Изменения

== Visibility graph Нахождение любого пути между точками с препятствиями ==

Рассмотрим задачу нахождения кратчайшего пути от точки <tex> S </tex> до <tex> T </tex> с препятствиями. Для начала рассмотрим движение материальной точки. Случай, когда размером и формой движимого объекта пренебречь нельзя, случай произвольного полигона будет рассмотрен [[Visibility graph и motion planning#Motion planning|позднее]]. Для нахождения можно построить [[Трапецоидная карта | трапецоидную карту]], соединить ребрами середины вертикальных сторон с центрами трапецоидов и в этом графе любым алгоритмом поиска кратчайших путей (например, алгоритмом [[Алгоритм Дейкстры|Дейкстры]] или [[Алгоритм A*|A*]]) найти путь от <tex> S </tex> до <tex> T </tex>. Но этот путь, очевидно, не будет кратчайшим.

Однако этот Эту задачу можно решить с помощью [[Трапецоидная карта | трапецоидной карты]]. По ней строится граф, ребра которого соединяют центры трапедоидов, а также начальную и конечную вершины с серединами вертикальных сторон трапецоидов. В таком графе ищется путь между начальной и конечной вершинами. Если точки лежат внутри одного трапецоида {{---}} ответ найден. Иначе идём из стартовой точки в центр её трапецоида, далее по построенным рёбрам ищем трапецоид содержащий финальную точку. Для этого можно использовать поиск в ширину или другой алгоритм обширно используетсянахождения кратчайшего пути в графе. В конечном итоге, так как трапецоидная карта дает хорошее приближение, строится соединяем середину последнего трапецоида с конечной вершиной. Данный алгоритм работает за <tex> O(n \log n) </tex> и занимает <tex> O(n) </tex> за линейное количество памятии хорошо подходит для нахождения какого-нибудь пути между парой данных вершин. Но если нужно найти кратчайший путь, этот алгоритм не подходит, хоть и работает быстро. Однако, в то время как точные решения нахождения кратчайшего пути в лучшем случае работают за <tex> O(n^2) </tex> времени и требуют <tex> O(n^2) </tex> памяти (здесь и далее <tex> n </tex> {{---}} количество всех вершин). == Нахождение кратчайшего пути между точками с препятствиями ===== Visibility graph ===Рассмотрим точное решение нахождения кратчайшего пути на плоскости между двумя точками с полигональными препятствиями с помощью построения графа видимости. После его построения, как и в случае с трапецоидной картой, кратчайший путь ищется любым стандартным алгоритмом поиска (например, алгоритмом [[Алгоритм Дейкстры|Дейкстры]] или [[Алгоритм A*|A*]]). Для простоты рассуждений начальную и конечную вершины будем считать вершинами полигонов.

Любой кратчайший путь от <tex> S </tex> до <tex> T </tex> между двумя вершинами с полигональными препятствиями представляет собой ломаную, вершины которой {{---}} вершины полигонов.

Пусть кратчайший путь {{---}} не ломаная. Тогда рассмотрим участок В таком случае, на путисуществует такая точка <tex> p </tex>, где он которая не является прямымпринадлежит ни одному прямому отрезку. По Это означает, что существует <tex>\epsilon</tex>-окрестность точки <tex> p </tex>, в которую не попадает ни одно препятствие (случай, когда точка попала на ребро рассматривается аналогично). В таком случае, подпуть, который находится внутри <tex>\epsilon</tex>-окрестности, по неравенству треугольника в может быть сокращён по хорде, соединяющий точки пересечения границы <tex>\epsilon</tex>-окрестности этого участка мы сможем немного срезатьс путем. Значит этот Раз часть пути может быть уменьшена, значит и весь путь может быть уменьшен, а значит исходное предположение некорректно.}}{{Определение|definition =Говорят, что вершина <tex> u </tex> ''видна'' (англ. mutually visible) из <tex> v </tex>, если отрезок <tex> uv </tex> не кратчайшийпересекает ни одного препятствия.}}{{Определение|definition =''Граф видимости'' (англ. visibility graph) {{---}} граф, вершины которого {{---}} вершины полигонов. ПротиворечиеМежду вершинами <tex> u </tex> и <tex> v </tex> существует ребро, значит лемма доказанаесли из <tex> u </tex> видна <tex> v </tex>.

Чтобы уменьшить объем графаВ худшем случае в таком графе может быть <tex> O(n^2) </tex> ребер. Однако по некоторым ребрам кратчайший путь точно не пройдет, и такие ребра из него графа можно удалить ребра, по которым точно не пройдет путь.

# Если существуют вершины <tex> A, B, C </tex> одного препятствия и вершина <tex> D </tex> такая, что поворот <tex> DBA </tex> не совпадает с поворотом <tex> DBC </tex>, то ребро <tex> DB </tex> не принадлежит кратчайшему пути и его можно удалитьиз графа. (См. поясняющую картинку справа)# Все внутренние вершины, кроме вырожденного случая, (начальная/конечная точка лежит внутри выпуклой оболочки фигуры) можно игнорировать.

# Путь проходящий через ребро <tex> BD </tex> будет длиннее, чем через соседей точки <tex> B </tex>, так как по неравенству треугольника <tex> AB + BD < > AD </tex># Если случай не вырожденный, значит заход внутрь фигуры только увеличит суммарный путь, так как по неравенству треугольника расстояние между соседними выпуклыми вершинами всегда меньше суммы расстояний с учётом внутренней.

Если делать наивно, т. е. для Для каждой пары вершин проверять проверяем, можно ли добавить ли такое ребро(между ними, то есть нет ли пересечений с полигонами. <tex> O(n^2) </tex> пар вершин и <tex> O(n)</tex> ребер, будет то есть <tex> O(n^3) </tex>.

[[Файл:zamrefr1.png|300px|thumb|right|Обновление статуса заметающей прямой]][[Файл:zamrefr2.png|300px|thumb|right|Обновление статуса заметающей прямой]][[Файл:zamrefr3.png|300px|thumb|right|Обновление статуса заметающей прямой]]Однако можно это сделать за <tex> O(n ^ 2 \log n) </tex>. Для Идея алгоритма проста: для каждой вершины найдём все найдем видимые из неё нее вершины при помощи метода плоского заметания. Нам нужно решить следующую задачу: на плоскости дано множество отрезков (рёбер препятствий) и точка Если научиться делать это за <tex> v </tex>. Найти все концы отрезков, видимые из точки <tex> v </tex>. Будем заметать плоскость вращающимся лучом с началом в точке <tex> v O(n \log n) </tex>. Статусом заметающего луча будут отрезки, которые его пересекаютзадача решена, упорядоченные по возрастанию расстояния от точки так как всего точек <tex> v n </tex> до точки пересечения. Точками событий будут концы отрезков. Итак, первым делом  Для каждой вершины <tex> w \in V </tex> сортируются по углу между лучом <tex> vw </tex> и вертикальной полуосью, проходящей через <tex> v </tex>(достаточно будем рассматривать только точкиправую половину плоскости, так как ребра, которые лежат правее <tex> v </tex>должны идти в левую половину, так как все точки левее мы уже рассмотрели). Затем происходит инициализация множества видимых будут исходить из вершин (по умолчанию такое множество пустое), для которых текущая вершина будет справа. Далее начинается заметание плоскости Переформулируем задачу. В порядке сортировки вершин для каждой из них выполняется проверкаДано: видна ли вершина <tex> w </tex> из вершины точка <tex> v </tex>и множество отрезков {{---}} ребер препятствий. Для этого нам достаточно проверить только пересечение заметающего луча с ближайшим отрезком в статусе, т. е. эта проверка выполняется за <tex> O(1) </tex>. Если вершина видимаНайти: множество концов отрезков, необходимо добавить её в список видимых вершин. И, наконец, вне зависимости от видимости вершины, необходимо изменить статус заметающего луча. Для этого для текущей вершины <tex> w </tex> необходимо удалить из списка текущих пересечений все рёбра (отрезки), которые заканчиваются в этой вершине (лежат слева от прямой <tex> vw v </tex>) и добавить все рёбра (отрезки), которые в ней начинаются (лежат справа от прямой <tex> vw </tex>).

===== Псевдокод =====Для решения этой задачи будем использовать заметающий луч с началом в точке <pre>void getVisibleVertexes(vertex v) vertexes.add(for w in V if w.x tex>= v.x) status.add(for e in E if e isHigher than v and intersects vertical line from v to infinity) sort status by distance sort vertexes by angle for w in vertexes add visiblePair (v, w) if intersection(vw, status.closest) == null delete from status all edges ending in w add in status all edges beginning in w</pre>Вершин у нас <tex> O(n) </tex>, сортируем за <tex> O(n \log n) </tex> плюс обновление статуса. Его статусом будут отрезки, которое суммарно выполняется за <tex> O(n \log n) </tex>которые его пересекают, так как у нас упорядоченные по возрастанию расстояния от точки <tex> O(n) </tex> ребер. Итого <tex> O(n^2 \log n) v </tex>до точки пересечения. Что и требовалось доказатьТочками событий будут концы отрезков.

==== Overmars and Welzl’s Algorithm Пустим луч из рассматриваемой вершины <tex> Ov </tex> вертикально вверх и добавим в статус все отрезки, которые он пересекает, по увеличению расстояния до них. Теперь будем рассматривать точки <tex> w \in V </tex> в порядке сортировки по углу между <tex> v </tex> и вертикальной полуосью <tex> l </tex>. При таком обходе для проверки видимости вершины достаточно проверить пересечение с ближайшим к <tex> v </tex> отрезком, то есть первым в статусе(n ^ 2так как отрезки отсортированы по расстоянию до них) . Действительно, если вершина <tex> w </tex> ====[http:не видна, то отрезок <tex> vw </tex> пересекает несколько отрезков, лежащих перед <tex> w </igitur-archivetex>, а значит и ближайший.libraryВ противном случае все пересекаемые лучом отрезки лежат за вершиной <tex> w </tex> и пересечения отрезка <tex> vw </tex> с ближайшим отрезком не будет.uuВне зависимости от видимости вершины, необходимо изменить статус заметающего луча.nlДля этого необходимо удалить из статуса все отрезки, которые заканчиваются вершине <tex> w </mathtex> (лежат слева от прямой <tex> vw </2006-1214-201604tex>) и добавить все отрезки, которые в ней начинаются (лежат справа от прямой <tex> vw </overmars_88_new_methodstex>).pdf visibility graph при помощи rotation tree]

C помощью [http===== Псевдокод ===== graph buildVisibilityGraph(Set<Segment> segments) vertices = getVertices(segments) <tex> \cup\ \{s,\ t\} </tex> graph = visibilityGraph(vertices) '''for''' Vertex <tex>v</tex> '''in''' vertices '''for''' Vertex <tex>w</tex> '''in''' getVisibleVertices(<tex>v</tex>, segments) visibilityGraph.addEdge(<tex>v</tex>, <tex>w</tex>) '''return''' visibilityGraphЗдесь функция getVisibleVertices(<tex> v </tex>) возвращает все видимые из <tex> v </tex> вершины и выглядит так: Set<Vertex> getVisibleVertices(Vertex <tex>v</tex>, Set<Segment> segments) Set<Vertex> answer '''for''' Segment <tex>s</tex> '''in''' segments '''if''' intersect(<tex> s </tex>, <tex> l </tex>) status.add(<tex>s</tex>) '''for''' Point <tex>w</tex> '''in''' segments '''if''' <tex>v.x \leqslant w.x</bittex> currentVertices.lyadd(<tex>w</tex>) sort(currentVertices) by angle '''for''' Point <tex>w</1eEqTzk rotation tree] можно достичь асимптотики tex> '''in''' currentVertices '''if''' '''not''' intersect(<tex>vw</tex>, status.closest) answer.add(<tex>w</tex>) '''for''' Segment <tex>s</tex> ending in <tex>w</tex> status.delete(<tex>s</tex>) '''for''' Segment <tex>s</tex> beginning in <tex>w</tex> status.add(<tex>s</tex>) '''return''' answerВ качестве статуса нужно использовать структуру данных, позволяющую добавлять и удалять из нее отрезки за <tex> O(\log n) </tex> и извлекать минимум за <tex> O(1) </tex> или <tex> O(\log n) </tex>. В этом случае достигается асимптотика <tex> O(n^2\log n) </tex>, так как для каждой из <tex> n </tex> точек выполняется сортировка за <tex> O(n \log n) </tex>, обновление статуса (суммарно <tex> O(n \log n) </tex>, так как каждый отрезок добавляется и удаляется из статуса не более одного раза) и запросы ближайшего отрезка (<tex> O(\log n) </tex> или <tex> O(1) </tex> на точку, то есть <tex> O(n \log n) </tex> или <tex> O(n) </tex>). |[[Файл:Zamrefr1.png|250px|thumb|right|Обновление статуса заметающего луча: добавляем ребра <tex> w_1 w_5 </tex> и <tex> w_1 w_2 </tex> в статус]][[Файл:Zamrefr2.png|250px|thumb|right|Добавляем ребра <tex> w_3 w_2 </tex> и <tex> w_3 w_4 </tex> в статус]][[Файл:Zamrefr3.png|250px|thumb|right|Удаляем ребра <tex> w_3 w_2 </tex> и <tex> w_1 w_2 </tex> из статуса]]|}

[[Файл:mink.png|200px|thumb|left|Раздуваем Изменяем препятствия]]

Тут мы двигаем не точкуРассмотрим задачу нахождения кратчайшего пути, а произвольный когда движимый объект {{---}} это выпуклый полигон. Например, робот, которого надо доставить из начальной в конечную точку. Если мы его не можем полигон вращатьнельзя, просто считаем configuration spaceзадачу сводится к движению точки так: выбирается точка на полигоне, ткоторая принимается за начало координат. е. "обводим" В такой системе координат для каждого препятствия нашим полигоном (делаем считается [[Сумма Минковского (определение, вычисление)|сумму сумма Минковского]] препятствий и полигона, сдвинутого в начало координат какой-нибудь точкой) и получаем другие с полигоном. Получаются бОльшие препятствия, но зато теперь мы двигаем достаточно двигать выбранную точку, что было описано выше. А это мы уже научились делать выше Если полигон можно вращать, задача нахождения ''кратчайшего'' пути становится достаточно ресурсоёмка, поэтому обычно рассматривают задачу нахождения какого-нибудь пути между конечными точками.

Теперь рассмотрим случай, когда мы можем вращать полигон. Для начала Первый шаг решения этой задачи совпадает с предыдущим случаем: выберем точку и построим [[Трапецоидная картаСумма Минковского (определение, вычисление)|трапецоидную картусумму Минковского]], как будто мы не можем вращать полигонпрепятствий с полигоном. Теперь будем вращать полигон на Рассмотрим малый угол, пока он не сделает полный оборот вокруг своей оси, и для каждого угла сделаем трапецоидную карту<tex> \epsilon </tex>. Теперь разместим(мысленно) все карты друг над другом. Таким образом получитсяПредставим, что поворот полигона на малый этот угол {{---}} это движение вверх/-вниз между слоями. Осталось [[Пересечение многоугольников (PSLG overlaying)|попересекать]] соседние слои и добавить между ними ребра (помним что первый и последний слои одинаковы) и уже в этом графе найти путь, на каждом из которых посчитана сумма Минковского с полигоном, повернутым на этот угол.

При такой реализации в некоторых случаях у нас может возникнуть ошибка в поворотеНа каждом слое построим трапецоидную карту и граф, так как описано в одной плоскости мы все можем делать точно: положения на соседних слоях могут допускаться, а повернуть мы не сможем[[Visibility graph и motion planning#Нахождение пути между точками с препятствиями|начале]]. Это лечится в основном двумя способами: измельчением угла поворота Если [[Пересечение многоугольников (PSLG overlaying)|пересечь]] соседние слои и изначальным сглаживанием углов полигона {{---}} повращать полигон на <tex> +\epsilon </tex> и <tex> -\epsilon </tex> и объединить с исходнымдобавить между их графами ребра, получится один большой граф, получив новый полигонв котором ищется кратчайший путь.

Так как эта задача достаточно ресурсоемкаПри таком подходе может возникнуть ошибка при пересечении слоев: на каждом слое состояния будут допустимые, мы рассматриваем а осуществить поворот физически будет невозможно. Обычно, эту проблему решают двумя способами: измельчением угла поворота и изначальным сглаживанием углов полигона. Первый способ повышает не только наличие точность решения, но и вычислительную сложность задачи. Второй подход практически исключает возможность нахождения пути, а не нахождение кратчайшегокогда его нет, но повышает вероятность "ненахождения" пути, когда он есть.

== Источники информации ==* Mark de Berg, Otfried Cheong, Marc van Kreveld, Mark Overmars (2008), Computational Geometry: Algorithms and Applications (3rd {{---}} Third edition){{---}} Springer, Springer2008. {{---}} Chapter 15. {{---Verlag, }} ISBN 978-3-540-77973-5 Chapter 15 page 324-331* [http://www.academia.edu/2845047/3D_Visibility_Graph статья про visibility graphsAcademia.edu]{{---}} 3D Visibility Graph* [http://habrahabr.ru/post/199256/ ХабрХабрахабр] {{---}} Motion planning: граф видимости, дорожные карты* [http://igitur-archive.library.uu.nl/math/2006-1214-201604/overmars_88_new_methods.pdf igitur-archive.library.uu.nl]{{---}} Visibility graph при помощи rotation tree за <tex>O(n^2)</tex>.