Изменения

|proof= Рассмотрим дерево рекурсииданного соотношения. Всего в нем будет <tex>\log_b n</tex> уровней. На каждом таком уровне, количество детей в дереве будет умножаться на <tex>a</tex>, так на уровне <tex>i</tex> будет <tex>a^i</tex> детей. Также известно, что каждый ребенок на уровне <tex>i</tex> размера <tex>\dfrac{n}{b^i}</tex>. Ребенок размера <tex>\left(\dfrac{n}{b^i}\right)</tex> требует <tex>O\left(\left(\dfrac{n}{b^i}\right) ^ c\right)</tex> дополнительных затрат, поэтому общее количество совершенных действий на уровне <tex>i</tex> : <tex> O\left(a^i\left(\dfrac{n}{b^i}\right)^c \right) = O\left (n^c\left(\dfrac{a^i}{b^{ic}}\right)\right) = O\left (n^c\left(\dfrac{a}{b^c}\right)^i\right)</tex>

Поэтому решение разбивается на три случая, когда <tex>\left(\dfrac{a}{b^c}\right)^i</tex> больше <tex>1</tex>, равна <math>1</math> или меньше <math>1</math>. Рассмотрим <tex dpi = "130">\left(\dfrac{a}{b^c}\right)^i = 1\Leftrightarrow a = b^c \Leftrightarrow\ \log_b a = c \log_b b \Leftrightarrow\ \log_b a = c</tex>.

<tex dpi = "130"> T(n) = \displaystyle\sum_{i=0}^{\log_b n}O\left(n^c\cdot\left(\frac{a}{b^c} \right)^i\right) + O(1)\right)^i= ОO\left(n^c\cdot\displaystyle\sum_{i=0}^{\log_b n}\left(\frac{a}{b^c} + O(1)\right)^i\right)^i</tex>

#<tex>c < \log_b a </tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex dpi = "125"> T(n) = \displaystyle\sum_{i=0}^{\log_b n}n^c\cdot\left(\frac{a}{b^c}\right)^i = n^c\cdot\displaystyle\sum_{i=0}^{\log_b n}\left(\dfrac{a}{b^c}\right)^i = O\left(n^c\cdot\left(\dfrac{a}{b^c}\right)^{\log_b n}\right)</tex>, но <tex dpi = "130"> n^c\cdot\left(\dfrac{a}{b^c}\right)^{\log_b n} </tex> <tex dpi = "130"> = </tex> <tex dpi = "130"> n^c\cdot\left(\dfrac{a^{\log_b n} }{(b^c)^{\log_b n}}\right) </tex> <tex dpi = "130"> = </tex> <tex dpi = "130"> n^c\cdot\left(\dfrac{n^{\log_b a}}{n^c}\right)</tex> <tex dpi = "130"> = </tex> <tex dpi = "130"> n^{\log_b a} \Rightarrow T(n) = O\left(n^{\log_b a}\right)</tex>

Мастер-теорема имеет прямое отношение к анализу алгоритмов, так как рекуррентное соотношение можно воспринимать как алгоритм, который разбивает задачу на следующим образом: имеется задача размера <tex> a n </tex> подзадач,при этом алгоритм разбивает её на <tex>na </tex> — размер общей задачи, подзадач размера <tex dpi = "125">\dfrac{n}{b}</tex> — размер каждой подзадачи, тратит дополнительно <tex> O(n ^ {c} ) </tex> — стоимость работы действий, проделанной рекурсивными вызовамиа если размер подзадачи становится равен единице, который включает в себя стоимость деления проблемы и стоимость слияния решения подзадач и то алгоритму требуется <tex>O(1)</tex> — начальная стоимость для данной задачи(при действий на её решение.  Из доказательства теоремы видно, что если в рекурретном соотношении заменить <tex> O </tex> на <tex>n = 1\Theta </tex>).Тогда мастер-теорема позволяет найти асимптотическое решение рекурренты, возникшей в результате анализа асимптотики данной задачи. Также, следуя из определения, и <tex> O \Omega </tex> мастер-теорема распространяется , то и асимптотика решения изменится соответствующим образом на <tex> \Theta </tex> и или <tex> \Omega </tex>.

<tex> t(xn) = \begin{cases} 2 \; t\!\left(\dfrac{xn}{2}\right) + O(n\log n) , & n > 1\\

Заметим, что <tex> n\log n = O(n^c) </tex>, для любого <tex> c > 1 </tex>, что удовлетворяет 1 условию. Тогда <tex> T(n) = O(n^c) </tex>, где <tex> c > 1 </tex>, при <tex> a = 2, b = 2, \log_b a = 1 </tex>

*:<tex>a</tex> не является константой; количество подзадач может меняться,*<tex dpi = "130">T(n) = 2T\left (\dfrac{n}{2}\right )+O\left(\fracdfrac{n}{\log n}\right)</tex>*:рассмотрим <tex> f(n) = \dfrac{n}{\log n} </tex> , тогда не существует такого <tex> O(n^c) </tex>, что <tex> f(n) \in O(n^c) </tex> , т.к. так как при <tex> n = 1 , f(n) \rightarrow \!\, \infty </tex>, а <tex> O(n^c) </tex> ограничено.,

*:<tex>|a | < 1</tex> не может быть меньше одной подзадачи, однако пример можно решить следующим образом: заметим, что на <tex> i </tex> шаге, размер <tex> T(i) \leqslant \dfrac{c \cdot n}{4^i} </tex> , тогда, оценивая сумму, получаем, что <tex> T(n) = O(n) </tex>,*<tex dpi = "130">T(n) = 64T-2T\left (\dfrac{n}{83}\right )-+O(n^2\log n)</tex>*:<tex>f(n)a < 0 </tex>, при составлении асимптотического решения перед <tex> O </tex> не положительнакаждый раз будет новый знак, что противоречит мастер-теореме.