Изменения

{{TODO|t=ВАКАНСИЯБудем рассматривать пространство <tex> (X, \mathcal A, \mu) </tex>, считаем, что мера <tex> \mu </tex> — <tex> \sigma </tex>-конечная, полная, то есть: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}

{{TODO|t<tex> X =Achtung! Тут немного пропущено}}\bigcup\limits_p X_p : \mu X_p < + \infty </tex>

... Используя ту же технику, <tex>f</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> <tex>\mu B = 0 , A \subset B \Rightarrow</tex> <tex>E</tex> {{---}} тоже измеримоA \in \mathcal A, <tex>E = \bigcup\limits_{nmu A =1}^\infty E(f < n)0 </tex>

Приведём примеры Пусть <tex> E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R </tex>, будем обозначать как <tex> E (f </tex> обладает свойством <tex> P )</tex> совокупность точек из <tex>E</tex>, для которых свойство <tex> P </tex> верно. {{Определение|definition=<tex> a \in \mathbb R </tex>, <tex> E(f < a), E(f \le a), E(f > a), E(f \ge a) </tex> — '''множества Лебега''' функции <tex> f </tex>.}} {{Определение|definition=<tex> f : E \rightarrow \mathbb R </tex> называется '''измеримой по Лебегу''', если для любого <tex> a \in \mathbb R </tex> множества Лебега всех четырех типов измеримы (то есть, принадлежат [[Полукольца и алгебры#Алгебра|сигма-алгебре]]).}} {{Утверждение|about=Измеримость по Лебегу|statement=Функция измерима по Лебегу на <tex> E </tex> <tex> \iff </tex> для любого <tex> a </tex> измеримо её множество Лебега одного любого фиксированного типа.|proof=Пусть <tex> E(f < a) </tex> — измеримо для любого <tex> a </tex>. Установим измеримость остальных:# <tex> E(f \le a) = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} E(f < a + \frac1n) </tex> — тоже измеримо, как счётное пересечение измеримых функций:множеств.# <tex> E(f > a) = \overline{E(f \le a)} </tex> — тоже измеримо.# <tex> E(f \ge a) = \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} E(f > a - \frac1n) </tex> — аналогично, измеримо.}} Используя ту же технику, легко установить, что из измеримости <tex>f</tex> на <tex>E</tex> следует и измеримость самого <tex>E</tex>, <tex>E = \bigcup\limits_{n=1}^\infty E(f < n)</tex> Пример измеримой функции — <tex>f(x) = C</tex> на измеримом <tex>E</tex>.

Поэтому, считая Так как <tex>E</tex> измеримым, получаемизмеримо, что то постоянная функция на нём измерима.

Всё это распространяется на <tex>E = \bigcup\limits_p E_p</tex>, <tex>E_p \in \mathcal{A}, E_p </tex>— дизъюнктны.

Аналогично , измерима на <tex>E</tex>, функция <tex>f : E \to \mathcal{mathbb R}</tex>, <tex>f(x) = a_p, x\in E_p</tex>.

Проверим, что оно замкнуто .  Рассмотрим последовательность <tex>\Rightarrowbar x_j \in F(f\leq a)</tex>, пусть она сходится к <tex> \bar x </tex>. По определению множества Лебега, <tex>f(\bar x_j) \leq a</tex> измеримо.

Так как <tex>\bar x_j \in F(f\leq a)</tex>, <tex>f(\bar x_j) \leq a</tex>, <tex>\bar x_j \to \bar x</tex>— замкнутое, и <tex>\bar x_j \in</tex> замкнутое <tex>F</tex>. Значит, то предел тоже в принадлежит <tex>F</tex>. Значит, по непрерывности, <tex>f(\bar x_j) \to f(\bar x)</tex>.

ЗначитПо непрерывности <tex> f </tex>, из того, что <tex> f(\bar x_j) \le a </tex>, следует <tex>f(\bar x)\leq a \Rightarrow </tex>, то есть, <tex> \bar x \in F(f\leq a)</tex>.

Множество содержит в себе пределы всех сходящихся подпоследовательностей <tex>\Rightarrow</tex> , то есть замкнуто. Но , как было установлено ранее, замкнутые множества измеримы по Лебегу.

1 ) <tex>|f|</tex> {{---}} измеримаизмерим <br>1.5 ) <tex>afkf</tex> {{---}} измеримо измерима (<tex>a k \in \mathbb{R}</tex>)<br>2 ) <tex>f^2</tex> {{---}} измеримоизмерим <br>4 3) <tex>fgf + g</tex> {{---}} измеримоизмерима <br>3 4) <tex>f + \cdot g</tex> {{---}} измеримо<br>|proof=Пункт 4 вытекает из прошлых: 1 и 2) доказываются одинаково. Рассмотрим, например, <tex>fg = \frac{E(f+g)^2 <a)</tex>. При <tex>a\geq 0</tex> оно может быть непустым. Но это равносильно <tex>E(- \sqrt{a} < f < \sqrt{a}) = E(-\sqrt{a} < f-g)^2}\cap E(f<\sqrt{4a})</tex>.

1 и 2 доказываются одинаковоЭто пересечение двух измеримых множеств Лебега <tex>\Rightarrow</tex> измеримо. Например,

<tex>E(f^2<a1.5)Если </tex>. При <tex>a\geq k = 0</tex> оно может быть непустым. Но это равносильно , то <tex>E(-\sqrt{a} < k < \sqrt{a}) f = E(-\sqrt{a} < x) \cap E(x<\sqrt{a})0 </tex>и она измерима как постоянная.

Это пересечение двух измеримых множеств Лебега Если <tex> k > 0 </tex>, то <tex> E(kf > a) = E(f > \frac{a}{k}) </tex>, если же <tex> k < 0 </tex>, то <tex>E(kf > a) = E(f < \Rightarrowfrac{a}{k}) </tex> . Так как <tex> f </tex> — измеримо, эти множества Лебега тоже измеримы.

Пункт 3 доказывать ) Доказывается чуть сложнее

Справа измеримое множество Это объединение пересечений измеримых множеств Лебега функций <tex>f</tex> и <tex>g</tex>. Операций счётно, операций — счётное число. Значит, <tex>f+g</tex> тоже измеримо. 4) Вытекает из прошлых: <tex>f \cdot g = \frac{(f+g)^2 - (f-g)^2}{4}</tex>