Изменения

'''ВНИМАНИЕ!!!''' Данная статья написана исключительно по== Нахождение любого пути между точками с препятствиями =={|align="right"|-пацански valign="top"|[[Файл:trap.png|200px|thumb|right|Путь с препятствиями через трапецоидную карту]]|[[Файл:notShort.png|300px|thumb|right|Такой путь не самый короткий]]|}Для начала рассмотрим движение материальной точки. Случай, когда размером и обладает повышенной чёткостьюформой движимого объекта пренебречь нельзя, будет рассмотрен [[Visibility graph и motion planning#Motion planning|позднее]].

Эту задачу можно решить с помощью [http://habrahabr[Трапецоидная карта | трапецоидной карты]].ru/post/199256/ Здесь написано примерно всё по теме По ней строится граф, ребра которого соединяют центры трапедоидов, а также начальную и достаточно понятно]конечную вершины с серединами вертикальных сторон трапецоидов. В таком графе ищется путь между начальной и конечной вершинами.

== Visibility graph ==[[Файл:trapЕсли точки лежат внутри одного трапецоида {{---}} ответ найден.png|200px|thumb|left|Путь Иначе идём из стартовой точки в центр её трапецоида, далее по построенным рёбрам ищем трапецоид содержащий финальную точку. Для этого можно использовать поиск в ширину или другой алгоритм нахождения кратчайшего пути в графе. В конечном итоге, соединяем середину последнего трапецоида с препятствиями через трапецоидную карту]][[Файл:notShortконечной вершиной.png|300px|thumb|right|Такой путь не самый короткий]]

В общемДанный алгоритм работает за <tex> O(n \log n) </tex> и за линейное количество памяти и хорошо подходит для нахождения какого-нибудь пути между парой данных вершин. Но если нужно найти кратчайший путь, этот алгоритм не подходит, хоть и работает быстро. Однако, когда мы ищем путь от точки решения нахождения кратчайшего пути в лучшем случае работают за <tex> S O(n^2) </tex> до времени и памяти (здесь и далее <tex> T n </tex> {{---}} количество всех вершин). == Нахождение кратчайшего пути между точками с препятствиями ===== Visibility graph ===Рассмотрим точное решение нахождения кратчайшего пути на плоскости между двумя точками с полигональными препятствиями (надо уточнитьс помощью построения графа видимости. После его построения, что двигаем мы точкукак и в случае с трапецоидной картой, а не какой-то полигон)кратчайший путь ищется любым стандартным алгоритмом поиска (например, можно построить алгоритмом [[Трапецоидная карта Алгоритм Дейкстры| трапецоидную картуДейкстры]], соединить ребрами середины вертикальных сторон с центрами трапецоидов и в этом графе или [[Алгоритм Дейкстры A*| ДейкстройA*]] найти путь от <tex> S </tex> до <tex> T </tex>). Но этот путь не будет кратчайшим(кэп) Для простоты рассуждений начальную и конечную вершины будем считать вершинами полигонов.

Любой кратчайший путь от <tex> S </tex> до <tex> T </tex> между двумя вершинами с полигональными препятствиями представляет собой ломаную, вершины которой {{---}} вершины полигонов.

[[Файл:short.png|150px|thumb|right|Ну в общем тут все очевидноShort cut]]Пусть кратчайший путь проходит(в смысле вершины) через какую{{---то другую точку}} не ломаная. В таком случае, на пути существует такая точка <tex> p </tex>, которая не принадлежит ни одному прямому отрезку. Рассмотрим Это означает, что существует <tex>\epsilon</tex>-окрестность этой точки<tex> p </tex>, в которую не попадает ни одно препятствие (случай, когда точка попала на ребро рассматривается аналогично). По В таком случае, подпуть, который находится внутри <tex>\epsilon</tex>-окрестности, по неравенству треугольника мы сможем немножкоможет быть сокращён по хорде, да срезатьсоединяющий точки пересечения границы <tex>\epsilon</tex>-окрестности с путем. Значит этот Раз часть пути может быть уменьшена, значит и весь путь может быть уменьшен, а значит исходное предположение некорректно.}}{{Определение|definition =Говорят, что вершина <tex> u </tex> ''видна'' (англ. mutually visible) из <tex> v </tex>, если отрезок <tex> uv </tex> не кратчайшийпересекает ни одного препятствия.}}{{Определение|definition =''Граф видимости'' (англ. Противоречиеvisibility graph) {{---}} граф, значит лемма доказана вершины которого {{---}} вершины полигонов. Между вершинами <tex> u </tex> и все офигенно<tex> v </tex> существует ребро, если из <tex> u </tex> видна <tex> v </tex>.

По этой лемме запилим visibility graphВ худшем случае в таком графе может быть <tex> O(n^2) </tex> ребер. Однако по некоторым ребрам кратчайший путь точно не пройдет, и такие ребра из графа можно удалить. Его вершины  {{---}} Лемма|about=О неиспользуемых вершинах|statement=[[Файл:edgeToDelete.png|150px|thumb|right|Удаляем <tex> BD </tex>]]# Если существуют вершины полигонов. Между вершинами <tex> u A, B, C </tex> одного препятствия и вершина <tex> v D </tex> существует ребротакая, если из что поворот <tex> u DBA </tex> не совпадает с поворотом <itex> видна DBC </itex>(mutually visible) , то ребро <tex> v DB </tex> не принадлежит кратчайшему пути и его можно удалить из графа. (ребра полигонов тоже входят в этот графСм. поясняющую картинку справа)# Все внутренние вершины, кроме вырожденного случая, (начальная/конечная точка лежит внутри выпуклой оболочки фигуры)можно игнорировать.|proof=[[Файл:edgeNotToDelete. Теперьpng|200px|thumb|right|Не удаляем <tex> BS </tex>]]# Путь проходящий через ребро <tex> BD </tex> будет длиннее, если мы добавим к множеству вершин чем через соседей точки <tex> S B </tex> и , так как по неравенству треугольника <tex> T AB + BD > AD </tex> (и ребра в видимые вершины)# Если случай не вырожденный, у нас получится графзначит заход внутрь фигуры только увеличит суммарный путь, в котором опять же Дейкстрой находим кратчайший путьтак как по неравенству треугольника расстояние между соседними выпуклыми вершинами всегда меньше суммы расстояний с учётом внутренней. }} По лемме доказанным леммам любое ребро кратчайшего пути {{---}} ребро visibility графасодержится в графе. Таким образом, так что мы нашли то, что нужнодля нахождения кратчайшего пути осталось найти кратчайший путь в этом графе от начальной до конечной вершины.

Если делать наивно, т. е. для Для каждой пары вершин проверять проверяем, можно ли добавить ли такое ребро(между ними, то есть нет ли пересечений с полигонами. <tex> O(n^2) </tex> пар вершин и <tex> O(n)</tex> ребер, будет то есть <tex> O(n^3) </tex>.[[Файл:search.png|400px|thumb|right|Дерево поиска пересекаемых ребер]]

{||[[Файл:zamZam.png|400px300px|thumb|left|Заметание плоскости вращающимся лучом]][[Файл:zamrefr1.png|400px|thumb|right|Обновление статуса заметающей прямой]][[Файл:zamrefr2.png|400px|thumb|right|Обновление статуса заметающей прямой]][[Файл:zamrefr3.png|400px|thumb|right|Обновление статуса заметающей прямой]]Однако можно это сделать за <tex> O(n ^ 2 \log n) </tex>. Для Идея алгоритма проста: для каждой вершины найдём все найдем видимые из неё нее вершины при помощи метода плоского заметания. Нам нужно решить следующую задачу: на плоскости дано множество отрезков (рёбер препятствий) и точка <tex> p </tex>. Найти все концы отрезков, видимые из точки <tex> p </tex>. Будем заметать плоскость вращающимся лучом с началом в точке <tex> p </tex>. Статусом заметающей прямой будет отрезки, которые её пересекают, упорядоченные по возрастанию расстояния от точки <tex> p </tex> до точки пересечения. Точками событий будут концы отрезков. Итак, первым делом вершины <tex> w \in W </tex> сортируются по углу между лучом <tex> vw </tex> и вертикальной полуосью, проходящей через <tex> v </tex>. Затем происходит инициализация множества видимых вершин (по умолчанию, такое множество пустое). Далее начинается заметание плоскости. В порядке сортировки вершин для каждой из них выполняется проверка: видна ли вершина <tex> w </tex> из вершины <tex> v </tex>. Поскольку такая проверка означает наличие пересечений, которые хранятся в сбалансированном дереве, она может быть выполнена Если научиться делать это за <tex> O(n \log n) </tex>. Если вершина видима, необходимо добавить её в список видимых вершин. И, наконец, вне зависимости от видимости вершины, необходимо изменить статус заметающей прямой. Для этогозадача решена, для текущей вершины так как всего точек <tex> w n </tex> необходимо удалить из списка текущих пересечений все рёбра (отрезки). Для каждой вершины будем рассматривать только правую половину плоскости, так как ребра, которые заканчиваются должны идти в этой вершине (лежат слева от прямой <tex> vw </tex>) и добавить все рёбра (отрезки)левую половину, будут исходить из вершин, которые в ней начинаются (лежат для которых текущая вершина будет справа от прямой <tex> vw </tex>).

Вершин у нас Переформулируем задачу. Дано: точка <tex> O(n) v </tex>и множество отрезков {{---}} ребер препятствий. Найти: множество концов отрезков, сортим за <tex> O(n \log n) видимых из </tex> плюс запросы в дереве за <tex> O(n) * O(\log n) v </tex>. Итого что хотели.

==== Overmars and Welzl’s Algorithm Для решения этой задачи будем использовать заметающий луч с началом в точке <tex> O(n ^ 2) v </tex> ====[http:. Его статусом будут отрезки, которые его пересекают, упорядоченные по возрастанию расстояния от точки <tex> v <//igitur-archive.library.uutex> до точки пересечения.nl/math/2006-1214-201604/overmars_88_new_methodsТочками событий будут концы отрезков.pdf visibility graph при помощи rotation tree]

Ковалев сказал что это можно рассказывать Пустим луч из рассматриваемой вершины <tex> v </tex> вертикально вверх и добавим в статус все отрезки, которые он пересекает, по желаниюувеличению расстояния до них. Теперь будем рассматривать точки <tex> w \in V </tex> в порядке сортировки по углу между <tex> v </tex> и вертикальной полуосью <tex> l </tex>. При таком обходе для проверки видимости вершины достаточно проверить пересечение с ближайшим к <tex> v </tex> отрезком, то есть первым в статусе(так как отрезки отсортированы по расстоянию до них). Действительно, если вершина <tex> w </tex> не видна, то отрезок <tex> vw </tex> пересекает несколько отрезков, лежащих перед <tex> w </tex>, а значит и ближайший. В противном случае все пересекаемые лучом отрезки лежат за вершиной <tex> w </tex> и пересечения отрезка <tex> vw </tex> с ближайшим отрезком не будет. Вне зависимости от видимости вершины, необходимо изменить статус заметающего луча. Для этого необходимо удалить из статуса все отрезки, которые заканчиваются вершине <tex> w </tex> (лежат слева от прямой <tex> vw </tex>) и добавить все отрезки, которые в ней начинаются (лежат справа от прямой <tex> vw </tex>).

Каким-то магическим образом===== Псевдокод ===== graph buildVisibilityGraph(Set<Segment> segments) vertices = getVertices(segments) <tex> \cup\ \{s,\ t\} </tex> graph = visibilityGraph(vertices) '''for''' Vertex <tex>v</tex> '''in''' vertices '''for''' Vertex <tex>w</tex> '''in''' getVisibleVertices(<tex>v</tex>, segments) visibilityGraph.addEdge(<tex>v</tex>, можно избавиться <tex>w</tex>) '''return''' visibilityGraphЗдесь функция getVisibleVertices(<tex> v </tex>) возвращает все видимые из <tex> v </tex> вершины и от логарифма в асимптотикевыглядит так: Set<Vertex> getVisibleVertices(Vertex <tex>v</tex>, Set<Segment> segments) Set<Vertex> answer '''for''' Segment <tex>s</tex> '''in''' segments '''if''' intersect(<tex> s </tex>, <tex> l </tex>) status.add(<tex>s</tex>) '''for''' Point <tex>w</tex> '''in''' segments '''if''' <tex>v.x \leqslant w.x</tex> currentVertices.add(<tex>w</tex>) sort(currentVertices) by angle '''for''' Point <tex>w</tex> '''in''' currentVertices '''if''' '''not''' intersect(<tex>vw</tex>, status.closest) answer. Это делается с помощью [http:add(<tex>w</tex>) '''for''' Segment <tex>s</tex> ending in <tex>w</bittex> status.lydelete(<tex>s</1eEqTzk rotation tree]tex>) '''for''' Segment <tex>s</tex> beginning in <tex>w</tex> status. Про него рассказывал Антон Ковadd(<tex>s</tex>) '''return''' answerВ качестве статуса нужно использовать структуру данных, позволяющую добавлять и удалять из нее отрезки за <tex> O(\log n) </tex> и извлекать минимум за <tex> O(1) </tex> или <tex> O(\log n) </tex>.В этом случае достигается асимптотика <tex> O(n^2 \log n) </tex>, но так как-для каждой из <tex> n </tex> точек выполняется сортировка за <tex> O(n \log n) </tex>, обновление статуса (суммарно <tex> O(n \log n) </tex>, так как каждый отрезок добавляется и удаляется из статуса не более одного раза) и запросы ближайшего отрезка (<tex> O(\log n) </tex> или <tex> O(1) </tex> на точку, то мутно есть <tex> O(n \log n) </tex> или <tex> O(n) </tex>). |[[Файл:Zamrefr1.png|250px|thumb|right|Обновление статуса заметающего луча: добавляем ребра <tex> w_1 w_5 </tex> и не очень понятно<tex> w_1 w_2 </tex> в статус]][[Файл:Zamrefr2. Суть такова, что мы обходим вершины png|250px|thumb|right|Добавляем ребра <tex> w_3 w_2 </tex> и <tex> w_3 w_4 </tex> в таком хитром порядке, что почти не просматриваем лишнее статус]][[Файл:Zamrefr3.png|250px|thumb|right|Удаляем ребра <tex> w_3 w_2 </tex> и получаем асимптотику {{---<tex> w_1 w_2 </tex> из статуса]]|}} квадрат.

Короче тут мы делаем то же самое== Motion planning ==[[Файл:mink.png|200px|thumb|left|Изменяем препятствия]][[Файл:mink2.png|400px|thumb|right|Ищем путь для точки]]Рассмотрим задачу нахождения кратчайшего пути, что и н2логнкогда движимый объект {{---}} это выпуклый полигон. Например, только сортим не для каждой вершины отдельноробот, а рассматриваем все одновременнокоторого надо доставить из начальной в конечную точку.

"The idea is simple: for each vertex, a scanline is kept which runs from <tex> -\pi / 2 </tex> to <tex> \pi / 2 </tex> hopping from vertex to vertex in its path. During the main loop, it appears that all of the scanlines are proceeding simultaneously. In factЕсли полигон вращать нельзя, there are exact rules about determining the next vertex to process, and some vertices may finish their scan before others. To understand the rules about finding the next vertex, the rotation tree must be understood. A rotation tree is a rooted planar tree where each vertex is a node and points to its parent. There are two special nodesзадачу сводится к движению точки так: <tex> +\infty </tex> and <tex> -\infty </tex>. Initiallyвыбирается точка на полигоне, all vertices point to <tex> -\infty </tex> as their parent and <tex> -\infty </tex> points to <tex> +\infty </tex>которая принимается за начало координат. Also stored is the rightmost child В такой системе координат для каждого препятствия считается [[Сумма Минковского (if a node is a parent)определение, and its right and left siblings (if they existвычисление)|сумма Минковского]] с полигоном. The ordering of children is by slope: the one with the smallest slope is the leftmost. The loop that examines all pairs simply takes the rightmost leftmost leaf as the next segment to process and then reattaches it to the tree (while maintaining the property of being a rotation tree). It can reattach to the left of its parent or to the tangent of the chain above it. When a vertex attaches to <tex> +\infty </tex>Получаются бОльшие препятствия, но теперь достаточно двигать выбранную точку, it is finished. The loop continues when all points have attached to <tex> +\infty </tex>"что было описано выше.

/*мне лень это переводитьЕсли полигон можно вращать, и так понятно/непонятно*/задача нахождения ''кратчайшего'' пути становится достаточно ресурсоёмка, поэтому обычно рассматривают задачу нахождения какого-нибудь пути между конечными точками.

== Motion planning ==Первый шаг решения этой задачи совпадает с предыдущим случаем: выберем точку и построим [[Файл:mink.pngСумма Минковского (определение, вычисление)|200px|thumb|left|Раздуваем препятствиясумму Минковского]]препятствий с полигоном. Рассмотрим малый угол <tex> \epsilon </tex>. Представим, что поворот полигона на этот угол {{---}} это движение вверх-вниз между слоями, на каждом из которых посчитана сумма Минковского с полигоном, повернутым на этот угол. На каждом слое построим трапецоидную карту и граф, как описано в [[Файл:mink2.png|400px|thumbVisibility graph и motion planning#Нахождение пути между точками с препятствиями|right|Логично женачале]]В общем тут все очевидно. Тут мы просто двигаем не точку, а произвольный выпуклый полигон. Если мы его не можем вращать, просто "обводим" препятствия нашим полигоном (запиливаем [[Сумма Минковского Пересечение многоугольников (определение, вычислениеPSLG overlaying)|сумму Минковскогопересечь]] препятствий соседние слои и полигонадобавить между их графами ребра, получится один большой граф, сдвинутого в начало координат какой-нибудь точкой) и получаем другие препятствия, но зато теперь мы двигаем точку. А это мы уже научились делать вышекотором ищется кратчайший путь.

Если же этот полигон можно вращатьПри таком подходе может возникнуть ошибка при пересечении слоев: на каждом слое состояния будут допустимые, то делаем примерно то же самоеа осуществить поворот физически будет невозможно. Обычно, эту проблему решают двумя способами: измельчением угла поворота и изначальным сглаживанием углов полигона. Первый способ повышает не только как-то по-хитромуточность решения, но и вычислительную сложность задачи. Нам про этоВторой подход практически исключает возможность нахождения пути, кажетсякогда его нет, не рассказывали(или рассказывали так же:))но повышает вероятность "ненахождения" пути, когда он есть.

== Источники информации ==* Mark de Berg, Otfried Cheong, Marc van Kreveld, Mark Overmars (2008), Computational Geometry: Algorithms and Applications (3rd {{---}} Third edition){{---}} Springer, Springer2008. {{---}} Chapter 15. {{---Verlag, }} ISBN 978-3-540-77973-5 Chapter 15 page 324-331* [http://www.academia.edu/2845047/3D_Visibility_Graph not_badAcademia.jpg статья про visibility graphsedu]{{---}} 3D Visibility Graph* [http://habrahabr.ru/post/199256/ Хабрахабр] {{---}} Motion planning: граф видимости, дорожные карты* [http://igitur-archive.library.uu.nl/math/2006-1214-201604/overmars_88_new_methods.pdf igitur-archive.library.uu.nl] {{---}} Visibility graph при помощи rotation tree за <tex>O(n^2)</tex>.