Изменения

==Матричный Разноцветный матроид==

|id = def1|definition=Пусть <tex>VX</tex> — векторное пространство над телом <tex>F</tex>, пусть набор векторов <tex>V_i = \mathcal{f{---} v_1,...} множество элементов,v_n\mathcal {g}</tex> каждый из пространства <tex>V</tex> является носителем <tex>X</tex>которых раскрашен в некоторый цвет. Элементами независимого множества Множество <tex>A \in I</tex> данного матроида являются , если все элементы множества линейно-независимых векторов из набора <tex>v_ 1,\dots,v_nA</tex>разного цвета.Тогда <tex>M = \langle V_iX, I \rangle </tex>, называется '''матричным разноцветным матроидом ''' (vector англ. ''multicolored matroid)''').}} {{Лемма|statement = Матричный матроид является матроидом.|proof = Проверим выполнение аксиом независимости:

1) {{Утверждение|statement = Разноцветный матроид является матроидом.|proof =Докажем аксиомы независимости для <tex>\varnothing \in I</tex>.

Множество # <tex>\varnothing \in I</tex>#:В пустом множестве нет элементов <tex>\Rightarrow</tex> можем считать, что все элементы различных цветов.# <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>#:Если в <tex>B</tex> все элементы разного цвета, то и в котором <tex>A \subset B</tex> это будет выполняться.# <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal \exists x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex>#:В каждом из множеств <tex>A</tex> и <tex>B</tex> все элементы разных цветов. Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert</tex>, значит в <tex>B</tex> есть хотя бы один элемент <tex>x</tex> такого цвета, которого нет векторов является линейно-независимым.среди элементов множества <tex>A</tex>, таким образом <tex>A \cup \{ x \} \in I</tex>}}

2==Универсальный матроид=={{Определение|id = def2|definition='''Универсальным матроидом''' (англ. ''uniform matroid'') называют объект <tex>U_{nk} = \langle X, I \rangle </tex>, где <tex>X = \{1, 2, 3, \dots, n\}, I = \{A \subset B, B X \mid \in I left\Rightarrow vert A \in Iright\vert \leqslant k\}</tex>}}

Если из набора линейно-независимых векторов убрать некоторые, то этот набор не станет зависимым. 3) <tex>| A | < | B | \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>Утверждение|statement = Универсальный матроид является матроидом.Пусть не так. Тогда <tex>\forall x \in B \setminus A</tex> такой, что множество векторов <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g}</tex> — линейно зависимо. Значит, оно образует базис в пространстве векторов <tex>U</tex> "натянутом" на множество векторов <tex>A \cup B</tex>. Но тогда <tex>| A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} | > | B | </tex>, так как мощность базиса больше мощности любого линейно-независимого множества, а <tex>B</tex> - линейно-независимо, а по условию <tex>| A | + 1 \leqslant | B | </tex>. Противоречие, значит предположение не верно и 3-е свойство тоже выполнено.proof =Проверим выполнение аксиом независимости:

Пусть <tex>G = \langle V, E \rangle</tex> — {{---}} неориентированный граф. Тогда <tex>M = \langle E, I \rangle </tex>, где <tex>I</tex> состоит из всех ацикличных множеств ребер (то есть являющихся лесами), называют '''графовым (графическим) матроидом ''' (англ. ''graphic matroid)''').

 {{ЛеммаУтверждение

1) # <tex>\varnothing \in I</tex>#:Пустое множество является ациклическим, а значит входит в <tex>I</tex>.# <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>#:Очевидно, что любой подграф леса, так же является лесом, а значит входит в <tex>I</tex> вследствие своей ацикличности.# <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \mathcal \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex>#:В графе <tex>G_A = \langle V, A \rangle </tex> как минимум две компоненты связанности, иначе <tex>G_A</tex> являлся бы остовным деревом и не существовало бы ациклического множества с большей мощностью.#:Допустим в <tex>B</tex> не существует ребра, соединяющего две различные компоненты связанности из <tex>G_A</tex>, значит любая компонента связанности из <tex>G_B</tex> целиком вершинно-входит в какую-либо компоненту из <tex>G_A</tex>. Рассмотрим любую компоненту связанности <tex>Q</tex> из <tex>G_A</tex>, у неё <tex>k</tex> вершин и <tex>k - 1</tex> рёбер. Теперь рассмотрим все компоненты связанности <tex>P_i</tex> из <tex>G_B</tex>, вершинно-входящие в <tex>Q</tex>, пусть их <tex>m</tex> штук, тогда суммарное количество рёбер из <tex>P_i</tex> равно <tex>k - m</tex>, что не превосходит <tex>k - 1</tex> (количество рёбер в <tex>Q</tex>). Просуммируем неравенство по всем компонентам связанности из <tex>G_A</tex> и получим <tex>\left\vert A \right\vert \geqslant \left\vert B \right\vert</tex>, что противоречит условию. Значит предположение не верно, и в <tex>B</tex> существует искомое ребро <tex>x</tex> из разных компонент связанности <tex>G_B</tex>.}}

Пустое множество ==Матричный матроид=={{Определение|definition=Пусть <tex>V</tex> {{---}} векторное пространство над телом <tex>F</tex>, пусть набор векторов <tex>V_i = \{ v_1, \ \dots, \ v_n\}</tex> из пространства <tex>V</tex> является ациклическимносителем <tex>X</tex>. Элементами независимого множества <tex>I</tex> данного матроида являются множества линейно независимых векторов из набора <tex>v_ 1, \ \dots, а значит входит в \ v_n</tex>.Тогда <tex>M = \langle V_i, I\rangle </tex>, называется '''матричным матроидом''' (англ. ''vector matroid'')}} {{Утверждение|statement = Матричный матроид является матроидом.|proof = Проверим выполнение аксиом независимости:

2) # <tex>\varnothing \in I</tex>#:Множество в котором нет векторов является линейно-независимым.# <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>#:Если из набора линейно-независимых векторов убрать некоторые, то этот набор не станет зависимым.# <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex>#:Так как <tex>A \in I</tex>, то <tex>\dim \mathcal{L}(A) = \left\vert A \right\vert</tex>. По условию <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists x \in B: x \notin \mathcal{L}(A)</tex>, то есть <tex>x \notin A</tex>. Тогда множество <tex> A \cup \{ x \} </tex> линейно-независимо по определению линейной оболочки. }}

Очевидно==Трансверсальный матроид=={{Определение|definition=Пусть <tex>G = \langle X, что любой подграф лесаY, так же является лесомE \rangle</tex> {{---}} двудольный граф. <tex>I = \{ A \subset X \mid \exists </tex> паросочетание <tex> P</tex>, а значит входит в покрывающее <tex>A \} </tex>. Тогда <tex>M = \langle X, I\rangle </tex> вследствие своей ацикличностиназывают '''трансверсальным матроидом''' (англ. ''transversal matroid'').}}

3) <tex>| A | < | B | \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>Утверждение В графе <tex>G_A |statement = \langle V, A \rangle </tex> как минимум две компоненты связанности, иначе <tex>G_A</tex> являлся бы остовным деревом и не существовало бы ациклического множества с большей мощностьюТрансверсальный матроид является матроидом.|proof =Допустим в <tex>B</tex> не существует ребра, соединяющего две различные компоненты связанности из <tex>G_A</tex>, значит любая компонента связанности из <tex>G_B</tex> целиком вершинно-входит в какую-либо компоненту из <tex>G_A</tex>. Рассмотрим любую компоненту связанности Q из <tex>G_A</tex>, у неё <tex>k</tex> вершин и <tex>k - 1</tex> рёбер. Теперь рассмотрим все компоненты связанности <tex>P_i</tex> из <tex>G_B</tex>, вершинно-входящие в <tex>Q</tex>, пусть их <tex>m</tex> штук, тогда суммарное кол-во рёбер из <tex>P_i</tex> равно <tex>k - m</tex>, что не превосходит <tex>k - 1</tex> (кол-во рёбер в <tex>Q</tex>). Просуммируем неравенство по всем компонентам связанности из <tex>G_A</tex> и получим <tex>| A | \geqslant | B |</tex>, что противоречит условию. Значит предположение не верно, и в <tex>B</tex> существует искомое ребро <tex>x</tex> из разных компонент связанности <tex>G_B</tex>.Проверим выполнение аксиом независимости:

==Трансверсальный матроидМатроид паросочетаний==

Пусть <tex>G = \langle X, YV, E \rangle</tex> {{- двудольный --}} неориентированный граф. Тогда <tex>M = \langle X, I = \mathcal{f} A \subset X V \mid \exists </tex> паросочетание <tex> M: X P</tex>, покрывающее <tex>A \cap ends(}</tex>. Тогда <tex>M) = A \mathcal {g} langle V, I \rangle </tex> называют '''трансверсальным матроидом паросочетаний''' (transversal matroid)англ.''matching matroid'').

{{ЛеммаУтверждение|statement = Трансверсальный матроид Матроид паросочетаний является матроидом.

1# <tex>\varnothing \in I</tex>#:Пустое паросочетание удовлетворяет условию.# <tex>A \subset B, \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>#:Удалим из исходного паросочетания <tex>P</tex> ребра, концами которых являются вершины из множества <tex>B \setminus A</tex>. Оставшееся множество ребер будет являться паросочетанием, покрывающим <tex>A</tex>. Значит <tex>A \in I</tex>.# <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex>#:Пусть паросочетание <tex>P_A</tex> покрывает множество <tex>A</tex>, <tex>P_B</tex> {{---}} множество <tex>B</tex>.#:Все вершины, принадлежащие <tex>A \cap B</tex> покроем ребрами из паросочетания <tex>P_B</tex>. #:Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists x \in B \setminus A</tex>#:Рассмотрим три возможных случая:## <tex>\exists xy \in P_A, \ y \in A \Rightarrow P_A</tex> покрывает <tex>A \cup \{ x \} \Rightarrow A \cup \{ x \} \in I</tex>## <tex>\exists xy: y \in B \setminus A \Rightarrow xy \notin P_A</tex>. Мы можем добавить в <tex>A</tex> вершину <tex>x</tex> (или <tex>y</tex>) , а в <tex>P_A</tex> ребро <tex>xy</tex>. Тогда паросочетание <tex>P_A \cup xy</tex> покрывает <tex>A \cup \{ x \} \Rightarrow A \cup \{ x \} \in I</tex>## Если первые два случая не выполнились, значит <tex>\varnothing forall x \in B \setminus A</tex> <tex>\exists y \notin A, \ \notin B: \exists xy \in P_B</tex>. Обозначим множество таких <tex>y</tex> за <tex>C, \ \left\vert C \right\vert = \left\vert B \setminus A \right\vert > \left\vert A \setminus B \right\vert</tex>. Таким образом в <tex>C</tex> найдется хотя бы одна вершина <tex>y</tex>, не покрытая паросочетанием <tex>P_A</tex>. Тогда паросочетание <tex>P_A \cup xy</tex> покрывает <tex>A \cup \{ x \} \Rightarrow A \cup \{ x \} \in I</tex> }}

Пустое паросочетание удовлетворяет условию==Матроид разбиений=={{Определение|definition=Пусть <tex>X = \bigcup\limits_{i=_1}^n X_i</tex>, при этом <tex> X_i \cap X_j = 0</tex>, <tex>\forall i \neq j</tex>, и <tex>k_1 \dots k_n</tex> {{---}} положительные целые числа.<tex>I = \{ A \subset X \mid \left\vert A \cap X_i \right\vert \leqslant k_i, \ \forall i: 1 \leqslant i \leqslant n \} </tex>. Тогда <tex>M = \langle X, I \rangle </tex> называют '''матроидом разбиений''' (англ. ''partition matroid'')}}

Подмножество паросочетания также является паросочетанием. Удалим из исходного паросочетания # <tex>\varnothing \in I</tex>#:<tex>M\left\vert \varnothing \cap X_i \right\vert = 0 \leqslant k_i \Rightarrow \varnothing \in I</tex> ребра# <tex>A \subset B, концами которых являются вершины из множества \ B \in I \Rightarrow A \in I</tex>#:<tex>A \subset B, \ \left\vert A \right\vert \leqslant \left\vert B \right\vert \Rightarrow \left\vert A \cap X_i \right\vert \leqslant \left\vert B \cap X_i \right\vert \leqslant k_i \Rightarrow A \in I</tex># <tex>A \in I, \ B \in I, \ \left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \exists ~ x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \in I</tex>#:Пусть <tex>\forall x \in B \setminus A, \ A \cup \{ x \} \notin I \Rightarrow \exists X_j, \ k_j: \left\vert A \cup \{ x \} \cap X_j \right\vert > k_j</tex>, но так как <tex>A \in I</tex>, то есть <tex> \left\vert A \cap X_j \right\vert \leqslant k_j \Rightarrow \left\vert A \cap X_j \right\vert = k_j</tex> и <tex>x \in X_j</tex>. Оставшееся множество ребер будет являться паросочетаниемИз последнего следует, которое обозначим за что <tex>M'\left\vert B \setminus A \right\vert \subset X_j</tex>. И будет выполняться условие #:<tex> X \left\vert A \cap endsX_j \right\vert = \left\vert (M'(A \cap B) \cup (B \setminus A)) \cap X_j \right\vert = k_j</tex>, а <tex>\left\vert B \cap X_j \right\vert = \left\vert B \cap X_j \right\vert = \left\vert ((A \cap B) \cup (A \setminus B)) \cap X_j \right\vert</tex>. Так как <tex>\left\vert A \right\vert < \left\vert B \right\vert \Rightarrow \left\vert A \setminus B \right\vert < \left\vert B \setminus A \right\vert</tex> , что значиттогда <tex>\left\vert B \cap X_j \right\vert > k_j</tex>, но <tex> A B \in I </tex>, противоречие.}}

3) <tex>| A | < | B | \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal==Бинарный матроид=={f} x \mathcal {g} \in I</tex>Определение|definition=Раскрасим ребра из паросочетания, соответствующего Матроид <tex> B M</tex> в синий цвет, а соответствующего '''представим над полем <tex> A F</tex> — в красный. Причем ребра, соответствующие двум паросочетаниям, будут окрашены в пурпурный цвет. Таким образом, получится <tex> |B \setminus A| </tex> ребер синего цвета, <tex> |A \setminus B| </tex> ребер красного цвета, и будет выполняться соотношение <tex> |B \setminus A| > |A \setminus B|</tex>. Рассмотрим подграф <tex> H </tex>, индуцированный красными и синими ребрами из исходного графа. Каждая вершина соответствует либо двум ребрам — синему и красному, либо одному — синему или красному. Любая компонента связности представляет собой либо путь, либо цикл, состоящий из чередующихся красных и синих ребер. Так как граф двудольный, любой цикл состоит из четного числа ребер. Так как синих ребер больше, чем красных, то должен существовать путь, начинающийся и оканчивающийся синим ребром. Обозначим этот путь <tex> H' </tex>. Поменяем в <tex> H' </tex> синий и красный цвета. Получаем', что ребра, окрашенные в красный и пурпурный цвета образуют паросочетание в графе. Очевидно, что подмножество соответствующее этому новому паросочетанию имеет вид <tex>A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} </tex>, где <tex> x \in B \setminus A </tex>. Что значит, что <tex> A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>если он [[Определение матроида#def5| изоморфен]] некоторому векторному матроиду над этим полем.

'''Универсальным матроидом Бинарный матроид''' (uniform англ. ''binary matroid)''' называют объект ) {{---}} матроид, представимый над полем целых чисел по модулю <tex>U_n,_k = \langle X = \{1, 2, 3, ..., n\}, I = \mathcal{f} A \subset X | | A | \leq k\} \rangle </tex>.

{{ЛеммаУтверждение|statement = Универсальный Графовый матроид является матроидомбинарным.|proof =Проверим выполнение аксиом независимостиСоставим матрицу инцидентности <tex>A = (a_{ij})</tex> для графа <tex>G = \langle V, E \rangle</tex>. Строки этой матрицы соответствуют вершинам графа, а столбцы {{---}} ребрам. * Если <tex>j</tex>-ое ребро есть петля, инцидентная <tex>i</tex>-ой вершине, то <tex>a_{ij} = 0</tex>.* Если <tex>i</tex>-ая вершина инцидентна <tex>j</tex>-ому ребру, то <tex>a_{ij} = 1</tex> * Иначе <tex>a_{ij} = 0</tex>Необходимо доказать, что если мы возьмем множество ребер <tex>A \in I</tex>, то множество столбцов матрицы инцидентности, соответствующее выбранным ребрам, линейно-независимо, и наоборот, если мы возьмем линейно-независимое множество столбцов, то соответствующее ему множество ребер, не будет образовывать цикла. Докажем эквивалентное утверждение: столбцы линейно-зависимы тогда и только тогда, когда соответствующие им ребра графа <tex>G</tex> содержат цикл. <tex>\Rightarrow</tex> Пусть столбцы линейно-зависимы, докажем, что соответствующие ребра графа содержат цикл. Если некоторые столбцы матрицы <tex>A</tex> линейно-зависимы, то среди них можно выделить столбцы с нулевой суммой. Есть два варианта:

1# Cреди выбранных столбцов есть нулевой, тогда в соответствующем множестве ребер есть петля, то есть цикл.# У нас есть столбец <tex>S</tex>, который является суммой остальных столбцов. Этому столбцу соответствует ребро <tex>uv</tex>. Начнем с вершины <tex>u</tex> переходить по другим ребрам из <tex>R \setminus uv</tex> (по каждому ребру проходим только один раз) , в итоге мы придем в вершину <tex>\varnothing \in Iv</tex>, так для остальных вершин у нас обязательно будет четное число выходящих из них ребер, потому что иначе на позиции этой вершины в столбце <tex>S</tex> была бы единица (а единицы у нас только на позициях <tex>u</tex> и <tex>v</tex>). Таким образом мы показали, что существует два пути между вершинами <tex>u</tex> и <tex>v</tex> (тот который мы построили и путь по ребру <tex>uv</tex>), значит в выбранном множестве ребер есть цикл.

<tex> | \varnothing | = 0 \leq k \Rightarrow \varnothing \in ILeftarrow</tex>Пусть на множестве ребер есть цикл, докажем линейную-зависимость соответствующих столбцов.

2Если среди данного множества ребер есть петля, то соответствующий ей столбец будет нулевым (по построению матрицы инцидентности) , он и обеспечивает линейную-зависимость всего набора векторов.Если петли нет, то рассмотрим столбцы, отвечающие ребрам простого цикла. Любая строка матрицы <tex>A \subset B, B \in I \Rightarrow A \in I</tex>содержит в этих столбцах ровно 2 единицы. Поэтому сумма по модулю <tex>2</tex> указанных столбцов равна нулевому столбцу, что означает линейную зависимость исходного множества столбцов.}}

==Другие матроиды==Несложно доказать, что следующие конструкции тоже являются матроидами.{{Определение|definition='''Матроид с выкинутым элементом'''. Пусть <tex> | A | M = \langle X, I\rangle</tex> {{---}} матроид. Определим <tex>M\setminus x = \langle X \leq | B | setminus x, \leq k \Rightarrow | {A | \leq k \Rightarrow mid A \in I , \ x \not\in A\}\rangle</tex>. Для любых <tex>M</tex> и <tex>x</tex> получившаяся конструкция <tex>M\setminus x</tex>является матроидом. }}

3) {{Определение|definition='''Матроид, стянутый по элементу'''. Пусть <tex>| A | < | B | M = \Rightarrow langle X, I\mathcal rangle</tex> {{9---} } матроид. Определим <tex>M/x = \in B langle X \setminus x, \ \{A \setminus x \mid A\in I, \ x \in A \cup }\rangle</tex>. Для любых <tex>M</tex> и <tex>x</tex>, таких что <tex>\mathcal{fx\} \in I,</tex> получившаяся конструкция <tex>M/x </tex> является матроидом.}} {{Определение|definition=Пусть <tex>M = \mathcal langle X, I \rangle</tex> {{g---}} матроид. Обозначим как <tex>M|_k</tex> следующую констркуцию: <tex>M|_k = \langle X, \ \{A \mid A \in I, |A| \leqslant k \}\rangle</tex>, тогда <tex>M|_k</tex> называют '''урезанным матроидом'''.}}

Так как <tex>| A | < | B {{Определение| definition='''Полный матроид''' {{---}} матроид </tex> и числа в каждом множестве различны, найдётся такое число <tex> x M = \in B </tex>langle X, которое не будет принадлежать меньшему по мощности множеству <tex> A </tex>.Рассмотрим <tex> A \cup \mathcal{fI} x \mathcal {g} rangle</tex>. такой, что <tex>| A | < | B | \Rightarrow | A \cup \mathcal{f} x \mathcal {gI} | = | A | + 1 \leq | B | \leq k \Rightarrow A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I2^X</tex>.}}

* Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. {{- --}} Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы (глава 4. Матроиды)* Уилсон Р. {{---}} Введение в теорию графов (глава 9. Теория матроидов)

[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]][[Категория:Матроиды]][[Категория: Основные факты теории матроидов]]