |
| − | |-style="font-size: 16px;"
| |
| − | |
| |
| − | 24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
| |
| − |
| |
| − | Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
| |
| − |
| |
| − | Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
| |
| − |
| |
| − | Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
| |
| − |
| |
| − | ''Антивоенный комитет России''
| |
| − | |-style="font-size: 16px;"
| |
| − | |Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
| |
| − | |-style="font-size: 16px;"
| |
| − | |[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
| |
| − | |}
| |
| − |
| |
| | == Определения == | | == Определения == |
| | {{Определение | | {{Определение |
Текущая версия на 19:37, 4 сентября 2022
Определения
| Определение: |
| Язык [math]L_1[/math] сводится по Карпу к языку [math]L_2[/math] ([math]L_1 \leq L_2[/math]), если существует такая функция [math]f[/math], работающая за полином, что [math]x[/math] принадлежит [math]L_1[/math] тогда и только тогда, когда [math]f(x)[/math] принадлежит [math]L_2[/math]. |
Простой пример сведения по Карпу
Зададим следующие языки:
- [math]IND[/math] — множество пар вида [math] \langle G, k \rangle [/math], где [math]G[/math] — граф, а [math]k[/math] — число, такое, что в [math]G[/math] есть независимое множество размера [math]k[/math].
- [math]CLIQUE[/math] — множество пар вида [math] \langle G, k \rangle [/math], где [math]G[/math] — граф, а [math]k[/math] — число, такое, что в [math]G[/math] есть клика размера [math]k[/math].
| Теорема: |
[math]IND \leq CLIQUE[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Рассмотрим функцию [math]f( \langle G, k \rangle ) = \langle \overline{G}, k \rangle[/math], где [math]\overline{G}[/math] — дополнение графа [math]G[/math]. [math]f[/math] вычислима за линейное время от длины входа, если граф задан в виде матрицы смежности.
- ([math]x \in L_1 \Rightarrow f(x) \in L_2[/math]). Заметим, что, если в [math]G[/math] было независимое множество размера [math]k[/math], то в [math]\overline{G}[/math] будет клика такого же размера (вершины, которые были в независимом множестве, в [math]\overline{G}[/math] попарно соединены рёбрами и образуют клику).
- ([math]x \in L_1 \Leftarrow f(x) \in L_2[/math]). Обратно, если в [math]\overline{G}[/math] есть клика размера [math]k[/math], то в исходном графе было независимое множество размера [math]k[/math].
Таким образом, [math]IND \leq CLIQUE[/math] по определению. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Замечание. Другие примеры сведения по Карпу приведены в статье, содержащей примеры NP-полных языков.
Свойства сведения
| Теорема (о транзитивности): |
Сведение по Карпу транзитивно, то есть: [math] ( L_1 \leq L_2, L_2 \leq L_3 ) \Rightarrow L_1 \leq L_3 [/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Пусть [math]f[/math] и [math]g[/math] — функции из определения сведения для [math] L_1 \leq L_2 [/math] и [math] L_2 \leq L_3 [/math] соответственно. Из определения следует: [math]x \in L_1 \Leftrightarrow f(x) \in L_2 \Leftrightarrow g(f(x)) \in L_3[/math].
Проверим, что [math]g(f(x))[/math] вычислима за полиномиальное от [math]|x|[/math] время.
Действительно, первым делом необходимо вычислить [math]f(x)[/math], на это уйдет полином от [math]|x|[/math] времени.
Кроме того, длина входа [math]g[/math], являющегося выводом [math]f(x)[/math], тоже полиномиальна, так как за единицу времени может быть выведено не более, чем константное число символов. Значит, вычисление [math]g(f(x))[/math] также займет времени не более, чем полином от [math]|x|[/math].
Таким образом, полное время работы программы есть сумма полиномов от [math]|x|[/math] и потому тоже является полиномом от [math]|x|[/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Определения трудных и полных задач
| Определение: |
[math]C[/math] — сложностный класс. Язык [math]L[/math] называется [math]C[/math]-трудным (относительно полиномиального сведения) ([math]C[/math]-hard), если любой язык [math]M[/math] из [math]C[/math] сводится по Карпу к [math]L[/math]:
[math] (L [/math] — [math]C[/math]-hard [math]) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{\Leftrightarrow} ( \forall M \in C \Rightarrow M \leq L) [/math]. |
| Определение: |
| [math]C[/math] — сложностный класс. Язык [math]L[/math] называется [math]C[/math]-полным (относительно полиномиального сведения) ([math]C[/math]-complete), если [math]L[/math] является [math]C[/math]-трудным и сам лежит в [math]C[/math]. |
Обобщение на другие ограничения на сведения
| Определение: |
| [math]D[/math] — класс языков, распознаваемых программами с некоторыми ограничениями. Тогда обозначим [math]\widetilde{D}[/math] класс вычислимых функций, вычисляемых программами с теми же ограничениями. |
| Определение: |
Язык [math]L_1[/math] [math]\widetilde{D}[/math]-сводится по Карпу к языку [math]L_2[/math] ([math]L_1 \leq_{\widetilde{D}} L_2[/math]), если существует такая функция [math]f[/math] из [math]\widetilde{D}[/math], что [math]x[/math] принадлежит [math]L_1[/math] тогда и только тогда, когда [math]f(x)[/math] принадлежит [math]L_2[/math]:
[math] (L_1 \leq_{\widetilde{D}} L_2) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{\iff} ( \exists f \in \widetilde{D} : x \in L_1 \Leftrightarrow f(x) \in L_2 ) [/math]. |
Замечание. Часто используется сведение из [math]\widetilde{P}[/math], поэтому вместо «[math]\widetilde{P}[/math]-сводится по Карпу» говорят просто «сводится». Также индекс у символа сведения обычно опускают.
| Лемма: |
[math](L_1 \leq_{\widetilde{D}} L_2) \Leftrightarrow (\overline {L_1} \leq_{\widetilde{D}} \overline {L_2})[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
По определению сведения существует такая функция [math]f[/math] из класса [math]\widetilde{D}[/math], что [math]x \in L_1 \Leftrightarrow f(x) \in L_2[/math]. Для того, чтобы свести [math]\overline{L_1}[/math] к [math]\overline{L_2}[/math] будем использовать ту же функцию [math]f[/math].
В самом деле: [math]( x \in L_1 \Leftrightarrow f(x) \in L_2 ) \iff ( \overline{x \in L_1} \Leftrightarrow \overline{f(x) \in L_2} ) [/math] [math]\iff ( x \in \overline{L_1} \Leftrightarrow f(x) \in \overline{L_2} ) \iff (\overline {L_1} \leq_{\widetilde{D}} \overline {L_2})[/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Определение: |
[math]C[/math] — сложностный класс, [math]\widetilde{D}[/math] — класс вычислимых функций. Язык [math]L[/math] называется [math]C[/math]-трудным относительно [math]\widetilde{D}[/math]-сведения ([math]C[/math]-hard), если любой язык [math]M[/math] из [math]C[/math] [math]\widetilde{D}[/math]-сводится к [math]L[/math]:
[math] (L [/math] — [math]C[/math]-hard [math]) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{\Leftrightarrow} ( \forall M \in C \Rightarrow M \leq_{f} L, f \in \widetilde{D} ) [/math]. |
| Определение: |
| [math]C[/math] — сложностный класс, [math]\widetilde{D}[/math] — класс вычислимых функций. Язык [math]L[/math] называется [math]C[/math]-полным относительно [math]\widetilde{D}[/math]-сведения ([math]C[/math]-complete), если [math]L[/math] является [math]C[/math]-трудным относительно [math]\widetilde{D}[/math]-сведения и сам лежит в [math]C[/math]. |
