Изменения

[[Дерево отрезков. Построение|Дерево отрезков]] естественным образом обобщается на двумерный и , вообще говоря , многомерный случай. Такая структура данных может вычислять значение некоторой [[Ассоциативная_операция|ассоциативной функции]] на гиперпрямоугольнике. Например, она позволяет решать следующую задачу. {{Задача|definition = Дан <tex>p</tex>-мерный массив, где индекс каждого измерения массива может принимать значения от <tex>1 </tex> до <tex>n</tex>. Необходимо уметь изменять значение элемента массива, а также находить сумму на <tex>p</tex>-мерной области. }} Каждую из этих операций многомерное дерево отрезков выполняет за <tex>O(\log^{p} n)</tex>. К примерам задач, решаемых с помощью многомерного дерева отрезков, также можно отнести задачи, которые решаются с помощью одномерного [[Дерево отрезков. Построение|дерева отрезков]], только теперь в многомерном случае, а еще ,например, задачу поиска числа точек в заданном прямоугольнике, которую иначе можно решать при помощи [[Перечисление точек в произвольном прямоугольнике за n * log ^(d - 1) n (range tree)|range tree]], и другие.

[[Файл:SegmentTreeWorking.png|thumb|450px600px|right|Пример некоторой стадии работы алгоритма (поиск элементов, подходящих некоторой области)]]<tex>n</tex>-мерное дерево отрезков {{---}} обычное дерево отрезков, элементами которого являются деревья отрезков размерности на 1 единицу меньше. Основная идея заключается в рекурсивном переходе к деревьям меньшей размерности. Рассмотрим работу этого принципа на следующем примере. Пусть задано <tex>p</tex>-мерное пространство с координатными осями <tex>x_1, x_2, x_3...\ldots x_p</tex>. Необходимо найти значение некоторой ассоциативной функции на гиперпрямоугольнике.

На рисунке справа показан пример обработки очередной координаты (поиск соответствующих отрезку элементов {{---}} деревьев на <tex>1 </tex> меньшей мерности).

[[Файл:SegmentTree2DExample.png|thumb|250px350px|right|Пример двумерного дерева отрезков для 16 элементов]]Пусть необходимо хранить дерево отрезков для <tex>p</tex>-мерной области, размеры которой <tex>n_1 \times n_2 \times ... \ldots \times n_p</tex>. Удобнее всего это делать с помощью <tex>p</tex>-мерного массива. Однако его размеры по каждой координате, так же как и в одномерном случае, должны превышать размеры соответствующего отрезка в 4 раза. На самом деле нам нужно хранить <tex>2n</tex> чисел, но, если мы хотим, чтобы правый и левый сын некоторой вершины <tex>i</tex> находились на <tex> 2i + 1</tex> и <tex>2i + 2</tex> месте, то, если длина отрезка не является степенью двойки, некоторые элементы массива могут быть не задействованы, поэтому в худшем случае, может понадобиться массив, размер которого в 4 раза превышает количество элементов. Т. е. потребуется массив размером <tex>4 n_1 \times 4 n_2 \times ... \ldots \times 4 n_p</tex>. Так двумерное дерево отрезков удобно хранить в виде массива, размером <tex>4N \times 4M</tex>. Каждая строчка такого массива соответствует некоторому отрезку по первой координате. Сама же строчка является деревом отрезков по второй координате.

==ПостроениеЗапрос==Рассмотрим отличия реализации многомерного и одномерного случаев. На самом деле, отличаются реализации только в двух местах. Во-первых, если рассматриваемый отрезок совпадает с необходимым, то в одномерном случае функция просто возвращает число, которое находится в текущем элементе массива. В многомерном случае, если рассматриваемая координата не последняя, следует вместо этого узнать значение, рекурсивно перейдя к следующей координате, и вернуть его.  Еще один момент, в которых отличается реализация {{---}} передаваемые в функцию параметры. В многомерном случае кроме всего прочего следует также передать рассматриваемое <tex>p-i+1</tex>-мерное дерево (или кортеж из чисел, указывающих на соответствующие элементы массива), а также область, которую следует рассматривать (или <tex>p-i+1</tex> пар чисел, обозначающих отрезки на соответствующих координатных осях). Все остальные детали реализации остаются такими же как и в одномерном дереве отрезков. В каждом нижеприведенном псевдокоде будут встречены обозначения:* индекс <tex>\mathtt{P}</tex> {{---}} размерность массива из условия задачи,* <tex>\mathtt{\odot}</tex> {{---}} та операция, которую мы считаем на данном многомерном дереве отрезков. В нижеприведенном псевдокоде будет встречен <tex>\varepsilon</tex> {{---}} нейтральный элемент. 

Псевдокод:<code> '''void''' query('''int''' area[], '''int''' x1, '''int''' x2, ..., '''int''' xP, '''int''' leftBorder, '''int''' rightBorder, '''int''' queryLeft, '''int''' queryRight, '''int''' node) '''if''' queryLeft > queryRight '''return''' <tex>\varepsilon</tex> '''if''' leftBorder ==ЗапросqueryLeft '''and''' rightBorder ==queryRight '''if''' последняя координата '''return''' t[x1][x2]...[xP][node] '''else''' '''return''' query(area[], x1, x2, ..., xP, node, 0, m - 1, area[P + 2].left, area[P + 2].right, 0) med = (leftBorder + rightBorder) / 2 '''return''' query(area[], x1, x2, ..., xP, leftBorder, med, queryLeft, min(queryRight, med), node * 2 + 1) <tex>\odot</tex> query(area[], x1, x2, ..., xP, med + 1, rightBorder, max(queryLeft, med + 1), queryRight, node * 2 + 2)</code>

update(newElem, x1, x2, ..., xP, x1Left, x1Right, x2Left, x2Right, ..., xPLeft, xPRight, leftBorder, rightBorder, vertex) '''if''' leftBorder != rightBorder med = (leftBorder + rightBorder) / 2 '''if''' med >Построение= newElem.x(P+1) update(newElem, x1, x2, ..., xP, x1Left, x1Right, x2Left, x2Right, ..., xPLeft, xPRight, leftBorder, med, vertex * 2 + 1) '''else''' update(newElem, x1, x2, ..., xP, x1Left, x1Right, x2Left, x2Right, ..., xPLeft, xPRight, med + 1, vertex * 2 + 2) '''if''' последняя координата '''for''' I = 1..n '''if''' xILeft != xIRigth t[x1][x2]Построение многомерного дерева отрезков практически ничем не отличается от его обновления...[xP][vertex] = t[x1][x2]...[xI * 2 + 1]...[vertex] <tex>\times</tex> t[x1][x2]...[xI * 2 + 2]...[vertex] '''return''' t[x1][x2]...[xP][vertex] = newElem.value '''else''' '''if''' leftBorder != rightBorder update(newElem, x1, x2, ..., xP, vertex, x1Left, x1Rigth, x2Left, x2RightЕдинственное различие {{---}} если рассматриваемый отрезок состоит из более чем одного элемента, то необходимо рекурсивно вызываться из обеих частей..., leftBorder, rightBorder, 0, m - 1, 0)

Псевдокод:<code> '''void''' build('''int''' x1, '''int''' x2, ..., '''int''' xP, '''int''' x1Left, '''int''' x1Right, '''int''' x2Left, '''int''' x2Right, ..., '''int''' xPLeft, '''int''' xPRight, '''int''' leftBorder, '''int''' rightBorder, '''int''' node) '''if''' leftBorder !=rightBorder med =Многомерный случай(leftBorder + rightBorder) / 2 update(newElem, x1, x2, ..., xP, x1Left, x1Right, x2Left, x2Right, ..., xPLeft, xPRight, leftBorder, med, node * 2 + 1) update(newElem, x1, x2, ..., xP, x1Left, x1Right, x2Left, x2Right, ..., xPLeft, xPRight, med + 1, rightBorder, node * 2 + 2) '''if''' последняя координата '''for''' I =1..n '''if''' xILeft !=xIRightРассмотрим, как изменяться функции при переходе к t[x1][x2]...[xP][node] = t[x1][x2]...[xI * 2 + 1]...[node] <tex>n\odot</tex>t[x1][x2]...[xI * 2 + 2]...[node] '''return''' t[x1][x2]...[xP][node] = data[x1Left][x2Left]...[xPLeft][node] '''else''' '''if''' leftBorder != rightBorder update(newElem, x1, x2, ..., xP, node, x1Left, x1Rigth, x2Left, x2Right, ..., leftBorder, rightBorder, 0, m -мерному случаю.1, 0)</code>

НапримерЗаметим, для операции обновления что построение дерева отрезков изменения будут следующими. В коде будут присутствовать требует <tex>O(n</tex> функций update (для каждой из координат). Реально будут только две различные реализации этих функций (первая, при нахождении необходимых листьев дерева, рекурсивно переходит к следующей координате, вторая {{---}} только возвращает значение из массива). Мы можем не писать <tex>n</tex> одинаковых реализаций в кодевремени, но тогда дерево отрезков придется хранить не в где <tex>n</tex>-мерном массиве, а в одномерном (это не сильно усложнит реализацию, но понятность кода уменьшится). Рассмотрим более подробно устройство такой функции. В качестве параметров она должна принимать область, на которой считается операция, информацию о том, из каких ячеек массива мы рекурсивно спустились, отрезок, который обрабатывается по текущей координате и необходимый нам отрезок, а также номер текущей ячейки массива.  operationCalc(area[], x1, x2, ..., xP, leftBorder, rightBorder, needLeft, needRight, vertex) Вначале следует проверить, что обрабатываемый отрезок не пустой (иначе вернуть нейтральный элемент для операции)  if needLeft > needRight return 0 Потом, если текущий отрезок совпадает с искомым, необходимо перейти к поиску по следующей координате  if leftBorder == needLeft && rightBorder == needRight return operationCalc(area[], x1, x2, ..., xP, vertex, 0, m - 1, area[P + 2].left, area[P + 2].right, 0) Если же отрезок не совпадает, то делим его пополам и рекурсивно вызываемся от его частей  med = (leftBorder + rightBorder) / 2 return operationCalc(area[], x1, x2, ..., xP, leftBorder, med, needLeft, min(needRight, med), vertex * 2 + 1) <tex>\times</tex> operationCalc(area[], x1, x2, ..., xP, med + 1, rightBorder, max(needLeft, med + 1), needRight, vertex * 2 + 2) В реализации для последней координаты вместо рекурсивного перехода следует вернуть значение из массива  if leftBorder == needLeft && rightBorder == needRight return t[x1][x2]...[xP][vertex]  ==Источники==* [http://e-maxx.ru/algo/segment_tree Дерево отрезков {{---}} e-maxx.ru]* [http://habrahabr.ru/post/131072/)/ Двумерное дерево отрезков {{---}} habrahabrобщее число элементов в массиве.ru]