Алгоритм Флойда

Алгоритм Флойда (алгоритм Флойда–Уоршелла) — алгоритм нахождения длин кратчайших путей между всеми парами вершин во взвешенном ориентированном графе. Работает корректно, если в графе нет циклов отрицательной величины, а в случае, когда такой цикл есть, позволяет найти хотя бы один такой цикл. Алгоритм работает за [math] \Theta(n^3) [/math] времени и использует [math] \Theta(n^2) [/math] памяти. Разработан в 1962 году.

Алгоритм

Постановка задачи

Текущий (синий) путь и потенциально более короткий (красный)

Дан взвешенный ориентированный граф [math] G(V, E) [/math], в котором вершины пронумерованы от [math]1[/math] до [math]n[/math].

[math]\omega_{uv} = \begin{cases} \text{weight of }uv ,& \text{if } uv \in E \\ +\infty ,& \text{if } uv \notin E \end{cases}[/math]
Требуется найти матрицу кратчайших расстояний [math] d [/math], в которой элемент [math] d_{ij} [/math] либо равен длине кратчайшего пути из [math] i [/math] в [math] j [/math], либо равен [math] +\infty [/math], если вершина [math] j [/math] не достижима из [math] i [/math].

Описание

Обозначим длину кратчайшего пути между вершинами [math] u [/math] и [math] v [/math], содержащего, помимо [math]u[/math] и [math]v[/math], только вершины из множества [math] \{ 1 .. i \} [/math] как [math]d_{uv}^{(i)}[/math], [math]d_{uv}^{(0)} = \omega_{uv}[/math].

На каждом шаге алгоритма, мы будем брать очередную вершину (пусть её номер — [math] i [/math]) и для всех пар вершин [math]u[/math] и [math]v[/math] вычислять [math] d_{uv}^{(i)} = \min(d_{uv}^{(i-1)}, d_{ui}^{(i-1)} + d_{iv}^{(i-1)}) [/math]. То есть, если кратчайший путь из [math]u[/math] в [math]v[/math], содержащий только вершины из множества [math] \{ 1 .. i \} [/math], проходит через вершину [math]i[/math], то кратчайшим путем из [math] u [/math] в [math] v [/math] является кратчайший путь из [math] u [/math] в [math] i [/math], объединенный с кратчайшим путем из [math] i [/math] в [math] v [/math]. В противном случае, когда этот путь не содержит вершины [math] i [/math], кратчайший путь из [math]u[/math] в [math]v[/math], содержащий только вершины из множества [math] \{ 1 .. i \} [/math] является кратчайшим путем из [math]u[/math] в [math]v[/math], содержащим только вершины из множества [math] \{ 1 .. i-1 \} [/math].

Код (в первом приближении)

[math]d^{(0)}_{uv} = w[/math]
for [math]i \in V[/math]
    for [math]u \in V[/math]
        for [math]v \in V[/math]
            [math] d^{(i)}_{uv} = \min(d^{(i - 1)}_{uv}, d^{(i - 1)}_{ui} + d^{(i - 1)}_{iv}) [/math]

В итоге получаем, что матрица [math] d^{(n)} [/math] и является искомой матрицей кратчайших путей, поскольку содержит в себе длины кратчайших путей между всеми парами вершин, имеющих в качестве промежуточных вершин вершины из множества [math] \{ 1..n \} [/math], что есть попросту все вершины графа. Такая реализация работает за [math] \Theta(n^3) [/math] времени и использует [math] \Theta(n^3) [/math] памяти.

Код (окончательный)

Утверждается, что можно избавиться от одной размерности в массиве [math] d [/math], т.е. использовать двумерный массив [math]d_{uv}[/math]. В процессе работы алгоритма поддерживается инвариант [math]\rho(u, v) \leqslant d_{uv} \leqslant d_{uv}^{(i)}[/math], а, поскольку, после выполнения работы алгоритма [math] \rho(u, v) = d_{uv}^{(i)} [/math], то тогда будет выполняться и [math] \rho(u, v) = d_{uv} [/math].

Утверждение:

В течение работы алгоритма Флойда выполняются неравенства: [math]\rho(u, v) \leqslant d_{uv} \leqslant d_{uv}^{(i)}[/math].

[math]\triangleright[/math]

После инициализации все неравенства, очевидно, выполняются. Далее, массив [math] d [/math] может измениться только в строчке 5. Докажем второе неравенство индукцией по итерациям алгоритма. Пусть также [math]d'_{uv}[/math] — значение [math]d_{uv}[/math] сразу после [math]i - 1[/math] итерации. Покажем, что [math] d_{uv} \leqslant d_{uv}^{(i)} [/math], зная, что [math] d'_{uv} \leqslant d_{uv}^{(i - 1)} [/math]. Рассмотрим два случая: Значение [math] d_{uv}^{(i)} [/math] стало меньше, чем [math] d_{uv}^{(i - 1)} [/math]. Тогда [math] d_{uv}^{(i)} = d_{ui}^{(i-1)} + d_{iv}^{(i-1)} \geqslant [/math] (выполняется на шаге [math] i - 1 [/math], по индукционному предположению) [math] \geqslant d'_{ui} + d'_{iv} \ge[/math] (в силу выполнения 7-ой строчки алгоритма на [math]i[/math]-ой итерации и невозрастания элементов массива [math] d [/math]) [math]\geqslant d_{uv}[/math]. В ином случае всё очевидно: [math] d_{uv}^{(i)} = d_{uv}^{(i - 1)} \geqslant d'_{uv} \geqslant d_{uv} [/math], и неравенство тривиально. Докажем первое неравенство от противного. Пусть неравенство было нарушено, рассмотрим момент, когда оно было нарушено впервые. Пусть это была [math]i[/math]-ая итерация и в этот момент изменилось значение [math]d_{uv}[/math] и выполнилось [math]\rho(u,v) \gt d_{uv}[/math]. Так как [math]d_{uv}[/math] изменилось, то [math]d_{uv} = d_{ui} + d_{iv} \ge[/math] (так как ранее [math]\forall u, v \in V: \rho(u,v) \leqslant d_{uv}[/math]) [math]\geqslant \rho(u, i) + \rho(i, v) \ge[/math] (по неравенству треугольника) [math]\geqslant \rho(u, v)[/math]. Итак [math]d_{uv} \geqslant \rho(u,v)[/math] — противоречие.

[math]\triangleleft[/math]

func floyd(w):
    d = [math]\omega[/math]                // изначально [math]d = \omega[/math]
    for [math]i \in V[/math]
        for [math]u \in V[/math]
            for [math]v \in V[/math]
                d[u][v] = min(d[u][v], d[u][i] + d[i][v])

Данная реализация работает за время [math] \Theta(n^3) [/math], но требует уже [math] \Theta(n^2) [/math] памяти. В целом, алгоритм Флойда очень прост, и, поскольку в нем используются только простые операции, константа, скрытая в определении [math] \Theta [/math] весьма мала.

Пример работы

[math]i = 0[/math]	[math]i = 1[/math]	[math]i = 2[/math]	[math]i = 3 [/math]	[math]i = 4[/math]
[math]\begin{pmatrix} \times & 1 & 6 & \infty \\ \infty & \times & 4 & 1 \\ \infty & \infty & \times & \infty \\ \infty & \infty & 1 & \times \\ \end{pmatrix}[/math]	[math]\begin{pmatrix} \times & 1 & 6 & \infty \\ \infty & \times & 4 & 1 \\ \infty & \infty & \times & \infty \\ \infty & \infty & 1 & \times \\ \end{pmatrix}[/math]	[math]\begin{pmatrix} \times & 1 & \bf{5} & \bf{2} \\ \infty & \times & 4 & 1 \\ \infty & \infty & \times & \infty \\ \infty & \infty & 1 & \times \\ \end{pmatrix}[/math]	[math]\begin{pmatrix} \times & 1 & 5 & 2 \\ \infty & \times & 4 & 1 \\ \infty & \infty & \times & \infty \\ \infty & \infty & 1 & \times \\ \end{pmatrix}[/math]	[math]\begin{pmatrix} \times & 1 & \bf{3} & 2 \\ \infty & \times & \bf{2} & 1 \\ \infty & \infty & \times & \infty \\ \infty & \infty & 1 & \times \\ \end{pmatrix}[/math]

Вывод кратчайшего пути

Алгоритм Флойда легко модифицировать таким образом, чтобы он возвращал не только длину кратчайшего пути, но и сам путь. Для этого достаточно завести дополнительный массив [math]next[/math], в котором будет храниться номер вершины, в которую надо пойти следующей, чтобы дойти из [math]u[/math] в [math]v[/math] по кратчайшему пути.

Модифицированный алгоритм

func floyd(w):
    d = [math]\omega[/math]               // изначально [math]d = \omega[/math]
    for [math]i \in V[/math]
        for [math]u \in V[/math]
            for [math]v \in V[/math]
                if d[u][i] + d[i][v] < d[u][v]
                    d[u][v] = d[u][i] + d[i][v]
                    next[u][v] = next[u][i]

func getShortestPath(u, v):
    if d[u][v] == [math]\infty[/math]
        print "No path found"                 // между вершинами u и v нет пути
    c = u
    while c != v
        print c
        c = next[c][v]
    print v

Нахождение отрицательного цикла

Утверждение:

При наличии цикла отрицательного веса в матрице [math] D [/math] появятся отрицательные числа на главной диагонали.

[math]\triangleright[/math]

Так как алгоритм Флойда последовательно релаксирует расстояния между всеми парами вершин [math](i, j)[/math], в том числе и теми, у которых [math]i = j[/math], а начальное расстояние между парой вершин [math](i, i)[/math] равно нулю, то релаксация может произойти только при наличии вершины [math] k [/math] такой, что [math] d[i][k] + d[k][i] \lt 0 [/math], что эквивалентно наличию отрицательного цикла, проходящего через вершину [math] i [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Из доказательства следует, что для поиска цикла отрицательного веса необходимо, после завершения работы алгоритма, найти вершину [math] i [/math], для которой [math] d[i][i] \lt 0 [/math], и вывести кратчайший путь между парой вершин [math] (i, i) [/math]. При этом стоит учитывать, что при наличии отрицательного цикла расстояния могут уменьшаться экспоненциально. Для предотвращения переполнения все вычисления стоит ограничивать снизу величиной [math]-\infty[/math], либо проверять наличие отрицательных чисел на главной диагонали во время подсчета.

Построение транзитивного замыкания

Сформулируем нашу задачу в терминах графов: рассмотрим граф [math]G=(V,\; E),\; |V| = n[/math], соответствующий отношению [math]R[/math]. Тогда необходимо найти все пары вершин [math](x, y) [/math], соединенных некоторым путем. Иными словами, требуется построить новое отношение [math]T[/math], которое будет состоять из всех пар [math](x, y) [/math] таких, что найдется последовательность [math]x = x_0, x_1, \dots, x_k = y [/math], где [math] (x_{i-1}, x_i) \in R, i = 1, 2, \dots, k [/math].

Псевдокод

Изначально матрица [math]W[/math] заполняется соответственно отношению [math]R[/math], то есть [math]W[i][j] = [(i, j) \in R] [/math]. Затем внешним циклом перебираются все элементы [math]k[/math] множества [math]X[/math] и для каждого из них, если он может использоваться, как промежуточный для соединения двух элементов [math]i[/math] и [math]j[/math], отношение [math]T[/math] расширяется добавлением в него пары [math](i, j)[/math].

for k = 1 to n
    for i = 1 to n
        for j = 1 to n
            W[i][j] = W[i][j] or (W[i][k] and W[k][j])

Доказательство

<wikitex>Назовем промежуточной вершину некоторого пути $p = \left \langle v_0, v_1, \dots, v_k \right \rangle$, принадлежащую множеству вершин этого пути и отличающуюся от начальной и конечной вершин, то есть принадлежащую $\left \{ v_1, v_2, \dots, v_{k-1} \right \}$. Рассмотрим произвольную пару вершин $i, j \in V$ и все пути между ними, промежуточные вершины которых принадлежат множеству вершин с номерами $\left \{ 1, 2, \dots, k \right \}$. Пусть $p$ — некоторый из этих путей. Докажем по индукции (по числу промежуточных вершин в пути), что после $i$-ой итерации внешнего цикла будет верно утверждение — если в построенном графе между выбранной парой вершин есть путь, содержащий в качестве промежуточных только вершины из множества вершин с номерами $\left \{ v_1, v_2, \dots, v_{i} \right \}$, то между ними будет ребро.

• База индукции. Если у нас нет промежуточных вершин, что соответствует начальной матрице смежности, то утверждение выполнено: либо есть ребро (путь не содержит промежуточных вершин), либо его нет.
• Индуктивный переход. Пусть предположение выполнено для $i = k - 1$. Докажем, что оно верно и для $i = k$ Рассмотрим случаи (далее под вершиной будем понимать ее номер для простоты изложения):
  • $k$ не является промежуточной вершиной пути $p$. Тогда все его промежуточные пути принадлежат множеству вершин с номерами $\left \{ 1, 2, \dots, k-1 \right \} \subset \left \{ 1, 2, \dots, k \right \}$, то есть существует путь с промежуточными вершинами в исходном множестве. Это значит $W[i][j]$ будет истиной. В противном случае $W[i][j]$ будет ложью и на k-ом шаге ею и останется.
  • $k$ является промежуточной вершиной предполагаемого пути $p$. Тогда этот путь можно разбить на два пути: $i \xrightarrow{p_1} k \xrightarrow{p_2} j$. Пусть как $p_1$, так и $p_2$ существуют. Тогда они содержат в качестве промежуточных вершины из множества $\left \{ 1, 2, \dots, k-1 \right \} \subset \left \{ 1, 2, \dots, k \right \}$ (так как вершина $k$ — либо конечная, либо начальная, то она не может быть в множестве по нашему определению). Тогда $W[i][k]$ и $W[k][j]$ истинны и по индуктивному предположению посчитаны верно. Тогда и $W[i][j]$ тоже истина. Пусть какого-то пути не существует. Тогда пути $p$ тоже не может существовать, так как добраться, например, от вершины $i$ до $k$ по вершинам из множества $\left \{ 1, 2, \dots, k \right \}$ невозможно по индуктивному предположению. Тогда вся конъюнкция будет ложной, то есть такого пути нет, откуда $W[i][j]$ после итерации будет ложью.

Таким образом, после завершения внешнего цикла у нас будет $W[i][j] = true$, если между этими вершинами есть путь, содержащий в качестве промежуточных вершин из множества всех остальных вершин графа, что и есть транзитивное замыкание. </wikitex>

Оптимизация с помощью битовых масок

Строки матрицы [math]W[/math] можно хранить с помощью массива битовых масок длиной [math]k[/math]. Тогда последний цикл будет выполняться в [math]k[/math] раз быстрее и сложность алгоритма снижается до [math]O\Big(\dfrac{n^3}{k}\Big)[/math].
Пример реализации оптимизации с помощью битмасок:

unsigned int W[N][N / 32 + 1]           

func transitiveClosure(W):
    for k = 1 to n
        for i = 1 to n
            if бит с номером (k % 32) в маске a[i][k / 32] единичный
                for j = 1 to n / 32 + 1
                    W[i][j] = W[i][j] or W[k][j]

В данной реализации длина битовой маски [math]k[/math] равна [math]32[/math] битам. Последний цикл делает в [math]32[/math] раза меньше операций — сложность алгоритма [math]O\Big(\dfrac{n^3}{32}\Big)[/math].

Источники информации

• Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ — 2-е изд — М.: Издательский дом «Вильямс», 2009. — ISBN 978-5-8459-0857-5.
• Романовский И. В. Дискретный анализ: Учебное пособие для студентов, специализирующихся по прикладной математике и информатике. Изд. 3-е. — СПб.: Невский диалект, 2003. — 320 с. — ISBN 5-7940-0114-3.
• Википедия - Алгоритм Флойда — Уоршелла
• Wikipedia - Floyd–Warshall algorithm