Теорема Валианта-Вазирани

Теорема Валианта-Вазирани (Valiant–Vazirani theorem) является важным современным (1986 год) результатом об отношении между сложностными классами.

Формулировка теоремы

Если язык USAT принадлежит классу P, то классы языков NP и RP совпадают.

Доказательство теоремы

Для доказательства этого факта покажем, что по заданной в КНФ формуле [math]\phi[/math] можно за полиномиальное время построить набор формул {[math]\phi_1 \ldots \phi_m[/math]} такой, что:

• если формула [math]\phi[/math] неудовлетворима (то есть не принадлежит SAT), то все формулы [math]\phi_1 \ldots \phi_m[/math] также неудовлетворимы;
• если формула [math]\phi[/math] удовлетворима, то с вероятностью большей ½ в наборе найдется формула [math]\phi_i[/math] ∈ USAT.

Таким образом (учитывая, что по условию теоремы включение [math]\phi_i[/math] ∈ USAT определяется за полиномиальное время), задача принадлежности формулы [math]\phi[/math] языку SAT будет разрешаться за полиномиальное время с вероятностью односторонней ошибки меньшей ½, то есть SAT ∈ RP, следовательно, NP=RP.

Построение набора формул

Пусть формуле [math]\phi(x_1 \ldots x_n)[/math] с [math]n[/math] переменными соответствует [math]n[/math]-битное число [math]x[/math], которое кодирует набор переменных.

• Выберем равновероятно случайным образом целое число [math]i[/math] из отрезка [0..[math]n[/math]]. Определим число [math]b_i = 2^{i + 2}n^2[/math].

• Выберем равновероятно случайным образом целые числа [math]p_i[/math] из отрезка [1..[math]b_i[/math]] и [math]r_i[/math] из отрезка [0..[math]b_i[/math]].

• Добавим в набор формулу [math]\phi_k = \phi \wedge (x \bmod p_i = r_i)[/math], где выражение [math](x \bmod p_i = r_i)[/math] в данном случае обозначает булеву запись в КНФ, зависящую от переменных [math]x_1 \ldots x_n[/math] и соответствующую данному сравнению.

Данное построение работает за полиномиальное время, и если формула [math]\phi[/math] невыполнима, то любая формула [math]\phi_k[/math] невыполнима.

Вероятность существования единственного удовлетворяющего набора

Осталось доказать, что с необходимой нам вероятностью при условии выполнимости [math]\phi[/math] каждая построенная формула [math]\phi_k[/math] имеет единственный набор, ее удовлетворяющий.

Дальнейшие рассуждения рекомендуется читать медленно и внимательно:

1. Обозначим за [math]x^{(1)} \ldots x^{(D)}[/math] все выполняющие наборы формулы [math]\phi[/math]. Заметим, что их число, обозначенное как [math]D[/math], нам неизвестно (но не превосходит 2ⁿ).
2. Равенство [math]i = \lceil \log_2 D \rceil[/math] выполняется с вероятностью [math]\frac{1}{n+1}[/math], так как [math]i[/math] было выбрано из [0..[math]n[/math]]. Предположим, что это соотношение верно.
3. Для некоторых [math]x^{(j)}[/math] и [math]x^{(h)}[/math] при условии несовпадения [math]j[/math] и [math]h[/math] имеется не более [math]n[/math] простых делителей разности [math]x^{(j)} - x^{(h)}[/math], так как [math]x^{(j)}[/math] и [math]x^{(h)}[/math] не превосходят 2ⁿ.
4. Из курса теории чисел известно, что для достаточно больших [math]n[/math] имеется не менее [math]\pi(b_i) \approx \frac{b_i}{\log_2 b_i} = \frac{2^{i + 2}n^2}{i + 2 + 2 \log_2 n} \ge 2^{i+1}n[/math] простых чисел, не превосходящих [math]b_i[/math].
5. Из двух предыдущих рассуждений следует, что существует по крайней мере [math]2^{i+1}n - D \cdot n \ge 2^{i+1}n - 2^{i}n = 2^{i}n[/math] чисел [math]p[/math] таких, что они не превосходят [math]b_i[/math] и остаток от деления [math]x^{(j)}[/math] на [math]p[/math] не совпадает с остатком от деления любого [math]x^{(h)}[/math] на [math]p[/math].
6. Таким образом по крайней мере [math]2^{i}n[/math] пар чисел [math]0 \le p_l, r_l \le b_i[/math] отличают набор [math]x^{(j)}[/math] от всех остальных. Заметим, что при этом множества пар отличающих чисел ([math]p_l[/math], [math]r_l[/math]) для каждого выполняющего набора переменных [math]x^{(j)}[/math] дизъюнктны.
7. Следовательно, всего имеется не менее [math]2^i n \cdot D \ge 2^{2i-1}n[/math] искомых отличающих пар. В данной оценке мы использовали равенство из второго пункта.
8. Таким образом, вероятность выбрать отличающую пару чисел ([math]p_l[/math], [math]r_l[/math]) составляет не менее [math]\frac{2^{2i-1}n}{16\cdot2^{2i}n^4}=\frac{1}{32n^3}[/math].
9. Домножая полученную вероятность на вероятность выбрать подходящее [math]i[/math] (см. второй пункт), получим, что вероятность верного построения формулы [math]\phi_k[/math] составляет [math]1-\frac{1}{32n^3(n+1)}[/math].

Составив набор {[math]\phi_1 \ldots \phi_m[/math]} из O(n⁴) формул, каждый раз выбирая тройку ([math]i[/math], [math]p_i[/math], [math]r_i[/math]) чисел случайным образом, получим константную вероятность ошибки. Таким образом необходимый набор формул построен, а теорема доказана.

Внешние ссылки

Оригинальная статья 1986 года - Valiant, Leslie G., Vijay Vazirani NP is as easy as detecting unique solutions

Лекция Э.А.Гирша