1632
правки
Изменения
м
Смысл теоремы Егорова в том, что сходимость почти всюду не очень сильно (с точностью до множества малой меры) отличается от равномерной сходимости.
rollbackEdits.php mass rollback
[[Сходимость по мере|<<]] [[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]
== Лемма ==
Докажем сначала некоторое полезное вспомогательное утверждение.
|statement=
Пусть функциональная последовательность <tex>f_n</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> и <tex>\mathcal {8}\delta > 0:</tex> <tex>\mu E(| f_n - f_m | \ge \delta)\xrightarrow[n,m \rightarrow \infty]{} 0</tex>. Тогда существует последовательность <tex>\exists n_k </tex>, такая что <tex>\{f_{n_k}(x)\} </tex> почти всюду сходится на <tex>E</tex>. <br>
(Другими словами, из сходимости по мере в себе функциональной последовательности следует сходимость почти всюду на подпоследовательности).
|proof=
Для начала, докажем от нечего делать обратное следующее утверждение:
<tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>. <tex>\mathcal{8} \delta > 0:</tex><br>
Рассмотрим <tex>A = E \setminus B</tex> и установим, что на этом множестве последовательность функций <tex>\{f_{n_k}\}</tex> сходится. Тогда, в силу нульмерности <tex>B</tex>, что она будет сходиться на <tex>E</tex> уже почти всюду.
<tex>A = \bar B = \bigcapbigcup\limits_{k=1}^\infty \bar B_k</tex>.
Так как <tex>x \in A </tex>, то есть <tex> k_x </tex>, такой, что <tex> x \in \bar B_{k_x}</tex>.
Рассмотрим теперь выражение <tex>f_{n_1}(x) + \sum\limits_{j = 1}^\infty(f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x))</tex>:
Для заданного <tex>x</tex> начиная с <tex>j = kk_x</tex>, <tex>|f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x) | </tex> начнут мажорироваться сходящимся рядом <tex>\varepsilon_k</tex>. Тогда этот ряд сходится. Значит, <tex>\forall x\leq in A</tex> функциональная последовательность сходится.
}}
Разделим <tex>[0; 1]</tex> на <tex>m</tex> равных частей. <tex>E = [0; 1]</tex>.
<tex>k = 0, 1 \ldots n m - 1 : f_{k, m}(x) = \begin{cases}0, & x \notin \left[\frac{k}m; \frac{k+1}m\right]\\1, & x \in \left[ \frac{k}m; \frac{k+1}m \right] \end{cases}</tex>
Растягиваем таблицу из этих функций в строчку:
{{Теорема
|author=Фердинанд Рисс
|statement=Пусть последовательность функций сходится по мере к функции <tex>f</tex> на <tex>E</tex>. Тогда из неё можно выделить подпоследовательность, которая сходится почти всюду на <tex>E</tex> к <tex> f </tex>.
|proof=
Выше мы показали, что если <tex>f_n \Rightarrow f</tex>, то <tex>|f_n - f_m| \Rightarrow 0</tex>, <tex>n,m \to \infty</tex>.
|statement=<tex>E \subset \mathbb{R}^n</tex>, <tex>f</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> по мере Лебега. Тогда <tex>\forall\varepsilon>0\ \exists \varphi</tex> {{---}} непрерывная на <tex>\mathbb{R}^n</tex>, <tex>\lambda_nE(f\ne\varphi)<\varepsilon</tex>
|proof=Это же очевидно!
<nowiki>[[Файл:dodonovface.jpg]]</nowiki>
Кому не очевидно, то можно почитать тут [http://www.mathnet.ru/links/f55866d9deee67d3fd18d61f906239b1/sm6497.pdf].
}}
Пусть <tex>\varepsilon_n \to 0</tex>. По теореме Лузина, <tex>\forall\varepsilon_n\ \exists\varphi_n</tex> {{---}} непрерывная:
<tex>\forall \delta>0: \lambda E(|\varphi_n - f| > \delta) < \lambda E(\varphi_n \ne f)</tex>.
<tex>\lambda E(|\varphi_n - f| > \delta) \leq \lambda E(\varphi_n \ne f) < \varepsilon_n \to 0</tex>. Значит, <tex>\lambda E(|\varphi_n-f| > \delta) \to 0</tex>. Значит, <tex>\varphi_n \Rightarrow f</tex>.
{{Теорема
|author=Егоров
|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>. Тогда, для любого <tex>\delta > 0</tex>.Тогда <tex>: \exists E'' \subset E</tex>, <tex>\mu E'' > \mu E - \delta</tex>, <tex>f_n \stackrel{E''}{\rightrightarrows} f</tex><br>Смысл теоремы Егорова в том, что сходимость почти всюду не очень сильно (с точностью до множества малой меры) отличается от равномерной сходимости.
|proof=
<tex>\bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p)</tex> {{---}} нульмерно.
<tex>E' = \bigcup\limits_{p=1}^\infty B_{m_p}(p)</tex>
По полуаддитивности меры, <tex>\mu E' \leq \sum\limits_{p=1}^\infty B_{m_p}(p) \leq \sum\limits_{p=1}^\infty \frac\delta{2p2^p} = \delta</tex>.
<tex>\mu E' < \delta</tex>, <tex>\bar E' = E \setminus E'</tex>, значит,
<tex>\mu \bar E' = \mu E - \mu E' = > \mu E - \delta</tex>.
Пусть <tex> E'' = \bar E' </tex>.
По двойственности, <tex>\bar E' = \overline{\bigcup\limits_{p=1}^\infty B_mB_{m_p}(p)} = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \overline{B_{m_p}(p)}</tex>.
<tex>B_{m_p}(p) = \bigcup\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p)</tex>. Значит, <tex>\bar B_{m_p}(p) = \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| < \frac1p)</tex>;
Окончательно получается, что <tex>\bar E' = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| < \frac1p)</tex>.
В силу того, что номер <tex>m_p</tex> выбирается независимо от <tex>x</tex>, а только по <tex>\delta</tex> и <tex>p</tex>, <tex>f_n \stackrel{\bar E''}{\rightrightarrows} f</tex>.
}}
[[Сходимость по мере|<<]] [[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
