Теоретический минимум по математическому анализу за 2 семестр — различия между версиями
(→Вопрос №35. Формула конечных приращений для функции многих переменных: вроде, так правильнее) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показано 39 промежуточных версий 8 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | == | + | === №1. Суммирование расходящихся рядов методом средних арифметических=== |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
Строка 5: | Строка 5: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | [[О многократных интегралах]] |
+ | |||
+ | === №2. Суммирование расходящихся рядов методом Абеля=== | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
Строка 11: | Строка 13: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №3. Теорема Фробениуса=== |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|author= | |author= | ||
Строка 19: | Строка 21: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №4. Тауберова теорема Харди=== |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|author= | |author= | ||
Строка 28: | Строка 30: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №5. Равномерная сходимость функционального ряда. Критерий Коши=== |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
Строка 48: | Строка 50: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №6. Признак Вейерштрасса=== |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|author=Вейерштрасс | |author=Вейерштрасс | ||
Строка 56: | Строка 58: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №7. Признак типа Абеля-Дирихле=== |
{{Теорема | {{Теорема | ||
Строка 68: | Строка 70: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №8. Предельный переход под знаком функционального ряда=== |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
Строка 77: | Строка 79: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №9. Условия почленного интегрирования функционального ряда=== |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
Строка 93: | Строка 95: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №10. Условия почленного дифференцирования функционального ряда=== |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
Строка 103: | Строка 105: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №11. Лемма Абеля=== |
{{Лемма | {{Лемма | ||
|author=Абель | |author=Абель | ||
Строка 111: | Строка 113: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №12. Теорема о радиусе сходимости=== |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
Строка 122: | Строка 124: | ||
1) <tex>|x| < R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> ряд абсолютно сходится. | 1) <tex>|x| < R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> ряд абсолютно сходится. | ||
− | 2) <tex>\forall [a; b] \ | + | 2) <tex>\forall [a; b] \subset (-R; R)</tex> ряд сходится абсолютно и равномерно. |
3) <tex>|x| > R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> ряд расходится. | 3) <tex>|x| > R</tex> <tex>\Rightarrow</tex> ряд расходится. | ||
Строка 129: | Строка 131: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №13. Вычисление радиуса сходимости=== |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
Строка 141: | Строка 143: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №14. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов=== |
Вопрос: "Каковы будут радиусы сходимости почленно проинтегрированных или продифференцированных рядов?" | Вопрос: "Каковы будут радиусы сходимости почленно проинтегрированных или продифференцированных рядов?" | ||
Строка 150: | Строка 152: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №15. Степенной ряд, как ряд Тейлора своей суммы=== |
<wikitex> | <wikitex> | ||
Пусть $ f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n, \qquad R > 0 \qquad (x_0 - R; x_0 + R) $. | Пусть $ f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n, \qquad R > 0 \qquad (x_0 - R; x_0 + R) $. | ||
Строка 170: | Строка 172: | ||
</wikitex> | </wikitex> | ||
− | == | + | === №16. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора=== |
Для того, чтобы функция была разложима в ряд Тейлора, достаточно чтобы <tex> r_n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex> | Для того, чтобы функция была разложима в ряд Тейлора, достаточно чтобы <tex> r_n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex> | ||
− | == | + | === №17. Разложение в степенной ряд показательной и логарифмической функций === |
<wikitex> | <wikitex> | ||
$e^x \stackrel{def}{=} \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} $ | $e^x \stackrel{def}{=} \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} $ | ||
− | $ \ln(1 + x) = \sum\limits_{k = 1}^n (-1)^{k - 1} \frac{x^k}k + r_n(x) $, причем $ r_n(x) = \frac{\ln^{n + 1} (1 + \theta_n x)}{(n + 1)!} x^{n + 1}, \theta_n \in (0; 1) $ | + | $ \ln(1 + x) = \sum\limits_{k = 1}^n (-1)^{k - 1} \frac{x^k}k + r_n(x) $, причем $ r_n(x) = \frac{\ln^{(n + 1)} (1 + \theta_n x)}{(n + 1)!} x^{n + 1}, \theta_n \in (0; 1) $ |
</wikitex> | </wikitex> | ||
− | == | + | === №18. Разложение в степенной ряд тригонометрических функций === |
<wikitex> | <wikitex> | ||
$\sin(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}$ | $\sin(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}$ | ||
Строка 186: | Строка 188: | ||
$\cos(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ | $\cos(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ | ||
</wikitex> | </wikitex> | ||
− | == | + | === №19. Биномиальный ряд Ньютона === |
<wikitex> | <wikitex> | ||
$ (1 + x)^{\alpha} = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left[ \frac{\alpha (\alpha - 1) \dots (\alpha - k + 1)}{k!} x^k \right] + 1, \alpha \in \mathbb{R} $ | $ (1 + x)^{\alpha} = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left[ \frac{\alpha (\alpha - 1) \dots (\alpha - k + 1)}{k!} x^k \right] + 1, \alpha \in \mathbb{R} $ | ||
+ | |||
+ | $ r_n(x) = \frac{a (a - 1) \dots (a - n + 1) (a - n) (1 + \theta x)^{a - n - 1}}{n!} (1 - \theta)^n x^{n + 1} $ (в форме Коши) | ||
</wikitex> | </wikitex> | ||
− | == | + | |
− | <wikitex> | + | === №20. Формула Стирлинга === |
+ | <wikitex dpi=240> | ||
$ n! = \sqrt{2 \pi n} {\left ( \frac ne \right )}^n e^{\frac{\theta_n}{12n}} $ | $ n! = \sqrt{2 \pi n} {\left ( \frac ne \right )}^n e^{\frac{\theta_n}{12n}} $ | ||
</wikitex> | </wikitex> | ||
− | == | + | |
+ | === №21. Нормированное пространство: арифметика предела=== | ||
{{Утверждение | {{Утверждение | ||
|statement= | |statement= | ||
Строка 205: | Строка 211: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №22. Ряды в банаховых пространствах=== |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
Строка 213: | Строка 219: | ||
<tex>\left \| \sum\limits_{k = 1}^\infty x_k \right \| \le \sum\limits_{k = 1}^\infty \| x_k \|</tex> | <tex>\left \| \sum\limits_{k = 1}^\infty x_k \right \| \le \sum\limits_{k = 1}^\infty \| x_k \|</tex> | ||
− | == | + | === №23. Унитарные пространства, неравенство Шварца=== |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
Строка 224: | Строка 230: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №24. Гильбертовы пространства, экстремальное свойство ортонормированных систем=== |
+ | Среди нормированных пространств выделяется подкласс так называемых гильбертовых пространств. | ||
− | == | + | Пусть <tex>H</tex> — линейное пространство. Величина <tex>(x, y) \in \mathbb R</tex> называется скалярным произведением точек множества <tex>H</tex>, если она удовлетворяет следующим трём аксиомам: |
+ | # <tex>(x, x) \ge 0</tex>, <tex>(x, x) = 0 \iff x = 0</tex> | ||
+ | # <tex>(x, y) = (y, x)</tex> | ||
+ | # <tex>(\alpha x + \beta y, z) = \alpha(x, z) + \beta(y, z)</tex> | ||
+ | |||
+ | Базируясь на этом неравенстве, определим норму <tex>\|x\| = \sqrt{(x, x)}</tex>. | ||
+ | |||
+ | Доказанное неравенство треугольника превращает <tex>H</tex> в нормированное пространство. Если оно является B-пространством, то его называют '''гильбертовым пространством'''. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{Теорема | ||
+ | |author= | ||
+ | Бессель | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex> l_1 \dots \l_n \dots </tex> - ОНС в <tex> H </tex> и <tex> x \in H </tex>, тогда | ||
+ | |||
+ | <tex> \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, l_k)^2 \le \|x\|^2</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | Экстремальное свойства ряда Фурье заключается в следующем: <tex>\sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, l_k)^2</tex> располагается ближе всего к <tex>\|x\|^2</tex>, если <tex>l_k</tex> — ряд Фурье <tex>x</tex>. | ||
+ | |||
+ | === №25. Ортогональные ряды в гильбертовых пространствах.=== | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
Строка 240: | Строка 268: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №26. Принцип сжатия Банаха=== |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
Строка 254: | Строка 282: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №27. Линейные операторы в НП: непрерывность и ограниченность=== |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
Строка 275: | Строка 303: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №28. Норма линейного оператора=== |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
Строка 281: | Строка 309: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №29. Линейные функционалы в унитарном пространстве, разделение точек=== |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
Строка 303: | Строка 331: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №30. Пространство R^n : покоординатная сходимость=== |
{{Утверждение | {{Утверждение | ||
|about= | |about= | ||
Строка 311: | Строка 339: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №31. Полнота R^n=== |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
Строка 323: | Строка 351: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №32. Критерий компактности в R^n=== |
{{Теорема | {{Теорема | ||
Строка 332: | Строка 360: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №33. Непрерывные отображения в R^n: координатные функции, непрерывность линейных операторов=== |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
Строка 342: | Строка 370: | ||
В <tex>\mathbb{R}^n</tex> сходимость покоординатная. <tex>\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|</tex> (по неравенству Коши для сумм), таким образом, из <tex>\overline x \to 0</tex> неизбежно следует <tex>\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0</tex> | В <tex>\mathbb{R}^n</tex> сходимость покоординатная. <tex>\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|</tex> (по неравенству Коши для сумм), таким образом, из <tex>\overline x \to 0</tex> неизбежно следует <tex>\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0</tex> | ||
− | == | + | {{Утверждение |
+ | |statement=<tex>\left \| \mathcal{A} \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2}</tex> | ||
+ | |proof= | ||
+ | <tex>\overline y = \mathcal{A} \overline x, y_j = \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k</tex> — здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: <tex>\mathcal{A} \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \longleftrightarrow \mathcal{A} = \left ( a_{jk} \right )</tex>, где <tex>j</tex> и <tex>k</tex> пробегают от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> и <tex>m</tex> соответственно, а <tex>\mathcal{A} \overline x </tex> — результат действия л.о. <tex>\mathcal{A}</tex> на точку <tex>\overline x</tex> можно представить в виде произведения матрицы <tex>\mathcal{A}</tex> и столбца <tex>x</tex>. | ||
+ | |||
+ | В <tex>\mathbb{R}^n</tex> сходимость покоординатная. <tex>\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|</tex> (по неравенству Коши для сумм), таким образом, из <tex>\overline x \to 0</tex> неизбежно следует <tex>\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0</tex> | ||
+ | |||
+ | Итак, линейный оператор, действующий из одного конечномерного пространства в другое, всегда непрерывен. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | === №34. Дифференциал отображения и частные производные, дифференцируемость суперпозиции=== | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
Строка 364: | Строка 402: | ||
Данный предел называется '''частной производной''' первого порядка функции <tex>\mathcal{F}_i</tex> по переменной <tex>x_j</tex>. | Данный предел называется '''частной производной''' первого порядка функции <tex>\mathcal{F}_i</tex> по переменной <tex>x_j</tex>. | ||
− | <tex dpi = "140">A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h} = \frac{\partial \mathcal{F}_i}{\partial x_j}</tex> | + | <tex dpi = "140">A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(\overline{x})}{h} = \frac{\partial \mathcal{F}_i}{\partial x_j}</tex> |
}} | }} | ||
− | == | + | === №35. Формула конечных приращений для функции многих переменных=== |
<tex>\mathcal{F}_i(\overline{a}) - \mathcal{F}_i(\overline{b}) = \mathcal{F}'_i(\theta_i\overline{a}+(1-\theta_i)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b})</tex> | <tex>\mathcal{F}_i(\overline{a}) - \mathcal{F}_i(\overline{b}) = \mathcal{F}'_i(\theta_i\overline{a}+(1-\theta_i)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b})</tex> | ||
− | == | + | === №36. Неравенство Лагранжа=== |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|author= | |author= | ||
Строка 380: | Строка 418: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №37. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных=== |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
Строка 391: | Строка 429: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №38. Дифференциалы высших порядков, теорема о смешанных производных=== |
Определим частные производные и дифференциалы высших порядков. | Определим частные производные и дифференциалы высших порядков. | ||
Строка 403: | Строка 441: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №39. Формула Тейлора для функции многих переменных=== |
− | <tex>f(\overline a+ | + | <tex>f(\overline a+\Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}f(\overline a)}{k!}+\frac {d^{n+1}f(\overline a+\theta\Delta \overline a)}{(n+1)!}</tex> |
− | == | + | === №40. Безусловный экстремум: необходимое и достаточное условия=== |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
Строка 415: | Строка 453: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|about= | |about= | ||
− | Аналог теоремы Ферма | + | Аналог теоремы Ферма(необходимое условие) |
|statement= | |statement= | ||
Пусть <tex>f</tex> дифференцируема в точке локального экстремума <tex>a</tex>. Тогда <tex>\forall j = 1..n : \frac{\partial{f}}{\partial{x_j}} \overline{a} = 0</tex> | Пусть <tex>f</tex> дифференцируема в точке локального экстремума <tex>a</tex>. Тогда <tex>\forall j = 1..n : \frac{\partial{f}}{\partial{x_j}} \overline{a} = 0</tex> | ||
}} | }} | ||
− | == | + | Достаточное условие: |
+ | |||
+ | Если <tex>df(\overline{a}) = 0</tex>, а <tex>d^2 f(\overline{a}, \Delta \overline{a})</tex> как квадратичная форма строго положительно определенная, то <tex>a</tex> {{---}} точка локального минимума. | ||
+ | |||
+ | === №41. Локальная теорема о неявном отображении=== | ||
+ | Пусть <tex>\overline x \in V \subset \mathbb{R}^n, \overline y \in W \subset \mathbb{R}^m</tex>, тогда рассмотрим <tex>V\times W=\{(\overline x, \overline y) \in \mathbb R^{n+m},\overline x \in V, \overline y \in W\}</tex>. | ||
+ | |||
+ | <tex>f\colon V(\overline {x_0})\times W(\overline {y_0}) \to \mathbb{R}^m</tex>, <tex>f(x_0,y_0)=0^m</tex>. Существуют ли такие <tex>\delta_1,\delta_2>0</tex>, что для любого <tex>\overline x\in V_{\delta_1}(\overline{x_0})</tex> существует единственный <tex> \overline y\in W_{\delta_2}(\overline{y_0})\colon f(\overline x,\overline y)=0^m</tex>? | ||
+ | |||
+ | Если это так, то, в силу единственности y, определяем <tex>\overline y = \phi(\overline x)</tex> на <tex>V_{\delta_1}(\overline{x_0})</tex> так, чтобы <tex>f(\overline x,\phi(\overline x))=0^m</tex>. <tex>\phi</tex> — неявное отображение, определяется как <tex>f(\overline x,\overline y)=0^m,~(x_0,y_0)\colon f(\overline{x_0},\overline{y_0})=0^m</tex> | ||
+ | |||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|about= | |about= | ||
Строка 428: | Строка 476: | ||
}} | }} | ||
− | + | === №42. Исследование функции многих переменных на условный экстремум=== | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | == | ||
<tex>z=f(\overline x, \overline y),~\overline x=(x_1,\dots x_n),~\overline y=(y_1,\dots y_m)</tex>. Пусть заданы «уравнения связи» в количестве m: | <tex>z=f(\overline x, \overline y),~\overline x=(x_1,\dots x_n),~\overline y=(y_1,\dots y_m)</tex>. Пусть заданы «уравнения связи» в количестве m: | ||
Строка 442: | Строка 486: | ||
<tex>(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> — '''условный максимум''' функции <tex>f</tex>, если для всех <tex>\overline x \approx \overline{x_0},~\overline y \approx \overline{y_0}</tex> и <tex>(\overline x,\overline y)</tex>, удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство <tex>f(\overline x,\overline y)\le f(\overline {x_0},\overline {y_0})</tex>. Если же <tex>f(\overline x,\overline y)\ge f(\overline {x_0},\overline {y_0}),~(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> — '''условный минимум'''. | <tex>(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> — '''условный максимум''' функции <tex>f</tex>, если для всех <tex>\overline x \approx \overline{x_0},~\overline y \approx \overline{y_0}</tex> и <tex>(\overline x,\overline y)</tex>, удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство <tex>f(\overline x,\overline y)\le f(\overline {x_0},\overline {y_0})</tex>. Если же <tex>f(\overline x,\overline y)\ge f(\overline {x_0},\overline {y_0}),~(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> — '''условный минимум'''. | ||
− | == | + | '''Метод множителей Лагранжа:''' |
+ | |||
+ | <tex>F(\overline x,\overline y,\overline {\lambda})=f(\overline x,\overline y)+\sum\limits_{k=1}^m \lambda_k g_k(\overline x,\overline y).</tex> Далее составляем систему соотношений так, будто для <tex>F</tex> мы стали искать безусловный экстремум: | ||
+ | |||
+ | <tex>\begin{cases} \frac {\partial F}{\partial x_j}=0\\ | ||
+ | \frac {\partial F}{\partial y_i}=0\\ | ||
+ | \frac {\partial F}{\partial \lambda_k}=0 \Longleftrightarrow g_k(\overline x,\overline y)=0\end{cases};</tex> | ||
+ | |||
+ | Если всё это раскрыть, получим то, о чём мы говорили выше, но эта запись более компактна. | ||
+ | |||
+ | === №43. Определенный интеграл, зависящий от параметра: непрерывность, интегрирование и дифференцирование=== | ||
<wikitex> | <wikitex> | ||
Рассматриваем $ z = f(x, y) $, заданную на прямоугольнике $ a \le x \le b; \quad c \le y \le d $. | Рассматриваем $ z = f(x, y) $, заданную на прямоугольнике $ a \le x \le b; \quad c \le y \le d $. | ||
− | + | $ f $ непрерывна. | |
$ F(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx $ - интеграл, зависящий от параметра. | $ F(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx $ - интеграл, зависящий от параметра. | ||
Строка 456: | Строка 510: | ||
</wikitex> | </wikitex> | ||
− | == | + | === №44. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра, признак Вейерштрасса=== |
<wikitex> | <wikitex> | ||
+ | Если выполняется следующее условие: $ f $ непрерывна, $ \forall \varepsilon > 0 : \exists A_0 : \forall A > A_0 , \forall y_0 \in [c; d] \Rightarrow | \int\limits_A^{\infty} f(x, y_0) dx | < \varepsilon $, то $ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx $ равномерно сходится на $ [c; d] $. | ||
+ | |||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|author= | |author= | ||
Строка 470: | Строка 526: | ||
</wikitex> | </wikitex> | ||
− | == | + | === №45. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: непрерывность=== |
<wikitex> | <wikitex> | ||
+ | Считаем, что f непрерывна в полосе, а интеграл равномерно сходится на [c; d] | ||
+ | |||
$ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \stackrel{?}{\Rightarrow} \Delta F(y) \xrightarrow[\Delta y \to 0]{} 0 $ | $ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \stackrel{?}{\Rightarrow} \Delta F(y) \xrightarrow[\Delta y \to 0]{} 0 $ | ||
</wikitex> | </wikitex> | ||
− | == | + | === №46. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: интегрирование=== |
<wikitex> | <wikitex> | ||
$ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx = \int\limits_a^{\infty} dx \int\limits_c^d f(x,y) dy $ | $ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx = \int\limits_a^{\infty} dx \int\limits_c^d f(x,y) dy $ | ||
</wikitex> | </wikitex> | ||
− | == | + | === №47. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: дифференцирование=== |
<wikitex> | <wikitex> | ||
− | $ \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx | + | Предположим непрерывность $ \frac{\partial f}{\partial y} $. |
+ | |||
+ | $ \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $ - равномерно сходится. | ||
+ | |||
+ | $ \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx = \left( \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \right)' $ | ||
</wikitex> | </wikitex> | ||
− | == | + | === №48. Понятие о Гамма и Бета функциях Эйлера=== |
<wikitex> | <wikitex> | ||
$ B (a, b) = \int\limits_0^1 x^{a - 1} (1 - x)^{b - 1} dx $ | $ B (a, b) = \int\limits_0^1 x^{a - 1} (1 - x)^{b - 1} dx $ | ||
$ \Gamma (a) = \int\limits_0^{\infty} x^{a - 1} e^{-x} dx $ | $ \Gamma (a) = \int\limits_0^{\infty} x^{a - 1} e^{-x} dx $ | ||
+ | |||
+ | $ B(a, b) = \frac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(a + b)} $ | ||
В обоих случаях: интегралы, зависящие от параметра. | В обоих случаях: интегралы, зависящие от параметра. | ||
Строка 496: | Строка 560: | ||
</wikitex> | </wikitex> | ||
− | == | + | === №49. Интеграл Римана по прямоугольнику: критерий существования=== |
<tex>(\bar{x_i}, \bar{y_i}) \in \Pi_{ij}</tex> | <tex>(\bar{x_i}, \bar{y_i}) \in \Pi_{ij}</tex> | ||
Строка 512: | Строка 576: | ||
<tex>\overline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} M_{ij} \delta x_i \delta y_j</tex> | <tex>\overline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} M_{ij} \delta x_i \delta y_j</tex> | ||
− | + | Существование интеграла равносильно совпедению пределов нижней и верхней интегральных сумм <tex>\underline{I}</tex> и <tex>\overline{I} </tex> | |
− | == | + | === №50. Аддитивность интеграла по прямоугольнику=== |
− | * <tex>\exists \iint\limits_\Pi f \iff \forall m \ \exists \ | + | Если <tex>\Pi</tex> разбито на конечное число прямоугольников <tex>p</tex>, и они не имеют общих внутренних точек, то: |
+ | * <tex>\exists \iint\limits_\Pi f \iff \forall m \in \mathbb N : m \leq p \ \exists \iint\limits_{\Pi_m} f</tex> | ||
* <tex>\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{m = 1}^p \, \iint\limits_{\Pi_m} f</tex> | * <tex>\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{m = 1}^p \, \iint\limits_{\Pi_m} f</tex> | ||
− | == | + | === №51. Формула повторного интегрирования для прямоугольника=== |
А ВАС ЭТО НЕ СПРОСЯТ | А ВАС ЭТО НЕ СПРОСЯТ | ||
− | == | + | === №52. Критерий квадрируемости фигуры по Жордану=== |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
Строка 527: | Строка 592: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | (Признак!) Пусть <tex>\Gamma</tex> {{---}} спрямляемая замкнутая жорданова дуга. Тогда её внутренняя часть <tex>E</tex> {{---}} квадрируемая фигура. |
+ | |||
+ | Вообще в Фихтенгольце есть критерий: | ||
+ | |||
+ | Для того чтобы фигура была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы ее контур имел площадь 0. Но он нам этого не давал, возможно, перед экзаменом стоит ему об этом сказать. | ||
+ | |||
+ | === №53. Условие существования интеграла по квадрируемому компакту=== | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
Строка 533: | Строка 604: | ||
}} | }} | ||
− | == | + | === №54. Формула повторного интегрирования в общем случае=== |
А ВАС ЭТО НЕ СПРОСЯТ | А ВАС ЭТО НЕ СПРОСЯТ | ||
− | == | + | === №55. Вычисление площади фигуры в криволинейных координатах=== |
+ | <tex>\int \int dx dy = \int \int | J(u, v) | du dv </tex> | ||
+ | |||
+ | === №56. Замена переменных интегрирования в двойном интеграле=== | ||
+ | <wikitex> | ||
+ | $P(u, v) = \begin{pmatrix} | ||
+ | x_u' & y_u' \\ | ||
+ | x_v' & y_v' \\ | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | $ | ||
− | == | + | $J(u, v) = det(P(u, v))$; |
− | + | {{Теорема | |
+ | |about= | ||
+ | Замена переменных интегрирования в двойном интеграле | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть дан закон преобразования переменных, | ||
+ | $\begin{cases} | ||
+ | x & = x(u, v)\\ | ||
+ | y & = y(u, v)\\ | ||
+ | \end{cases}$; | ||
+ | $E$ - квадрируемая фигура в $Oxy$, якобиан преобразования определен так же, как и ранее. Пусть $f: E \rightarrow \mathbb R$. Тогда выполняется $|E| = \iint\limits_{E}f(x, y)dxdy = \iint\limits_{E'}f(x(u, v), y(u, v))|J(u, v)|dudv $ | ||
+ | |proof= | ||
+ | }} | ||
− | + | === №57. Обзор формул для многократных интегралов=== | |
− | + | [[Категория:Математический анализ 1 курс]] |
Текущая версия на 19:39, 4 сентября 2022
Содержание
- 1 №1. Суммирование расходящихся рядов методом средних арифметических
- 2 №2. Суммирование расходящихся рядов методом Абеля
- 3 №3. Теорема Фробениуса
- 4 №4. Тауберова теорема Харди
- 5 №5. Равномерная сходимость функционального ряда. Критерий Коши
- 6 №6. Признак Вейерштрасса
- 7 №7. Признак типа Абеля-Дирихле
- 8 №8. Предельный переход под знаком функционального ряда
- 9 №9. Условия почленного интегрирования функционального ряда
- 10 №10. Условия почленного дифференцирования функционального ряда
- 11 №11. Лемма Абеля
- 12 №12. Теорема о радиусе сходимости
- 13 №13. Вычисление радиуса сходимости
- 14 №14. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
- 15 №15. Степенной ряд, как ряд Тейлора своей суммы
- 16 №16. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
- 17 №17. Разложение в степенной ряд показательной и логарифмической функций
- 18 №18. Разложение в степенной ряд тригонометрических функций
- 19 №19. Биномиальный ряд Ньютона
- 20 №20. Формула Стирлинга
- 21 №21. Нормированное пространство: арифметика предела
- 22 №22. Ряды в банаховых пространствах
- 23 №23. Унитарные пространства, неравенство Шварца
- 24 №24. Гильбертовы пространства, экстремальное свойство ортонормированных систем
- 25 №25. Ортогональные ряды в гильбертовых пространствах.
- 26 №26. Принцип сжатия Банаха
- 27 №27. Линейные операторы в НП: непрерывность и ограниченность
- 28 №28. Норма линейного оператора
- 29 №29. Линейные функционалы в унитарном пространстве, разделение точек
- 30 №30. Пространство R^n : покоординатная сходимость
- 31 №31. Полнота R^n
- 32 №32. Критерий компактности в R^n
- 33 №33. Непрерывные отображения в R^n: координатные функции, непрерывность линейных операторов
- 34 №34. Дифференциал отображения и частные производные, дифференцируемость суперпозиции
- 35 №35. Формула конечных приращений для функции многих переменных
- 36 №36. Неравенство Лагранжа
- 37 №37. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных
- 38 №38. Дифференциалы высших порядков, теорема о смешанных производных
- 39 №39. Формула Тейлора для функции многих переменных
- 40 №40. Безусловный экстремум: необходимое и достаточное условия
- 41 №41. Локальная теорема о неявном отображении
- 42 №42. Исследование функции многих переменных на условный экстремум
- 43 №43. Определенный интеграл, зависящий от параметра: непрерывность, интегрирование и дифференцирование
- 44 №44. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра, признак Вейерштрасса
- 45 №45. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: непрерывность
- 46 №46. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: интегрирование
- 47 №47. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: дифференцирование
- 48 №48. Понятие о Гамма и Бета функциях Эйлера
- 49 №49. Интеграл Римана по прямоугольнику: критерий существования
- 50 №50. Аддитивность интеграла по прямоугольнику
- 51 №51. Формула повторного интегрирования для прямоугольника
- 52 №52. Критерий квадрируемости фигуры по Жордану
- 53 №53. Условие существования интеграла по квадрируемому компакту
- 54 №54. Формула повторного интегрирования в общем случае
- 55 №55. Вычисление площади фигуры в криволинейных координатах
- 56 №56. Замена переменных интегрирования в двойном интеграле
- 57 №57. Обзор формул для многократных интегралов
№1. Суммирование расходящихся рядов методом средних арифметических
Определение: |
Ряд | имеет сумму по методу средних арифметических (обозначают аббревиатурой с.а.), если .
№2. Суммирование расходящихся рядов методом Абеля
Определение: |
Пусть дан ряд | и (в классическом смысле). Тогда этот ряд имеет сумму по методу Абеля, если .
№3. Теорема Фробениуса
Теорема (Фробениус): |
(с.а) (А). |
№4. Тауберова теорема Харди
Теорема (Харди): |
(с.а.)
Тогда, если существует такое , что , то . |
№5. Равномерная сходимость функционального ряда. Критерий Коши
Определение: |
Пишут, что . | равномерно сходится к , если
Определение: |
Пусть на , если | задан функциональный ряд . Тогда он равномерно сходится к
Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости): |
Ряд равномерно сходится на |
№6. Признак Вейерштрасса
Теорема (Вейерштрасс): |
, , , — сходится.
Тогда равномерно сходится на . |
№7. Признак типа Абеля-Дирихле
Теорема: |
Пусть:
|
№8. Предельный переход под знаком функционального ряда
Теорема: |
Пусть на множестве заданы функции , — предельная точка этого множества и
. Тогда если - равномерно сходится на , то выполняется равенство : |
№9. Условия почленного интегрирования функционального ряда
Теорема: |
Пусть интегрируема и равномерно сходится к на . Тогда тоже интегрируема, и
. |
Утверждение: |
Пусть функциональный ряд состоит из и равномерно сходится на этом отрезке.
Тогда сумма ряда будет интегрируемой функцией, и будет выполняться: |
№10. Условия почленного дифференцирования функционального ряда
Теорема: |
Пусть на задан функциональный ряд , - сходится.
Пусть также - непрерывна на и - равномерно сходится на , тогда на выполняется : . |
№11. Лемма Абеля
Лемма (Абель): |
Пусть для некоторого — сходится.
Тогда ряд сходится. |
№12. Теорема о радиусе сходимости
Определение: |
— сходится . Заметим, что возможны случаи и . |
Теорема: |
Пусть есть ряд и — его радиус сходимости. Тогда
1) ряд абсолютно сходится.2) ряд сходится абсолютно и равномерно.3) 4) ряд расходится. — неопределённость. |
№13. Вычисление радиуса сходимости
Теорема: |
Пусть есть , — его радиус сходимости. Тогда:
1) Если , то .2) Если Замечание: на самом деле, есть формула Коши-Адамара, применимая в любом случае: , то . |
№14. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Вопрос: "Каковы будут радиусы сходимости почленно проинтегрированных или продифференцированных рядов?"
Ответ: "Почленное интегрирование или дифференцирование не меняет радиуса сходимости ряда".
Утверждение: |
Промежуток сходимости степенного ряда совпадает с промежутком сходимости продифференцированного степенного ряда |
№15. Степенной ряд, как ряд Тейлора своей суммы
<wikitex> Пусть $ f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n, \qquad R > 0 \qquad (x_0 - R; x_0 + R) $.
Определение: |
$ \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n $ - ряд Тейлора функции по степеням $ (x - x_0) $. |
Сопоставим ряд с формулой Тейлора функции, которую можно писать для любого $ n $.
$ f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k + r_n(x) \Rightarrow $ ряд получается из формулы при $ n \to \infty $. Если $ r_n(x) \rightarrow 0 $ при $ n \rightarrow \infty $, то можно перейти к пределу.
$ f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k $, что является разложением функции в степенной ряд в точке $ x $.
Если при всех x из некоторой окрестности точки $ x_0 $ функция разлагается в степенной ряд, то это будет обязательно ряд Тейлора.
Если разложение возможно, то единственно. Изучается с помощью поведения остатка $ r_n(x) $. </wikitex>
№16. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
Для того, чтобы функция была разложима в ряд Тейлора, достаточно чтобы
№17. Разложение в степенной ряд показательной и логарифмической функций
<wikitex> $e^x \stackrel{def}{=} \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} $
$ \ln(1 + x) = \sum\limits_{k = 1}^n (-1)^{k - 1} \frac{x^k}k + r_n(x) $, причем $ r_n(x) = \frac{\ln^{(n + 1)} (1 + \theta_n x)}{(n + 1)!} x^{n + 1}, \theta_n \in (0; 1) $ </wikitex>
№18. Разложение в степенной ряд тригонометрических функций
<wikitex> $\sin(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}$
$\cos(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ </wikitex>
№19. Биномиальный ряд Ньютона
<wikitex> $ (1 + x)^{\alpha} = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left[ \frac{\alpha (\alpha - 1) \dots (\alpha - k + 1)}{k!} x^k \right] + 1, \alpha \in \mathbb{R} $
$ r_n(x) = \frac{a (a - 1) \dots (a - n + 1) (a - n) (1 + \theta x)^{a - n - 1}}{n!} (1 - \theta)^n x^{n + 1} $ (в форме Коши) </wikitex>
№20. Формула Стирлинга
<wikitex dpi=240> $ n! = \sqrt{2 \pi n} {\left ( \frac ne \right )}^n e^{\frac{\theta_n}{12n}} $ </wikitex>
№21. Нормированное пространство: арифметика предела
Утверждение: |
Пусть , — последовательности точек нормированного пространства , а — вещественная последовательность. Известно, что , , .
Тогда: |
№22. Ряды в банаховых пространствах
Определение: |
Нормированное пространство | называется B-пространством, если для любой последовательности элементов , для которых из при вытекает существование предела последовательности.
№23. Унитарные пространства, неравенство Шварца
Определение: |
Линейное множество со скалярным произведением называется унитарным пространством. |
Утверждение: |
№24. Гильбертовы пространства, экстремальное свойство ортонормированных систем
Среди нормированных пространств выделяется подкласс так называемых гильбертовых пространств.
Пусть
— линейное пространство. Величина называется скалярным произведением точек множества , если она удовлетворяет следующим трём аксиомам:- ,
Базируясь на этом неравенстве, определим норму
.Доказанное неравенство треугольника превращает
в нормированное пространство. Если оно является B-пространством, то его называют гильбертовым пространством.
Теорема (Бессель): |
Пусть - ОНС в и , тогда
|
Экстремальное свойства ряда Фурье заключается в следующем:
располагается ближе всего к , если — ряд Фурье .№25. Ортогональные ряды в гильбертовых пространствах.
Определение: |
Ряд | является ортогональным, если .
В частности, так как - ОНС в (гильбертово), то — ортогональный ряд.
Теорема: |
- сходящийся ортогональный ряд .
При этом, если x - сумма ряда, то выполняется теорема Пифагора: |
№26. Принцип сжатия Банаха
Определение: |
Пусть — сжатие на шаре , если . | — B-пространство. Пусть — замкнутый шар в .
Теорема (Банах): |
У любого сжимающего отображения существует ровно одна неподвижная точка . |
№27. Линейные операторы в НП: непрерывность и ограниченность
Определение: |
Пусть | , — нормированные пространства, . называется линейным оператором, если
Определение: |
Л.о. называется ограниченным, если |
Определение: |
Л.о. непрерывен в X, если |
Теорема: |
Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен. |
№28. Норма линейного оператора
Определение: |
Нормой ограниченного оператора | является .
№29. Линейные функционалы в унитарном пространстве, разделение точек
Определение: |
Линейный функционал - линейный оператор вида | , где - гильбертово пространство.
Теорема: |
Для любого существует ограниченный линейный функционал , обладающий такими свойствами:
|
Утверждение (Разделение точек): |
линейный функционал |
Рассмотрим По линейности, . . . Значит, . |
№30. Пространство R^n : покоординатная сходимость
Утверждение (покоординатная сходимость в | ):
Пусть дана последовательность . Тогда в тогда и только тогда, когда для любого последовательность |
№31. Полнота R^n
Теорема: |
Пространство с евклидовой нормой является B-пространством. |
Доказательство: |
Надо установить, что из сходимости в себе следует существование предела по норме .Если Но по доказанному ранее утверждению из покоординатной сходимости следует сходимость по норме, что и требовалось доказать. , то для любого выполняется . По критерию Коши для числовых последовательностей из этого следует, что каждая из последовательностей имеет предел, то есть, последовательность точек сходится покоординатно. |
№32. Критерий компактности в R^n
Теорема (критерий компактности в | ):
Множество в компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. |
№33. Непрерывные отображения в R^n: координатные функции, непрерывность линейных операторов
Определение: |
Л.о. непрерывен в X, если |
Также, непрерывность л.о. совпадает с его непрерывностью в нуле.
В
сходимость покоординатная. (по неравенству Коши для сумм), таким образом, из неизбежно следуетУтверждение: |
— здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: , где и пробегают от до и соответственно, а — результат действия л.о. на точку можно представить в виде произведения матрицы и столбца . В Итак, линейный оператор, действующий из одного конечномерного пространства в другое, всегда непрерывен. сходимость покоординатная. (по неравенству Коши для сумм), таким образом, из неизбежно следует |
№34. Дифференциал отображения и частные производные, дифференцируемость суперпозиции
Определение: |
Пусть Тогда , причем при — производная Фреше отображения в точке . | —шар в . — дифференцируема в точке , если существует зависящий от ограниченный линейный оператор , такой, что если , то:
Теорема: |
Композиция дифференцируемых отображений дифференцируема. Производная Фреше равна композиции производных Фреше отображений.
Пусть , тогда |
Определение: |
Данный предел называется частной производной первого порядка функции | по переменной .
№35. Формула конечных приращений для функции многих переменных
№36. Неравенство Лагранжа
Теорема (Неравенство Лагранжа): |
Пусть — шар в —дифференцируема в каждой точке шара, тогда:, где |
№37. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных
Теорема: |
Пусть ,
Тогда существует дифференциал этой функции в точке , каждая из которых, как функция переменных, непрерывна в . . |
№38. Дифференциалы высших порядков, теорема о смешанных производных
Определим частные производные и дифференциалы высших порядков.
— оператор, дифференцирующий функцию по . Последовательное применение такого рода оператора даёт нам частные производные высших порядков. Пусть . Тогда — частная производная второго порядка функции . Дифференцирование осуществляется по переменной в знаменателе, слева направо.
Теорема (О смешанных производных): |
Пусть в двумерном шаре у функции существуют смешанные производные второго порядка и каждая из них непрерывна в некоторой точке этого шара. Тогда в : |
№39. Формула Тейлора для функции многих переменных
№40. Безусловный экстремум: необходимое и достаточное условия
Определение: |
Пусть задан линейный функционал | на . Если при , , то — точка локального максимума. Аналогично определяется точка локального минимума.
Теорема (Аналог теоремы Ферма(необходимое условие)): |
Пусть дифференцируема в точке локального экстремума . Тогда |
Достаточное условие:
Если
, а как квадратичная форма строго положительно определенная, то — точка локального минимума.№41. Локальная теорема о неявном отображении
Пусть
, тогда рассмотрим ., . Существуют ли такие , что для любого существует единственный ?
Если это так, то, в силу единственности y, определяем
на так, чтобы . — неявное отображение, определяется какТеорема (О неявном отображении): |
Пусть для поставлена задача о неявном отображении, с начальными данными . Известно, что в окрестности начальных данных непрерывно зависит от и непрерывно обратима в . Тогда в некоторой окрестности начальных данных неявное отображение существует. |
№42. Исследование функции многих переменных на условный экстремум
. Пусть заданы «уравнения связи» в количестве m:
— условный максимум функции , если для всех и , удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство . Если же — условный минимум.
Метод множителей Лагранжа:
Далее составляем систему соотношений так, будто для мы стали искать безусловный экстремум:
Если всё это раскрыть, получим то, о чём мы говорили выше, но эта запись более компактна.
№43. Определенный интеграл, зависящий от параметра: непрерывность, интегрирование и дифференцирование
<wikitex> Рассматриваем $ z = f(x, y) $, заданную на прямоугольнике $ a \le x \le b; \quad c \le y \le d $.
$ f $ непрерывна.
$ F(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx $ - интеграл, зависящий от параметра.
- $ F(y) $ - непрерывна на $ [c; d] $.
- Если существует непрерывная $ \frac{\partial f}{\partial y} $, то cуществует $ F'(y) = \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $ - формула Лейбница.
- $ \int\limits_c^d F(y) dy = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $ - формула читается справа налево, является повторным интегралом и по сути означает смену местами интегралов по двум переменным.
</wikitex>
№44. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра, признак Вейерштрасса
<wikitex> Если выполняется следующее условие: $ f $ непрерывна, $ \forall \varepsilon > 0 : \exists A_0 : \forall A > A_0 , \forall y_0 \in [c; d] \Rightarrow | \int\limits_A^{\infty} f(x, y_0) dx | < \varepsilon $, то $ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx $ равномерно сходится на $ [c; d] $.
Теорема (Вейерштрасс, Признак равномерной сходимости несобственных интегралов): |
Пусть $ |
</wikitex>
№45. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: непрерывность
<wikitex> Считаем, что f непрерывна в полосе, а интеграл равномерно сходится на [c; d]
$ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \stackrel{?}{\Rightarrow} \Delta F(y) \xrightarrow[\Delta y \to 0]{} 0 $ </wikitex>
№46. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: интегрирование
<wikitex> $ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx = \int\limits_a^{\infty} dx \int\limits_c^d f(x,y) dy $ </wikitex>
№47. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: дифференцирование
<wikitex> Предположим непрерывность $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
$ \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $ - равномерно сходится.
$ \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx = \left( \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \right)' $ </wikitex>
№48. Понятие о Гамма и Бета функциях Эйлера
<wikitex> $ B (a, b) = \int\limits_0^1 x^{a - 1} (1 - x)^{b - 1} dx $
$ \Gamma (a) = \int\limits_0^{\infty} x^{a - 1} e^{-x} dx $
$ B(a, b) = \frac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(a + b)} $
В обоих случаях: интегралы, зависящие от параметра.
Легко понять, что $ B (a, b) $ Сходится при $ a, b > 0 $; $ \Gamma(a) $ сходится при $ a > 0 $. </wikitex>
№49. Интеграл Римана по прямоугольнику: критерий существования
Определение: |
Двойной интеграл |
,
Существование интеграла равносильно совпедению пределов нижней и верхней интегральных сумм
и№50. Аддитивность интеграла по прямоугольнику
Если
разбито на конечное число прямоугольников , и они не имеют общих внутренних точек, то:№51. Формула повторного интегрирования для прямоугольника
А ВАС ЭТО НЕ СПРОСЯТ
№52. Критерий квадрируемости фигуры по Жордану
Определение: |
квадрируема по Жордану, если существует . Значение этого интеграла называется 'площадью фигуры'. |
(Признак!) Пусть — спрямляемая замкнутая жорданова дуга. Тогда её внутренняя часть — квадрируемая фигура.
Вообще в Фихтенгольце есть критерий:
Для того чтобы фигура была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы ее контур имел площадь 0. Но он нам этого не давал, возможно, перед экзаменом стоит ему об этом сказать.
№53. Условие существования интеграла по квадрируемому компакту
Теорема: |
Пусть — квадрируемый компакт на плоскости, непрерывна на . Тогда существует . |
№54. Формула повторного интегрирования в общем случае
А ВАС ЭТО НЕ СПРОСЯТ
№55. Вычисление площади фигуры в криволинейных координатах
№56. Замена переменных интегрирования в двойном интеграле
<wikitex> $P(u, v) = \begin{pmatrix} x_u' & y_u' \\ x_v' & y_v' \\ \end{pmatrix} $
$J(u, v) = det(P(u, v))$;
Теорема (Замена переменных интегрирования в двойном интеграле): |
Пусть дан закон преобразования переменных,
$\begin{cases} x & = x(u, v)\\ y & = y(u, v)\\ \end{cases}$; $E$ - квадрируемая фигура в $Oxy$, якобиан преобразования определен так же, как и ранее. Пусть $f: E \rightarrow \mathbb R$. Тогда выполняется $ |