Изменения

[[Дерево отрезков. Построение|Дерево отрезков]] естественным образом обобщается на двумерный и, вообще говоря, многомерный случай. Такая структура данных может вычислять значение некоторой [[Ассоциативная_операция|ассоциативной функции]] на гиперпрямоугольнике. Например, она позволяет решать следующую задачу.{{Задача|definition = Дан <tex>p</tex>-мерный массив, где индекс каждого измерения массива может принимать значения от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>. Необходимо уметь изменять значение элемента массива, а также находить сумму на <tex>p</tex>-мерной области. }} Каждую из этих операций многомерное дерево отрезков выполняет за <tex>O(\log^{p} n)</tex>. К примерам задач, решаемых с помощью многомерного дерева отрезков, также можно отнести задачи, которые решаются с помощью одномерного [[Дерево отрезков. Построение|дерева отрезков]], только теперь в многомерном случае, а еще ,например, задачу поиска числа точек в заданном прямоугольнике, которую иначе можно обобщить решать при помощи [[Перечисление точек в произвольном прямоугольнике за n * log ^(d - 1) n (range tree)|range tree]], и другие. ==Принцип работы==[[Файл:SegmentTreeWorking.png|thumb|600px|right|Пример некоторой стадии работы алгоритма (поиск элементов, подходящих некоторой области)]]<tex>n</tex>-мерное дерево отрезков {{---}} обычное дерево отрезков, элементами которого являются деревья отрезков размерности на единицу меньше. Основная идея заключается в многомерный случай рекурсивном переходе к деревьям меньшей размерности. Рассмотрим работу этого принципа на следующем примере. Пусть задано <tex>p</tex>-мерное пространство с координатными осями <tex>x_1, x_2, x_3 \ldots x_p</tex>. Необходимо найти значение некоторой ассоциативной функции на гиперпрямоугольнике. Функция, вычисляющая ответ, должна работать следующим образом. На вход она принимает <tex>i</tex>-мерное дерево отрезков, которое соответствует рассматриваемой области (где <tex>i</tex> {{---}} количество координатных осей, которые не были рассмотрены), а также <tex>i</tex>-мерную область, для решения таких задачкоторой следует вычислить функцию. Вначале она находит <tex>i-1</tex>-мерные деревья отрезков, которые соответствуют отрезку по <tex>p-i+1</tex> координате, и рекурсивно запускается от них (если текущее дерево одномерное, то функция просто возвращает ответ из соответствующего листа). После этого считает итоговый результат, используя полученные после рекурсивных вызовов значения. Для того, чтобы определить, от каких именно деревьев отрезков следует запускаться рекурсивно, действовать необходимо так же, как и в одномерном случае. Т. е. если текущий отрезок не пересекается с необходимым, то возвращаем нейтральный элемент, если он полностью лежит в необходимом отрезке, то рекурсивно переходим к следующей координате, иначе разобьем текущий отрезок пополам, и рассмотри отдельно каждую из частей.  На рисунке справа показан пример обработки очередной координаты (поиск соответствующих отрезку элементов {{---}} деревьев на <tex>1</tex> меньшей мерности). Таким образом, алгоритм совершит <tex>p</tex> вхождений в рекурсию, каждая итерация которой работает за <tex>O(\log n)</tex> и получим необходимую асимптотику. ==Хранение==[[Файл:SegmentTree2DExample.png|thumb|350px|right|Пример двумерного дерева отрезков для 16 элементов]]Пусть необходимо хранить дерево отрезков для <tex>p</tex>-мерной области, размеры которой <tex>n_1 \times n_2 \times \ldots \times n_p</tex>. Удобнее всего это делать с помощью <tex>p</tex>-мерного массива. Однако его размеры по каждой координате, так же как и в одномерном случае, должны превышать размеры соответствующего отрезка в 4 раза. На самом деле нам нужно хранить <tex>2n</tex> чисел, но, если мы хотим, чтобы правый и левый сын некоторой вершины <tex>i</tex> находились на <tex> 2i + 1</tex> и <tex>2i + 2</tex> месте, то, если длина отрезка не является степенью двойки, некоторые элементы массива могут быть не задействованы, поэтому в худшем случае, может понадобиться массив, размер которого в 4 раза превышает количество элементов. Т. е. потребуется массив размером <tex>4 n_1 \times 4 n_2 \times \ldots \times 4 n_p</tex>. Так двумерное дерево отрезков удобно хранить в виде массива, размером <tex>4N \times 4M</tex>. Каждая строчка такого массива соответствует некоторому отрезку по первой координате. Сама же строчка является деревом отрезков по второй координате. На рисунке справа показан пример дерева отрезков для суммы на прямоугольникемассиве 4 на 4, заполненного числами от 1 от 16. Например, в элементе <tex>a[2][0] = 100</tex> хранится сумма элементов, соответствующих отрезку <tex>[2..3]</tex> по первой координате и <tex>[0..3]</tex> по второй в исходном массиве. А в ячейке <tex>a[0][0] = 136</tex> хранится сумма всех элементов. Интересно, что если построить дерево вначале по второй координате, а потом по первой, то получившийся массив будет таким же. Т. е. данный двумерный массив можно рассматривать как массив деревьев отрезков, где каждое дерево соответствует некоторому отрезку по второй координате, а в нем хранятся суммы по первой. Заметим, что в общем случае для хранения <tex>p</tex>-мерного дерева отрезков требуется <tex>4^p n</tex> памяти, где <tex>n</tex> {{---}} общее количество элементов. ==Запрос==Рассмотрим отличия реализации многомерного и одномерного случаев. На самом деле, отличаются реализации только в двух местах. Во-первых, если рассматриваемый отрезок совпадает с необходимым, то в одномерном случае функция просто возвращает число, которое находится в текущем элементе массива. В многомерном случае, если рассматриваемая координата не последняя, следует вместо этого узнать значение, рекурсивно перейдя к следующей координате, и вернуть его.  Еще один момент, в которых отличается реализация {{---}} передаваемые в функцию параметры. В многомерном случае кроме всего прочего следует также передать рассматриваемое <tex>p-i+1</tex>-мерное дерево (или кортеж из чисел, указывающих на соответствующие элементы массива), а также область, которую следует рассматривать (или гиперпрямоугольной области<tex>p-i+1</tex> пар чисел, обозначающих отрезки на соответствующих координатных осях).Все остальные детали реализации остаются такими же как и в одномерном дереве отрезков. В каждом нижеприведенном псевдокоде будут встречены обозначения:* индекс <tex>\mathtt{P}</tex> {{---}} размерность массива из условия задачи,* <tex>\mathtt{\odot}</tex> {{---}} та операция, которую мы считаем на данном многомерном дереве отрезков. В нижеприведенном псевдокоде будет встречен <tex>\varepsilon</tex> {{Задача---}} нейтральный элемент.  Псевдокод:<code> '''void''' query('''int''' area[], '''int''' x1, '''int''' x2, ..., '''int''' xP, '''int''' leftBorder, '''int''' rightBorder, '''int''' queryLeft, '''int''' queryRight, '''int''' node) '''if''' queryLeft > queryRight '''return''' <tex>\varepsilon</tex> '''if''' leftBorder == queryLeft '''and''' rightBorder == queryRight '''if''' последняя координата '''return''' t[x1][x2]...[xP][node] '''else''' '''return''' query(area[], x1, x2, ..., xP, node, 0, m - 1, area[P + 2].left, area[P + 2].right, 0) med = (leftBorder + rightBorder) / 2 '''return''' query(area[], x1, x2, ..., xP, leftBorder, med, queryLeft, min(queryRight, med), node * 2 + 1) <tex>\odot</tex> query(area[], x1, x2, ..., xP, med + 1, rightBorder, max(queryLeft, med + 1), queryRight, node * 2 + 2)</code> |definition==Обновление==Рассматривается задача регионального поискаКак и в одномерном случае, обновить в массиве необходимо не один элемент, а все, которые отвечают за области, в которых он присутствует. Задано множество точек Таким образом, при обработке отрезка по некоторой координате (если она не последняя) следует выполнить следующие действия:* Если рассматриваемый отрезок содержит больше одного элемента, разобьем его на две части и рекурсивно перейдем в ту, где находится необходимый элемент* Перейдем к следующей координатеЗаметим, что "переходов к следующей координаты" при рассмотрении некоторой координатной оси будет совершено <tex>\log n</tex>, а итоговая сложность составит <tex>O(\log^{p-} n)</tex>мерном евклидовом пространстве. Образцом  Отдельно следует рассмотреть, что происходит, когда текущее дерево является одномерным (мы рассмотрели все координаты, кроме текущей):* Если рассматриваемый отрезок содержит больше одного элемента, разобьем его на две части и рекурсивно перейдем в ту, где находится необходимый элемент* Найдем первую координату, в которой рассматривается больше одного элемента. Обновим значение элемента массива с помощью уже вычисленных значений для поиска является гиперпрямоугольная разбитого надвое отрезка по этой координате.* Если мы рассматриваем область, состоящую из одного элемента, обновим значение массива. Псевдокод:<code> '''void''' update('''int''' newElem, '''int''' x1, '''int''' x2, ...Найти сумму, '''int''' xP, '''int''' x1Left, '''int''' x1Right, '''int''' x2Left, '''int''' x2Right, ..., '''int''' xPLeft, '''int''' xPRight, '''int''' leftBorder, '''int''' rightBorder, '''int''' node) '''if''' leftBorder != rightBorder med = (leftBorder + rightBorder) /минимум2 '''if''' med >= newElem.x(P+1) update(newElem, x1, x2, ..., xP, x1Left, x1Right, x2Left, x2Right, ..., xPLeft, xPRight, leftBorder, med, node * 2 + 1) '''else''' update(newElem, x1, x2, ..., xP, x1Left, x1Right, x2Left, x2Right, ..., xPLeft, xPRight, med + 1, rightBorder, node * 2 + 2) '''if''' последняя координата '''for''' I = 1..n '''if''' xILeft != xIRigth t[x1][x2]...[xP][node] = t[x1][x2]...[xI * 2 + 1]...[node] <tex>\odot</максимумtex> t[x1][x2]...[xI * 2 + 2]...[node] '''return''' t[x1][x2]...[xP][node] = newElem.value '''else''' '''if''' leftBorder != rightBorder update(newElem, x1, x2, ..., xP, node, x1Left, x1Rigth, x2Left, x2Right, ..., leftBorder, rightBorder, 0, m - 1, 0)}}</code>

Пусть задано <tex>p</tex>-мерное пространство с координатными осями <tex>x_1, x_2, x_3...x_p</tex>.Т.к. при построении одномерного дерева, индексы массива разбиваются на отрезки, тогда при построении Построение многомерного дерева координаты будут обрабатываться сначала по <tex>x_1 </tex>, затем по <tex>x_2</tex> и так далееотрезков практически ничем не отличается от его обновления...Далее дерево строится рекурсивно: далее координаты по <tex>x_1</tex> обрабатываем по координатам <tex>x_2</tex>, <tex>x_3</tex>(по всем возможным координатам)и далее по аналогии...То есть получается, что основная идея построения многомерного дерева отрезков Единственное различие {{--- вкладывание деревьев отрезка друг в друга. Пример задачи}} если рассматриваемый отрезок состоит из более чем одного элемента, в которой удобно использовать многомерное дерево отрезков==Пример двумерного дерева==Рассмотрим процесс построения предельного случая при <tex>p = 2</tex>.Пусть задан массив элементов размера <tex>n \times m</tex>.Упорядочим массив по первой координате и построим на нем дерево отрезков.После этого для каждого узла дерева строим еще одно дерево отрезков по координате <tex>y</tex>, которые находятся на том же отрезкето необходимо рекурсивно вызываться из обеих частей.

К примеруПсевдокод:<code> '''void''' build('''int''' x1, '''int''' x2, ..., '''int''' xP, '''int''' x1Left, '''int''' x1Right, '''int''' x2Left, '''int''' x2Right, ..., '''int''' xPLeft, '''int''' xPRight, '''int''' leftBorder, '''int''' rightBorder, '''int''' node) '''if''' leftBorder != rightBorder med = (leftBorder + rightBorder) / 2 update(newElem, x1, x2, ..., xP, x1Left, x1Right, x2Left, x2Right, ..., xPLeft, xPRight, leftBorder, med, node * 2 + 1) update(newElem,двумерное дерево размером x1, x2, ..., xP, x1Left, x1Right, x2Left, x2Right, ..., xPLeft, xPRight, med + 1, rightBorder, node * 2 + 2) '''if''' последняя координата '''for''' I = 1..n '''if''' xILeft != xIRight t[x1][x2]...[xP][node] = t[x1][x2]...[xI * 2 + 1]...[node] <tex>4 \times 4 :odot</tex> t[x1][x2]...[xI * 2 + 2]...[node] '''return''' t[x1][x2]...[xP][node] = data[x1Left][x2Left]...[xPLeft][node] '''else''' '''if''' leftBorder != rightBorder update(newElem, x1, x2, ..., xP, node, x1Left, x1Rigth, x2Left, x2Right, ..., leftBorder, rightBorder, 0, m - 1, 0)</code>

[[Файл:Многомерное доЗаметим, что построение дерева требует <tex>O(n)</tex> времени, где <tex>n</tex> {{---}} общее число элементов в массиве.jpg]]

==Анализ и оценка структурыСм. также==Строится такое *[[Дерево отрезков. Построение]]*[[Сжатое многомерное дерево за линейное время.отрезков]]Структура использует <tex>O(n^p)</tex> памяти, и отвечает на запрос за <tex>O(log^{p} n)</tex>, где <tex>p</tex>-размерность дерева.*[[Многомерное дерево Фенвика]]

Ответ на запрос в таком дереве будет производиться так же,как и построение==Источники информации==* [http: сначала по координате <tex>x_1</tex>, затем, когда дошли до какой/e-либо вершины по первой координате, вызвать запрос от этого же дерева по <tex>x_2<maxx.ru/algo/segment_tree MAXimal :: algo :: Дерево отрезков]* [http:/tex> и так далее/habrahabr.Получается, что для <tex>n-<ru/post/131072/)/tex>мерного дерева запрос выполняется за <tex>O(log (s_Habrahabr {x_1})* log (s_{x_2---})...log (s_{x_n})</tex> (для рассмотренного двумерного дерева будет <tex>log (n) * log (m) </tex> )Двумерное дерево отрезков]

==Смотри также==[[Дерево отрезков. ПостроениеКатегория: Дискретная математика и алгоритмы]] <br/>[[Сжатое многомерное дерево Категория: Дерево отрезков]] <br/>[[Многомерное дерево ФенвикаКатегория: Модификации структур данных]] <br/>