Изменения

Утверждается, что точное вычисление значения гиперобъема <tex>S(X)</tex> множества из <tex>n</tex> точек <tex>d</tex>-мерного пространства является [http://en.wikipedia.org/wiki/Sharp-P #P-трудной задачей], однако допускает эффективную аппроксимацию, а именно может быть аппроксимировано за

|definition=задача Задача #MON-CNF (Satisfability problem for monotone boolean formulas) — задача вычисления количества удовлетворяющих подстановок для монотонной булевой формулы, записанной в [[КНФ]] <tex>f = \bigwedge \limits _{k=1}^n \bigvee_{i \in C_k} x_i</tex>,

|statement= Задача вычисления гиперобъема принадлежит классу #P -трудных задач

{{статья<ref> |автор = Karl Bringmann, Tobias Friedrich |заглавие = Approximating Roth D. On the volume hardness of unions and intersections of high-dimensional geometric objects |ссылка = approximate reasoning, Artif. Intell., 82: 273–302, 1996, http://wwwcogcomp.texcs.uniyarillinois.ac.ruedu/docpapers/shulmeishardJ.pdf |место = ISAAC'2008 |год = 2008}}</ref><ref>

Задача MON-CNF состоит в нахождении количества Количество удовлетворяющих подстановок дляфункции

 Количество ее удовлетворяющих подстановок равно меньше <tex>2^d</tex> минус на количество удовлетворяющих подстановок ее отрицания

поэтому далее будем работать с <tex>\overline{f}</tex>.Для каждого клоза конъюнкта <tex>\bigwedge_{i \in C_k} \neg x_i</tex> построим гиперкуб соответствующий ему гиперпараллелепипед<tex>A_k = [0,a^k_1]\times...\times[0,a^k_d]</tex>

</tex> например, гиперкубу .

Рассмотрим теперь <tex>C_1 A = \bigcup \limits _{k=1}^n A_k</tex>. Заметим, что так как все вершины гиперпараллелепипедов <tex>A_i</tex> лежат в точках с целочисленными координатами 0,1 или 2, то и <tex>A</tex> можно разбить на гиперкубы вида <tex>B_{xx_1,...,x_d} = [x_1,x_1 + 1]\}times ... \times [x_d, x_d + 1]</tex> будет соответствовать клоз , где <tex>x_i \neg x_1in \{0,1\}, i \in [d]</tex>(то есть на гиперкубы со сторонами 1 с координатами ближайшей к началу координат вершины 0 или 1).

а Более того, из-за целочисленности вершин <tex>C_2 = \{1,2\}A_i</tex> клоз , каждый из этих гиперкубов лежит в хотя бы одном из <tex>\neg x_1 \wedge \neg x_2A_i</tex>.

Заметим, что объединение гиперкубов <tex>A_k</tex> может быть записано как объединение гиперкубов вида <tex>B_{x_1,...,x_d} \subset \bigcup \limits _{k = [1}^n A_k \iff B_{x_1,x_1 + 1]\times ... \times [x_d, x_d + 1]</tex>, где <tex>x_i } \in \{0,1subset A_k \}, i \in [d]iff</tex>.

<tex> B_{x_1,...,x_d} \subset \bigcup \limits _{k = 1}^n A_k \iff B_{x_1,...,x_d} \subset A_k \iff \exists a^k_i \geq x_i + 1 : i \in d \iff</tex>

Заметим, что так как <tex>\mu (B_{x_1,...,x_d}) = 1 \to \mu (\bigcup \limits _{k=1}^nA_k ) A_k = |\{(x_1,...,x_d) \in \{0,1\}^d| (x_1,...,x_d)</tex> удовлетворяет <tex>\overline{f}\}|</tex>

Таким образом произвели сведение, в значит задача вычисления гиперобъема принадлежит классу #P

= Источники =Эффективная аппроксимация нахождения значения гиперобъема==Приведем псевдокод алгоритма для аппроксимации гиперобъема объединения тел. В алгоритме, приведенном в <ref>Bringmann K., Friedrich T. Approximating the volume of unions and intersections of high-dimensional geometric objects, ISAAC'2008, http://www.mpi-inf.mpg.de/~kbringma/paper/2008ISAAC_Volume.pdf</ref>используются три оракула: <tt>PointQuery</tt>, <tt>VolumeQuery</tt> и <tt>SampleQuery</tt>, каждый из которых ошибается с вероятностью <tex>\epsilon_p, \epsilon_v</tex> и <tex>\epsilon_s</tex> соответственно. Оракул*<tt>PointQuery(x,B)</tt> возвращает true, если точка <tex>x</tex> лежит внутри <tex> B</tex>.*<tt>VolumeQuery(B)</tt> возвращает объем заданного тела <tex>B</tex>.*<tt>SampleQuery(B)</tt> для заданного тела <tex>B</tex> возвращает произвольную его точку <tex>x \in B</tex>.  Для данного алгоритма допускаются следующие ослабления этих оракулов:*<tt>PointQuery(x,B)</tt> возвращает true для всех точек из некоторого тела <tex> B' : \mu ((B' \backslash B) \cup (B \backslash B'))\leq \epsilon_p \mu(B)</tex>*<tt>VolumeQuery(B)</tt> возвращает значение <tex>V' : (1-\epsilon_v)\mu(B) \leq V' \leq (1+\epsilon_v)\mu(B)</tex>*<tt>SampleQuery(B)</tt> возвращает произвольную точку из тела <tex>B' : |f(x) - 1/\mu(B')| < \epsilon_s </tex> M := 0; C := 0; <tex> \overline \epsilon := \frac{\epsilon - \epsilon_v}{1+ \epsilon_v} </tex> <tex> \overline C := \frac{(1+\epsilon_s)(1+\epsilon_v)(1+\epsilon_p)}{(1-\epsilon_v)(1-\epsilon_p)}</tex> <tex> T := \frac{24 ln (2) (1 + \overline \epsilon) n}{\overline \epsilon^2 - 8 (\overline C - 1) n}</tex> for all <tex>B_i \in S</tex> do compute <tex>V'_i</tex> := VolumeQuery(<tex>B_i</tex>) od <tex> V' := \sum\limits_{i = 1}^n V'_i</tex> while <tex>C \leq T</tex> do choose <tex>i \in [n] </tex> with probability <tex>\frac{V'_i}{V'}</tex> x := SampleQuery(<tex>B_i</tex>) repeat if (C > T) then return <tex>\frac {TV'}{nM} </tex> choose random <tex>j \in [n]</tex> uniformly C := C + 1 until PointQuery (x, <tex>B_j</tex>) M := M + 1 od return <tex>\frac{TV'}{nM}</tex> Время работы алгоритма составляет  <tex>O(n V(d)+M S(d)+ TP(d)) = O(n V(d) + T(S(d)+P(d)) )</tex>, где <tex>V(d)</tex>, <tex>S(d)</tex> и <tex>P(d)</tex> это оценка времени работы оракулов <tt>VolumeQuery</tt>, <tt>SampleQuery</tt> и <tt>PointQuery</tt>, соответственно. Выберем <tex>\epsilon : \epsilon_s, \epsilon_p, \epsilon_v \leq \frac{\epsilon^2}{47n}</tex>. Если все используемые тела являются гиперпараллелепипедами, то время работы каждого из оракулов составляет в точности <tex>O(d)</tex>, таким образом алгоритм позволяет построить <tex>\epsilon</tex>-аппроксимацию гиперобъема с вероятностью <tex>\geq 3/4</tex> за время <tex>O(\frac{nd}{\epsilon^2})</tex>. ==Источники==<references />