1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
==Определитель линейного оператора==
{{Определение
|definition=Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to X</tex> линейный оператор в некотором базисе <tex>\left\{ e \right\}_{i = 1}^{n}\</tex> линейного пространства <tex>X</tex> над полем <tex>F</tex>. Тогда определителем линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex> называется детерминант [[http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80§ion=7| матрицы линейного оператора]].
}}
{{Определение
|definition=Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to X</tex> {{---}} автоморфизм. Тогда <tex>det||A|| = det\{\mathcal{A}e_1, \mathcal{A}e_2, ... , \mathcal{A}e_n\} = \sum\limits_{(j_1,j_2,...,j_n)} (-1)^{[j_1,j_2,...,j_n]}(\alpha_{j_1}^1\alpha_{j_2}^2...\alpha_{j_n}^n). </tex>
}}
{{Лемма
|statement = Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to X</tex> {{---}} автоморфизм в <tex>\left\{ e \right\}_{i = 1}^{n}\ \Leftrightarrow </tex> <tex> A = ||\alpha_{k}^i|| </tex>, то есть <tex>(\mathcal{A}e_k)^i = \alpha_{n}^i, </tex> <tex> \mathcal{A}e_k = \sum \alpha_{k}^ie_i </tex>. <br>Тогда <tex> det\mathcal{A} = detA = det||\alpha_{k}^i||</tex>
}}
==Внешняя степень оператора==
{{Определение
|definition = Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to X</tex> {{---}} автоморфизм. Внешней степенью линейного оператора называется отображение <tex>\mathcal{A}^{\wedge_p} \colon \wedge_p \to \wedge_p </tex> по формуле <tex> \mathcal{A}^{\wedge_p}(e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}e_{i_1} \wedge \mathcal{A}e_{i_2} \wedge ... \wedge \mathcal{A}e_{i_n}</tex> и на остальные поливектора распределяется по линейности.
}}
{{Теорема
|statement= Для <tex>\forall (x_1 \wedge x_2 \wedge ... \wedge x_p) </tex>, верно что <tex>\mathcal{A}^{\wedge_p}(e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}x_1 \wedge \mathcal{A}x_2 \wedge ... \wedge \mathcal{A}x_p </tex>
|proof = Рассмотрим : <br> <tex>\mathcal{A}^{\wedge_p}(x_i \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}^{\wedge_p}((\sum_{i=1}^{n}\xi^ie_{i_1}) \wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_p})
= \sum_{i=1}^{n}\xi^i\mathcal{A}^{\wedge_p}(e_{i_1}\wedge ... \wedge e_{i_n}) = \mathcal{A}(\sum_{i=1}^{n}\xi^ie_i)\wedge \mathcal{A}e_{i_2} \wedge ... \wedge \mathcal{A}e_{i_n} = \mathcal{A}x \wedge \mathcal{A}e_{i_2}\ \wedge ... \wedge \mathcal{A}e_{i_p}</tex>.
}}
{{Теорема
|statement = Пусть <tex>\forall z \in \bigwedge_n (n = dimX) </tex> верно <tex> \mathcal{A}^{\wedge_n}z = detA z</tex>
|proof = Пусть <tex> z = e_1 \wedge e_2 \wedge ... \wedge e_n = F_{1, 2, ..., n} </tex>, то есть <tex>\mathcal{A}^{\wedge_{n}^{*}}z = \mathcal{A}^{\wedge_{n}^{*}}e_1 \wedge e_2 \wedge ... \wedge e_n = detAe_1 \wedge e_2 \wedge ... \wedge e_n </tex>.
}}
{{Лемма
|statement = <tex> detA </tex> не зависит от базиса. <tex>det\mathcal{A} = detA </tex> {{---}} [[Инвариантные_подпространства|инвариант линейного оператора]]
}}
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
[[Категория: Тензорная алгебра]]
