Изменения

== Постановка задачи ==Утверждается, что точное вычисление значения гиперобъема множества из <tex>x = (x_1, x_2, ..., x_d; x_i \ge 0) \in R^dn</tex> - точка в точек <tex>d</tex>-мерном пространствемерного пространства является [http://en.wikipedia.org/wiki/Sharp-P #P-трудной задачей], однако допускает эффективную аппроксимацию, а именно может быть аппроксимировано за*полином от количества параметров,*полином от количества решений,*полином от качества аппроксимации.

Точка <tex>x</tex> доминирует точку <tex>y</tex> == #P-трудность задачи вычисления гиперобъема =={{Определение|definition=Задача #MON-CNF (Satisfability problem for monotone boolean formulas) — задача вычисления количества удовлетворяющих подстановок для монотонной булевой формулы, записанной в [[КНФ]] <tex>x f = \bigwedge \limits _{k=1}^n \bigvee_{i \succ yin C_k} x_i</tex>), если где все дизъюнкты <tex>C_k \forall i : x_i \ge y_isubseteq {1,..., \exists j : x_j > y_jd}</tex>.}}

{{Теорема|statement= Задача вычисления гиперобъема принадлежит классу #P-трудных задач|proof= Суть доказательства состоит в сведении задачи #MON-CNF к задаче вычисления значения гиперобъема. Так как доказано<texref>X = (x^1 Roth D. On the hardness of approximate reasoning, Artif. Intell., 82: 273–302, x^21996, http://cogcomp.cs.illinois., x^n) \subset R^d<edu/tex> - множество из <tex>n<papers/tex> точек в <tex>dhardJ.pdf</texref>-мерном пространстве таких, что <tex>\nexists i \neq j : x_i \succ x_j</tex> #MON-CNF является #P- никакая точка не доминируется другой точкой из этого множестватрудной, то это докажет теорему.

Количество удовлетворяющих подстановок функции<tex>S(X) f = \mu (bigwedge \bigcup limits _{k=1}^n \limits_bigvee_{x i \in XC_k} x_i</tex>меньше <tex>2^d</tex> на количество удовлетворяющих подстановок ее отрицания<tex> \overline{f} = \bigvee \limits _{y | y k=1}^n \succ xbigwedge_{i \in C_k}) \neg x_i</tex> - гиперобъем множества . Для упрощения вычислений далее будем работать с <tex>X\overline{f}</tex>.

В частности, если Для каждого конъюнкта <tex>X = \bigwedge_{xi \in C_k}\neg x_i</tex>, то построим соответствующий ему гиперпараллелепипед<tex>S(X) A_k = [0,a^k_1]\prod times...\limits_{i=1}times[0,a^{d} x_ik_d]</tex>.

Утверждаетсягде  <tex>a^k_i = \begin{cases} 1 & \text{if } i \in C_k \\ 2 & \text{otherwise}\end{cases}</tex>. Рассмотрим теперь <tex>A = \bigcup \limits _{k=1}^n A_k</tex>. Заметим, что точное вычисление значения вклада одной точки так как все вершины гиперпараллелепипедов <tex>A_i</tex> лежат в гиперобъем точках с целочисленными координатами 0,1 или 2, то и <tex>A</tex> можно разбить на гиперкубы вида <tex>B_{x_1,...,x_d} = [x_1,x_1 + 1]\times ... \times [x_d, x_d + 1]</tex>, где <tex>Sx_i \in \{0,1\}, i \in [d]</tex> (Xто есть на гиперкубы со сторонами 1 с координатами ближайшей к началу координат вершины 0 или 1). Более того, из-за целочисленности вершин <tex>A_i</tex> множества , каждый из этих гиперкубов лежит в хотя бы одном из <tex>A_i</tex> <tex> B_{x_1,...,x_d} \subset \bigcup \limits _{k = 1}^nA_k \iff B_{x_1,...,x_d} \subset A_k \iff</tex> А значит из определения <tex>A_i</tex> точек  <tex>\iff\exists a^k_i \geq x_i + 1 : i \in d \iff</tex>-мерного пространства является [http <tex>\iff \forall i : x_i = 1 \to a^k_i = 2 \iff \forall i :x_i = 1 \to i \notin C_k \iff (x_1,...,x_d) </tex> удовлетворяет <tex>\bigwedge_{i \in C_k} \neg x_i</entex> для некоторого <tex>k \iff (x_1,..wikipedia.org,x_d)</wikitex> удовлетворяет <tex>\overline{f}</Sharp-P tex> Заметим, что так как <tex>\mu (B_{x_1,...,x_d}) = 1 \to \mu (\bigcup \limits _{k=1}^n A_k ) = |\{(x_1,...,x_d) \in \{0,1\}^d| (x_1,...,x_d)</tex> удовлетворяет <tex>\overline{f} \}|</tex> Таким образом произвели сведение, в значит задача вычисления гиперобъема принадлежит классу #P-трудной задачей], а }} ==Эффективная аппроксимация этого нахождения значения гиперобъема==Приведем псевдокод алгоритма для аппроксимации гиперобъема объединения тел. В алгоритме, приведенном в <ref>Bringmann K., Friedrich T. Approximating the volume of unions and intersections of high-dimensional geometric objects, ISAAC'2008, http://www.mpi- [[NPinf.mpg.de/~kbringma/paper/2008ISAAC_Volume.pdf</ref>используются три оракула: <tt>PointQuery</tt>, <tt>VolumeQuery</tt> и <tt>SampleQuery</tt>, каждый из которых ошибается с вероятностью <tex>\epsilon_p, \epsilon_v</tex> и <tex>\epsilon_s</tex> соответственно. Оракул*<tt>PointQuery(x,B)</tt> возвращает true, если точка <tex>x</tex> лежит внутри <tex> B</tex>.*<tt>VolumeQuery(B)</tt> возвращает объем заданного тела <tex>B</tex>.*<tt>SampleQuery(B)</tt> для заданного тела <tex>B</tex> возвращает произвольную его точку <tex>x \in B</tex>.  Для данного алгоритма допускаются следующие ослабления этих оракулов:*<tt>PointQuery(x,B)</tt> возвращает true для всех точек из некоторого тела <tex> B' : \mu ((B' \backslash B) \cup (B \backslash B'))\leq \epsilon_p \mu(B)</tex>*<tt>VolumeQuery(B)</tt> возвращает значение <tex>V' : (1-\epsilon_v)\mu(B) \leq V' \leq (1+\epsilon_v)\mu(B)</tex>*<tt>SampleQuery(B)</tt> возвращает произвольную точку из тела <tex>B' : |f(x) -полнота1/\mu(B')|NP< \epsilon_s </tex> M := 0; C := 0; <tex> \overline \epsilon := \frac{\epsilon -трудной\epsilon_v}{1+ \epsilon_v} </tex> <tex> \overline C := \frac{(1+\epsilon_s)(1+\epsilon_v)(1+\epsilon_p)}{(1-\epsilon_v)(1-\epsilon_p)}</tex> <tex> T := \frac{24 ln (2) (1 + \overline \epsilon) n}{\overline \epsilon^2 - 8 (\overline C - 1) n}</tex> for all <tex>B_i \in S</tex> do compute <tex>V'_i</tex> := VolumeQuery(<tex>B_i</tex>) od <tex> V' := \sum\limits_{i = 1}^n V'_i</tex> while <tex>C \leq T</tex> do choose <tex>i \in [n]</tex> with probability <tex>\frac{V'_i}{V'}</tex> x := SampleQuery(<tex>B_i</tex>) repeat if (C > T) then return <tex>\frac {TV'}{nM} </tex> choose random <tex>j \in [n]</tex> uniformly C := C + 1 until PointQuery (x, <tex>B_j</tex>) M := M + 1 od return <tex>\frac{TV'}{nM}</tex> Время работы алгоритма составляет  <tex>O(n V(d)+M S(d)+ TP(d)) = O(n V(d) + T(S(d)+P(d)) )</tex>, где <tex>V(d)</tex>, <tex>S(d)</tex> и <tex>P(d)</tex> это оценка времени работы оракулов <tt>VolumeQuery</tt>, <tt>SampleQuery</tt> и <tt>PointQuery</tt>, соответственно. Выберем <tex>\epsilon : \epsilon_s, \epsilon_p, \epsilon_v \leq \frac{\epsilon^2}{47n}</tex>. Если все используемые тела являются гиперпараллелепипедами, то время работы каждого из оракулов составляет в точности <tex>O(d)</tex>, таким образом алгоритм позволяет построить <tex>\epsilon</tex>-аппроксимацию гиперобъема с вероятностью <tex>\geq 3/4</tex> за время <tex>O(\frac{nd}{\epsilon^2})</tex>. ==Источники==<references />