Изменения

|definition='''МорфизмомСтроками Фибоначчи''' называется отображение (англ. ''Fibostring'') называются строки над алфавитом <tex>h\Sigma = \{x, y\}</tex>, которое каждой букве полученные последовательным применением морфизма <tex>\lambdah</tex> из алфавита :* <tex>Ah(x) = xy</tex> ставит в соответствие строку * <tex>h(\lambday)= x</tex>к строке <tex>s = y</tex> из множества , т. е. последовательность <tex>Af_n(x,y) = h^{+n(y)</tex>. }} ==Примеры==Первые несколько строк Фибоначчи:  * <tex>f_0 = y</tex>, а каждой строке * <tex>f_1 = x</tex> из * <tex>A^+f_2 = xy</tex>* <tex>f_3 = xyx</tex>* <tex>f_4 = xyxxy</tex> ставит в соответсвие строку из * <tex>A^+f_5 = xyxxyxyx</tex> по следующему правилу : ==Рекуррентное соотношение для строк Фибоначчи=={{Лемма|about=1|statement= Строки Фибоначчи удовлетворяют рекуррентному соотношению <tex>h(x) f_n = h(x[f_{n-1])h(x[}f_{n-2}, n \geqslant 2])</tex>.|proof=Докажем методом математической индукции по <tex>f_n</tex>. '''База:'''  : При <tex>n = 2</tex> выполняется <tex>f_2=xy=f_1f_0</tex>.h(x[ '''Переход:'''  :Пусть <tex>n])> 2</tex> , где и <tex>x[f_n = f_{n-1], x[}f_{n-2], \dots, x[n]}</tex> уже являются элементами . :<tex>Af_{n+1} = h(f_n) = h(f_{n-1}f_{n-2})</tex>.*:Так как отображение <tex>h : A \rightarrow A^+</tex>*{{---}} линейно (т.е. <tex>h (xy) = h(x)h(y)</tex>), то можно продолжить равенство:: A^+ \rightarrow A^<tex>f_{n+1} = h(f_{n-1})h(f_{n-2}) = f_{n}f_{n-1}</tex>.

Любой морфизм <tex>h</tex> Также можно применять к исходной строке <tex>x_0</tex> любое число раззаметить, тем самым генерируя последовательность итераций <tex>h^{*}(x_0)</tex> по следующему правилу: <br><tex>h^{*}(x_0) = \{h^0(x_0), h^1(x_0),...\}</tex>. <br>где <tex>h^0(x_0) = x_0</tex> и для любого целого <tex>k \geq 1</tex> <tex> h^k(x_0) = h(h^{k-1}(x_0))</tex>. <br>Например:<br><tex>A = \{a,b\}, h(a) = a, h(b) = ab</tex>. <br><tex>h^*(a) = \{a,a,..что длины строк Фибоначчи совпадают с числами Фибоначчи.\}</tex> <br><tex>h^*(b) = \{b, ab, a^2b,..., a^kb...\}</tex><br>

|definition=Определим '''Строками бесконечную обобщенную строку Фибоначчи''' являются строки, полученные последовательным применением морфизма <tex>h</tex> к строке <tex>x_0 = bf_{\infty}(x,y)</tex>''' (англ. ''generalized infinite Fibostring'') как строку, т.е. содержащую все строки <tex>h^*f_n(bx,y), n \geqslant 0</tex>в качестве префиксов.* }} {{Лемма|about = 2|statement= Для любого целого <tex>A = \{a,bk \}geqslant 0</tex>* выполняется <tex>hf_n = f_{n-k}(af_{k+1},f_k) = ab</tex> .* |proof= <tex>f_n(x,y) = h^n(by) = ah^{n-k}(h^k(y))</tex>

Первые несколько строк Фибоначчи: <br>* Продолжая выполнять это преобразование, докажем лемму для всех заданных <tex>f_0 = bi</tex>.* }}{{Утверждение|about=2|statement= В <tex>f_1 = af_n(x,y)</tex>* не может содержаться подстроки <tex>f_2 = abx^3</tex>* или <tex>f_3 = abay^2</tex>.* |proof = Докажем для <tex>f_4 = abaabx^3</tex>* методом математической индукции по <tex>f_5 = abaababaf_n</tex>.

'''База:''':<tex>f_0=y,f_1=Лемма=x</tex> не содержат <tex>x^3</tex>'''Переход:''':Пусть <tex>n \geqslant 2</tex>, тогда <tex>f_n =f_{n-1}f_{n-2}</tex>.:Так как <tex>f_{n-1}</tex> и <tex>f_{Лемма|statement= Строки Фибоначчи удовлетворяют рекуррентному соотношению n-2}</tex> не содержат <tex>x^3</tex>, то такая кратная строка может появиться только на границе строк <tex>f_n = f_{n-1}</tex> и <tex>f_{n-2}</tex>.:А <tex>f_{n-2}</tex> равно либо <tex>x</tex>, либо <tex>y</tex>, либо начинается с <tex>xy</tex> (при <tex>n \geq 2geqslant 4</tex>).:Таким образом, достаточно доказать, что последние два символа <tex>f_{n-1}</tex> не равны <tex>xx</tex>.:Это выполняется согласно лемме 4, по которой либо <tex>xy</tex>, либо <tex>xyx</tex>является бордером (в зависимости от четности длины строки).}}==Обратный морфизм=={{Определение|proofdefinition='''Обратный морфизм''' <tex>h^{-1}</tex> определяется как отображение:Доказательство нетрудно получить методом математической индукции* <tex>h^{-1}(xy) = x</tex>,* <tex>h^{-1}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} y, \overline{xx}\\ x, \text{otherwise}\\ \end{array}\right. </tex>Здесь <tex>\overline{xx}</tex> обозначает, что после этого вхождения <tex>x</tex> в строке опять следует <tex>x</tex>.

'''База:''' При }}Обратный морфизм позволяет из строки <tex>f_n</tex> получить строку <tex>f_{n = 2-1}</tex> равенство очевидно.

'''Переход:Пример''' Пусть :: <tex>f_n f_4= f_{n-1}f_{n-2}xyxxy</tex>. : Будем последовательно применять морфизм:: Префикс <tex>xy</tex> переходит в <tex>x</tex>, центральный <tex>x</tex> переходит в <tex>y</tex>, а суффикс <tex>xy</tex> также переходит в <tex>x</tex>. : Получили <tex>f_{n+1} xyx = f_3</tex>.== Связь с задачей о построении исключений= h(f_n) = h(f_{n-1}f_{Утверждение|about=3|statement= Для любого целого <tex>n-2})\geqslant 7</tex> <tex>f_n</tex>содержит куб некоторой подстроки. Т.к. h {{---}} линейна (т.е. |proof = Строка <tex>f_7 = xyxxyxyxxyxxyxyxxyxyx</tex> содержит подстроку <tex>h(xy) xyxxyxxyx = h(x)h(yxyx)^3 </tex> и является префиксом <tex>f_n</tex>), то можно продолжить равенство:для <tex>f_{n+1\geqslant 7</tex>.}} {{Теорема|about= h(f_{n-1|statement= Никакая строка <tex>f_n</tex> не содержит подстроки кратности <tex>4</tex>.}})h(f_{{n-2}) Утверждение|about= 4|statement= Бесконечная строка Фибоначчи <tex>f_{n\infty}f_</tex> является решением {{n-1}Acronym | задачи построения <tex>(2,4)</tex>-исключения| Требуется построить бесконечную строковую последовательность на алфавите размером 2, свободную от кратных подстрок порядка 4, но содержащую кратные подстроки порядков 2 и 3.}}|proof = Это следует из утверждения и теоремы выше.

Также нетрудно заметить, что длины строк Фибоначчи совпадают с числами Фибоначчи== См.также ==* [[Слово Туэ-Морса]]

== Литература Источники информации==* Билл Смит. Методы «Методы и алгоритмы вычислений на строках. Пер. с англ. — М.:ООО"И.Д.Вильямс", строках» {{---}} издательство «Вильямс» {{---}} 2006. — 496 с.: ил. — Парал. тит. англ. ISBN 5{{-8459-1081-1 (рус}} стр.)100-107