Изменения

'''Теорема о емкостной иерархии''' утверждает, что для любых двух [[Конструируемая по памяти функция|конструируемых по памяти функций]] <mathtex>f</mathtex> и <mathtex>g</mathtex> таких, что <mathtex> \lim_lim \limits_{n \rightarrow \infty} f(n)/g(n) = 0</mathtex>, выполняется <math>'''DSPACE'''(''g''(''n'')) \&ne ; '''DSPACE'''(''f''(''n''))</math>.

Зафиксируем функции <mathtex>f</mathtex> и <mathtex>g</mathtex>.

Рассмотрим язык <mathtex>L = \{ <\langle m,x> \rangle \mid m(<\langle m,x>\rangle )</mathtex> не допускает, используя не более <mathtex> f(|<\langle m,x>\rangle|)</mathtex> памяти <mathtex>\}</mathtex> и докажем, что <tex>L \notin DSPACE(f)</tex> и <tex>L \in DSPACE(g)</tex> .

Пусть Допустим, что <mathtex>L \in DSPACE(f)</mathtex>, тогда для него есть существует детерминированная машина тьюринга Тьюринга <mathtex>m_0</mathtex> такая, что <mathtex>L(m_0)=L</mathtex>.

Рассмотрим выход машины <mathtex>m_0(</tex> на входе <tex>\langle m_0,x>)\rangle</mathtex>.

Пусть <mathtex>m_0</mathtex> допускает <mathtex><\langle m_0,x>\rangle</mathtex>. Тогда <mathtex><\langle m_0,x> \rangle \in L</mathtex>, но в <mathtex>L</mathtex> по определению не может быть пары <mathtex><\langle m,x>\rangle</mathtex>, которую допускает <mathtex>m</mathtex>. Таким образом, получаем противоречие<tex>m_0</tex> не может допускать <tex>\langle m_0,x\rangle</tex>.

Если <mathtex>m_0</mathtex> не допускает <mathtex><\langle m_0,x>\rangle</mathtex>, то <mathtex><\langle m_0,x>\rangle</mathtex> не принадлежит языку <mathtex>L</mathtex>. Это Из определения это значит, что либо <mathtex>m_0</mathtex> допускает <mathtex><\langle m_0,x>\rangle</mathtex>, либо не допускает, используя памяти больше <mathtex>f(|<\langle m_0,x>\rangle|)</mathtex>. Но <mathtex>L \in DSPACE(f)m_0</mathtex>выбрана таким образом, поэтому <math>m_0</math> что на любом входе <mathtex>x</mathtex> она использует не более <mathtex>f(|x|)</mathtex> памяти. Получаем противоречие.

Следовательно , такой машины не существует. Таким образом, <mathtex>L \notin DSPACE(f)</mathtex>.

<mathtex>L \in DSPACE(g)</mathtex>, так как языку <tex>L</tex> можно проэмулировать сопоставить машину Тьюринга <tex>m_0</tex>, распознающую <tex>L</tex> и такую, что на любом входе <tex>\langle m_1,x\rangle \in L</tex> <tex>m_0</tex> будет работать аналогично <tex>m_1</tex>. Если <tex>m_1</tex> завершила работу, используя не более <tex>f(|\langle m_1,x\rangle|)</tex> памяти, и не допустила, то <tex>m_0</tex> допускает <mathtex>m\langle m_1,x\rangle</tex>. В другом случае не допускает. Любая такая машина использует памяти не более <tex>f(|\langle m_1,x\rangle|)</tex>. По условию теоремы <tex>\lim \limits_{n \rightarrow \infty} f(n)/g(n) = 0</tex>, поэтому начиная с некоторого <tex>n</tex>, <tex>m_1</tex> будет использовать памяти не более <tex>g(|\langle m_1,x\rangle|)</mathtex>.

ПолучаетсяТаким образом получили, что <mathtex>L \in DSPACE(g(n)) \ setminus DSPACE(f(n))</mathtex>. Теорема доказанаСледовательно, <tex>DSPACE(g(n)) \neq DSPACE(f(n))</tex>, что и требовалось доказать.