Изменения

:{ {''a''}, {''b''}, {''c''} }:{ {''a''}, {''b'', ''c''} }:{ {''b''}, {''a''В противном случае, ''c''} }:{ {''c''}если различные упорядочивания множеств считаются различными разбиениями, {'тогда количество таких упорядоченных разбиений называются 'a'', ''b''} }:{ {''a'', ''b'', 'упорядоченными числами Белла'c''} }.

''B''==Факторизации==Если число <subtex dpi="130">0N</subtex> является 1, т.к. существует только одно возможное разбиение пустого множества. Каждый элемент пустого множества является непустым множеством и их объединение является пустым множеством. Таким образом, пустое множество может разбиваться только на само себя. Как было обозначено выше, мы не рассматриваем ни порядок подмножеств, ни порядок элементов в каждом их них. Это означает, что данные разбиения являются идентичными:свободным от квадратов <ref>[[wikipedia:Square-free element|Wikipedia { {''b''---}, {''a'', ''c''} }:{ {''a'', ''c''}, {''b''} }:{ {''b''}, {''c'', ''a''} }:{ {''c'', ''a''}, {''b''} }.В противном случае, если различные упорядочивания множеств считаются различными разбиениями, тогда количество таких упорядоченных разбиений называются упорядоченными числами Белла.===Факторизации===Если число ''N'' является свободным Cвободные от квадратовчисла]]</ref>, то ''B<subtex dpi="130">nB_n</subtex>'' показывает количество различных мультипликативныхразбиений <tex dpi="130">N</tex>.Если число ''<tex dpi="130">N'' </tex> является квадратичным положительным целым числом (является произведением некоторого числа '' <tex dpi="130">n'' </tex> различных простых чисел), то ''B<subtex dpi="130">nB_n</subtex> дает '''число различных мультипликативных разбиений ''' <tex dpi="130">N''</tex>. Это является факторизацией ''<tex dpi="130">N'' </tex> в числа большие, чем <tex>1</tex> (рассматривая две факторизации как идентичные, treating two factorizations as the same if they have the same factors in a different orderесли они имеют одинаковые факторы в другом порядке.) подтверждает это наблюдение Сильвио Минетоле<ref>{{harvnb|Williams|1945}} credits this observation to Silvio Minetola's ''Principii di Analisi Combinatoria'' (1909).</ref> .Например, <tex>30 </tex> является произведением <tex>3 </tex> простых чисел <tex>2</tex>, <tex>3, and&nbsp;</tex> и <tex>5, </tex> и имеет ''B''<subtex dpi="130">3N=5 </subtex> = 5 факторизаций:

1==Схемы рифмовки== 1 2Числа Белла показывают ''количество схем рифмовки на <tex dpi="130">n</tex> строках''. Схема рифмы описывает, какие строки рифмуются друг с другом, и поэтому может быть истолковано как отношение экивалентности на множестве строк. Таким образом, <tex>15</tex> возможных четверостиший схемами рифмовки являются: 2 3 5<tex dpi="130"> AAAA, AAAB, AABA, AABB, AABC, ABAA, ABAB, ABAC,ABBA, ABBB, ABBC, ABCA, ABCB, ABCC, 5 7 10 15 15 20 27 37 52ABCD</tex>.

====Биномиальные коэффициенты====Числа Белла удовлетворяют рекуррентному соотношению c участием биномиальных коэффициентов s::<texdpi = "150">B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k.</tex>Другая формула суммирования представляет каждое число Белла как сумму чисел Стирлинга второго рода:==== Доказательство ====:Докажем, что <texdpi = "150">B_nB_{n+1}=\sum_{k=0}^{n } \left\binom{n}{k} B_{n\atop -k}.</tex> По определению <tex dpi = "150">B_{n}\right{ — }\</tex>число всех неупорядоченных подмножеств <tex>n</tex>-элементного множества. Посчитаем количество неупорядоченных подмножеств для <tex dpi= "150">(n+1)</tex>-элементного множества множества: Пусть <tex dpi= "150">x_1 \cup... \cup x_k\ { — }\ </tex>подмножества множества <tex dpi= "150">[1...n+1]</tex>.Пусть <tex dpi= "150">n+1\in x_k</tex>Число Стирлинга , тогда <texdpi= "150">x_1 \leftcup... \cup x_{k-1}\ {— }\ </tex>подмножество множества <tex dpi="150">[1...n+1]</tex> \atop k}<tex dpi= "150">x_k</tex>. Пусть <tex dpi= "150">|x_k|=i+1</tex>, где <tex dpi= "150">i\rightin [0;n]</tex>, тогда <tex dpi= "150">x_k</tex> можно выбрать <tex dpi= "150">\binom{n}{i}</tex> является количеством способов разбиения набора элементов ''способами, а оставшиеся элементы разбить <tex dpi = "150">B_{n'' в ровно ''k'' непустых подмножеств-i}</tex> способами. Michael Spivey получил формулу, которая объединяет оба эти суммирования::<texdpi = "150">B_{n+m1} = \sum_{k=0}^{n } \binom{n}{k} B_{n-k}=</tex> <tex dpi = "150">\sum_{jk=0}^m \left\{{m\atop jn}\right\binom{n} {n -k} B_{k}=</tex> <tex dpi= "150">\choose sum_{k=0} j^{n-} \binom{n}{k} B_k.</tex>.

===Производная =Связь с числами Стирлинга второго рода====Другая формула суммирования представляет каждое число Белла как сумму [[Числа Стирлинга второго рода|'''чисел Стирлинга второго рода''']]::<tex dpi = "150">B_n=\sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}</tex>, где число Стирлинга <tex dpi = "150">\left\{{n\atop k}\right\}</tex> является количеством способов разбиения набора элементов <tex dpi = "150">n</tex> в ровно <tex dpi="150">k</tex> непустых подмножеств.==== Доказательство ====Посчитаем количество подмножеств <tex dpi= "150">n</tex>-элементного множества. Нам нужно разбить <tex dpi= "150">n</tex>-элементное множество на <tex dpi= "150">k</tex> непустых подмножеств, где <tex dpi= "150">k</tex> от <tex dpi= "150">1</tex> до <tex dpi= "150">n</tex>. Пусть<tex dpi= "150">C\ { — }\ </tex>все подмножества <tex dpi= "150">n</tex>-элементного множества. Пусть <tex dpi= "150">A_k\ { — }\ </tex>разбиение <tex dpi= "150">n</tex>-элементного множества на <tex dpi= "150">k</tex> непустых подмножеств, тогда <tex dpi = "150"> C = \bigcup \limits_{k=1}^{n}A_k</tex>. <tex dpi = "150">|A_k|=\left\{{n\atop k}\right\}\ { — }\ </tex>по определению, тогда <tex dpi = "150">B_n=|C|=\sum_{k=1}^{n} \ |A_k|=\sum_{k=1}^n \left\{{n\atop k}\right\}=\sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}</tex>, т.к. <tex dpi = "150">\left\{{n\atop 0}\right\}=0</tex>. ====Объединяющая формула====Майкл Спайви<ref>Spivey, Michael Z. (2008). "A generalized recurrence for Bell numbers" . Journal of Integer Sequences. 11 (2): Article 08.2.5, 3. MR 2420912.</ref> получил формулу, которая объединяет оба эти суммирования::<tex dpi = "150">B_{n+m} = \sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^m \left\{{m\atop j}\right\} {n \choose k} j^{n-k} B_k.</tex>==== Лемма ====<tex dpi = "150">B_{n+m}\ { — }\ </tex>количество способов разбить <tex dpi = "150">(n+m)</tex>-элементное множество на подмножества. Количество способов разбить <tex dpi = "150">m</tex>-элементное множество на <tex dpi = "150">j</tex> непустых подмножеств это <tex dpi = "150">\left\{{m\atop j}\right\}</tex>, где <tex dpi = "150">j</tex> меняется от <tex dpi = "150">1</tex> до <tex dpi = "150">m</tex>. Из оставшихся <tex dpi = "150">n</tex> объектов выберем <tex dpi = "150">k</tex>, для разделения их на новые подмножества, а оставшиеся <tex dpi = "150">n-k</tex> объектов распределим между <tex dpi = "150">j</tex> подмножествами, сформированных из <tex dpi = "150">m</tex>-элементного множества. <tex dpi = "150">B_{k}\ { — }\ </tex>количество разбиений <tex dpi = "150">k</tex>-элементного множества на подмножества и <tex dpi = "150">j^{n-k}</tex> способов разбить <tex dpi = "150">n-k</tex> элементов между <tex dpi = "150">j</tex> подмножествами. Значит <tex dpi = "150">j^{n-k} \left\{{n\atop k}\right\}\binom{n}{k} B_{k}</tex> способов разбить <tex dpi = "150">m</tex> элементов на <tex dpi = "150">j</tex> подмножеств и выбрать <tex dpi = "150">k</tex> элементов из <tex dpi = "150">n</tex>-элементного множества и выбрать <tex dpi = "150">k</tex> элементов из <tex dpi = "150">n </tex>-элементного множества и сформировать из них новые подмножества, а из оставшихся <tex dpi = "150">n-k</tex> объектов разделить между <tex dpi = "150">j</tex> множествами, сформированных из <tex dpi = "150">m</tex>-элементного множества. ==== Доказательство ====Суммируя подмножества, рассмотренные в лемме, меняя <tex dpi = "150">m</tex> и <tex dpi = "150">k</tex>, получаем:<tex dpi = "150">B_{n+m}=\sum_{k=0}^n \sum_{j=1}^m </tex><tex dpi = "150">\left\{{m\atop j}\right\}j^{n-k} \binom{n}{k} B_{k}=</tex><tex dpi = "150">B_{n+m}=\sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^m </tex><tex dpi = "150">\left\{{m\atop j}\right\}j^{n-k} \binom{n}{k} B_{k}</tex> т.к. <tex dpi = "150">\left\{{m\atop 0}\right\}=0</tex>. ===Производящая функция===Экспоненциальной [[производящая функция|производящей функцией числе ]] чисел Белла является::<texdpi = "150">B(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.</tex>

Числа Белла удовлетворяют '''формуле Добинского''{{sfn|Dobiński|1877}}{{sfn|Rota|1964}}{{sfn|Bender|Williamson|2006}}'::<texdpi = "150">B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}.</tex>Эта формула может быть получена за счет расширения экспоненциальной производящей функции, используя ряд Тейлора <ref>[[wikipedia:Taylor series|Ряд Тейлора]]</ref> для экспоненциальной функции, а затем собирая условия с аналогичным показателем экспоненты.<ref>Flajolet & Sedgewick (2009)</ref>. Это позволяет интерпретировать ''B_n'' как ''<tex dpi="130">n''</tex>-й момент Пуассоновского распределения с ожидаемым значением <tex>1</tex>.

Применение интегральной формулы Коши <ref>[[wikipedia:Cauchy's integral formula|Формула Коши]]</ref> для экспоненциальной производящей функции дает комплексное интегральное представление:: <texdpi = "150"> B_n = \frac{n!}{2 \pi i e} \int_{\gamma} \frac{e^{e^z}}{z^{n+1}} \, dz. </tex> ===Log-concavityЛогарифмическая вогнутость===Числа Белла формируют логарифмически выпуклую последовательность. Деление их на факториал, ''B'' <subtex dpi = "170">''\frac{B_n}{n''!}</subtex>/''n''!, дает логарифмически выпуклую последовательность.sequence. 

Известно несколько асимптотических формул для чисел Белла. В {{harvtxt|'''Беренд Тасса''' в <tex>2010</tex>-м<ref>Berend|, D.; Tassa|, T. (2010}} были установлены ). "Improved bounds on Bell numbers and on moments of sums of random variables". Probability and Mathematical Statistics. 30 (2): 185–205.</ref> установлил следующие границы::<texdpi = "150"> B_n < \left( \frac{0.792 n}{\ln( n+1)} \right)^n </tex> для всех положительных чисел <tex>n</tex>;

:<texdpi = "150"> B_n < \left( \frac{e^{-0.6 + \varepsilon} n}{\ln(n+1)}\right)^n </tex>

<texdpi = "150"> ~d(x):= \ln \ln (x+1) - \ln \ln x + \frac{1+e^{-1}}{\ln x}\,.

Числа Белла могут быть аппроксимированы с помощью ''функции Ламберта Вт''<tex>W</tex> <ref> [[wikipedia:Lambert W function|Функция Ламберта W]]</ref>, данная функция имеет такой же темп роста, как логарифм, как:<texdpi = "150">B_n \sim \frac{1}{\sqrt{n}} \left( \frac{n}{W(n)} \right)^{n + \frac{1}{2}} \exp\left(\frac{n}{W(n)} - n - 1\right). </tex>

'''Мозер Л. и Вайман М.'''<ref>Moser , Leo; Wyman установил , Max (1955). "An asymptotic formula for the Bell numbers". Transactions of the Royal Society of Canada, Section III. </ref> установили расширение::<texdpi = "150">B_{n+h} = \frac{(n+h)!}{W(n)^{n+h}} \times \frac{\exp(e^{W(n)} - 1)}{(2\pi B)^{1/2}} \times \left( 1 + \frac{P_0 + hP_1 + h^2P_2}{e^{W(n)}} + \frac{Q_0 + hQ_1 + h^2Q_2 + h^3Q_3 + h^4Q_4}{e^{2W(n)}} + O(e^{-3W(n)}) \right)</tex>

:<texdpi = "150">\begin{align} \frac{\ln B_n}{n} & = \ln n - \ln \ln n - 1 + \frac{\ln \ln n}{\ln n} + \frac{1}{\ln n} + \frac{1}{2}\left(\frac{\ln \ln n}{\ln n}\right)^2 + O\left(\frac{\ln \ln n}{(\ln n)^2} \right) \\& {} \qquad \text{as }n\to\infty\end{align}

==References=={{refbegin|30em}}*{{cite journal | last1 = Asai | first1 = Nobuhiro | last2 = Kubo | first2 = Izumi | last3 = Kuo | first3 = Hui-Hsiung | arxiv = tex/0104137 | doi = 10[[Image:BellNumberAnimated.1023/A:1010738827855 gif| issue = 1-3 right| journal = Acta Applicandae Texematicae thumb| mr = 1831247Треугольное множество, правая диагональная последовательность которого состоит из чисел Белла]] | pages = 79–87 | title = Bell numbersЧисла Белла могут быть с легкостью '''вычислены''' с помощью '''треугольника Белла''', log-concavity, and log-convexity | volume = 63 | year = 2000 | ref = harv}}*{{cite journal | last = Aitken | first = Aкоторый также называют '''массивом Айткена''' или '''треугольником Пирса'''. C. | author-link = Alexander Aitken | doi = 10# Начнем с единицы.1017/S1757748900002334 | journal = [[Edinburgh Texematical Notes|Texematical Notes]] | pages = 18–23 | title = A problem in combinations | volume = 28 | year = 1933|ref=harv }}*{{cite journal|ref=harv|first1=HПомещаем ее в верхнюю строку. W.|last1=Becker|first2=John|last2=Riordan|author2-link=John Riordan (texematician)|title<tex> x_{0,1} =The arithmetic of Bell and Stirling numbers|journal=American Journal of Texematics|volume=70|year=1948|pages=385–394|jstor= 2372336|doi=10.23071 </2372336}}tex>)# Каждая новая строка должна начинаться с крайнего правого элемента прошлой строки.*(<tex>x_{i,1} \leftarrow x_{cite journal|first=E. T.|last=Bell|authorlink=Eric Temple Bell|title= Exponential polynomials|journal=Annals of Texematics|volume=35|year=1934|pages=258–277|ref=harv|jstor=1968431|doi=10.2307i-1, i}</1968431}}.tex>)*# Заполняем строчку <tex>i</tex> по формуле <tex> ( x_{{cite journal|first=E. T.|last=Bell|authorlink=Eric Temple Bell|title= The iterated exponential integers|journal=Annals of Texematics|volume=39|year=1938|pages=539–557|ref=harv|jstor=1968633|doi=10.2307/1968633i,j}}.*\leftarrow x_{{cite book | last1 = Bender | first1 = Edward A. | last2 = Williamson | first2 = S. Gill | contribution = Example 11.7i, Set Partitions | isbn = 0j-4861} + x_{i-446031,j-4 | pages 1}) </tex> , начиная с <tex> j = 319–3202 </tex>, | publisher = Doverпока | title = Foundations of Combinatorics with Applications | url = http:/<tex>j \leqslant i + 1 </www.tex>.ucsd# Крайнее левое число данной строки является числом Белла для этой строки.edu(<tex>B_i \leftarrow x_{i,1}</~ebender/CombText/ch-11.pdftex>) | year = 2006 | ref = harv}}Первые пять строк треугольника, построенного по этим правилам:*{{cite journal | last1 border= Berend | first1 = D."1" | last2 = Tassa | first2 = T.- | issue = 2 | journal = Probability and Texematical Statistics | pages = 185–205 | title = Improved bounds on Bell numbers and on moments of sums of random variables | volume = 30 <tex>1</tex>| year = 2010 | ref = harv}}*{{cite journal | last = Berndt | first = Bruce C. | issue = 2 | journal = Asia Pacific Texematics Newsletter | pages = 8–13 | title = Ramanujan Reaches His Hand From His Grave To Snatch Your Theorems From You | url = http://www.asiapacific-texnews.com/01/0102/0008_0013.pdf | volume = <tex>1 </tex>| year = 2011 | ref = harv}}*{{cite book <tex>2</tex>| last = de Bruijn | first = N.G. | author-link = Nicolaas_Govert_de_Bruijn | page = 108 | title = Asymptotic methods in analysis | publisher = Dover | edition = 3rd- | year = 1981 <tex>2</tex>| ref = harv}}*{{cite journal | last = Callan <tex>3</tex> | first = David | arxiv = <tex>5</0507169 tex> | issue = 1 | journal = Journal of Integer Sequences | mr = 2193154 | page = 06.1.4 | title = A combinatorial interpretation of the eigensequence for composition- | url = https:<tex>5</tex>|| <tex>7</eudml.orgtex>|| <tex> 10</doc/52955 tex>| volume = 9 | year = 2006 <tex> 15</tex>| ref = harv|bibcode = 2005tex......7169C}}*{{cite journal | last = Canfield | first = E. Rodney- | doi = 10.1016<tex>15</0097-3165(95)90033-0 tex>| issue = 1 | journal = Journal of Combinatorial Theory <tex> 20</tex> | mr = 1354972 | pages = 184–187 <tex>27</tex> | series = Series A | title = Engel's inequality for Bell numbers <tex>37</tex> | volume = 72 | year = 1995<tex>52</tex> | ref = harv}}*{{cite journal | last = Claesson | first = Anders | doi = 10.1006/eujc.2001.0515 | issue Получение с помощью чисел Стирлинга второго рода= 7 | journal = European Journal of Combinatorics | mr = 1857258 [[Числа Стирлинга второго рода| pages = 961–971'''Числа Стирлинга второго рода''']] | title = Generalized pattern avoidanceсвязаны друг с другом по следующей формуле: | volume <tex dpi= 22 | year "150">\left\{{n+1\atop k}\right\} = 2001 | ref = harvk \left\{{ n \atop k }\right\}*+ \left\{{cite book|last1=Conway|first1=John Horton|author1n\atop k-link=John Horton Conway|last2=Guy|first2=Richard K.|author2-link=Richard K. Guy|title=The Book of Numbers|series=Copernicus Series|publisher=Springer|year=1996|isbn=9780387979939|contribution=Famous Families of Numbers: Bell Numbers and Stirling Numbers|pages=91–94|ref=harv1}\right\}*{{cite journal|first=G.|last=Dobiński|title=Summirung<!-- "Summirung" is an archaic spelling, and it is the spelling that was used in this title. --/tex> der Reihe Число Стирлинга второго рода показывает количество способов разбиения множества из <tex>\textstyle\sum\frac{n^m}{</tex> элементов на <tex>k</tex> непустых подмножеств. Если сложить все числа Стирлинга второго рода, имеющих одинаковую <tex>n!}</tex> für ''m''&nbsp;=&nbsp;1,&nbsp;2то получим количество способов разбиения множества из <tex>n</tex> элементов на непустых подмножеств,&nbsp;3,&nbsp;4,&nbsp;5,&nbsp;…|journal=Grunert's Archiv|volume=61|year=1877|pages=333–336|url=https:то есть <tex>n<//archivetex>-ое число Белла.org/stream/archivdertexem88unkngoog#page/n346|ref=harv}}*{{cite journal | last = Engel | first = KonradЗаполним таблицу чисел Стирлинга, используя формулу выше.Cумма чисел <tex>n</tex>-ой строки будет являться | doi = 10.1016<tex>n</0097tex>-3165(94)90038-8ым числом Белла. {| issue border= "1" | journal = [[Journal of Combinatorial Theory]]- | mr = 1255264 n \ k | pages = 67–78 | series = Series A <tex>0</tex>| title = On the average rank of an element in a filter of the partition lattice | volume = 65 <tex>1</tex>| year = 1994 | ref = harv}}*{{cite book <tex>2</tex>| last1 = Flajolet | first1 = Philippe | author1-link = Philippe Flajolet | last2 = Sedgewick | first2 = Robert | author2-link = Robert Sedgewick (computer scientist) | contribution = II.<tex>3 Surjections, set partitions, and words | pages = 106–119 </tex>| publisher = Cambridge University Press | title = Analytic Combinatorics | url = http:<tex>4<//algo.inria.fr/flajolet/Publications/book.pdf tex>| year = 2009 | ref = harv}}*{{cite journalЧисло Белла | last = Gardner | first = Martin | author-link = Martin Gardner | doi = 10.1038<tex>0</scientificamerican0578-24 tex>| journal = [[Scientific American]] | pages = 24–30 <tex>1</tex>| title = The Bells: versatile numbers that can count partitions of a set, primes and even rhymes | volume = 238 | year = 1978|ref=harv}} Reprinted with an addendum as "The Tinkly Temple Bells", Chapter 2 of ''Fractal Music, Hypercards, and more ... Texematical Recreations from Scientific American'', W. H. Freeman, 1992, pp.&nbsp;24–38* {{springer|title=Bell numbers|id=p/b110240}}*{{cite arXiv|title=An elementary (number theory) proof of Touchard's congruence|first1=Greg|last1=Hurst|first2=Andrew|last2=Schultz|eprint=0906.0696|year=2009|class=<tex>1</tex.CO|ref=harv}}>* {{cite book|contribution=Two thousand years of combinatorics|first=Donald E.|last=Knuth|authorlink=Donald Knuth|pages=7–37|title=Combinatorics: Ancient and Modern|publisher=Oxford University Press|year=2013|editor1-first=Robin |editor1-last=Wilson<tex>1</tex>|editor2-first=John J.|editor2-last=Watkins<tex>0</tex>|ref=harv}}*{{Cite book |authorlink=László Lovász<tex>1</tex>| last=Lovász | first=L. |title=Combinatorial Problems and Exercises |edition=2nd |place=Amsterdam, Netherlands |publisher=North-Holland |year=1993|zbl=0785.05001|contribution=Section <tex>1.14, Problem 9|page=17|url=https:<//books.google.com/books?id=e99fXXYx9zcC&pg=PA17|ref=harv}}*{{cite journaltex> | last1 = Moser | first1 = Leo | author1-link = Leo Moser | last2 = Wyman <tex>2</tex>| first2 = Max | journal = Transactions of the Royal Society of Canada, Section III <tex> 0</tex>| mr = 0078489 | pages = 49–54 | title = An asymptotic formula for the Bell numbers <tex>1</tex> | volume = 49 | year = 1955 | ref = harv}}*{{cite journal | last = Peirce | first = C. S. | author-link = Charles Sanders Peirce | issue = <tex>1 </tex> | journal = [[American Journal of Texematics]] | jstor = 2369442 | pages = 15–57 | title = On the algebra of logic | volume = 3 | year = 1880|ref=harv | doi=10.2307<tex>2</2369442}}. *{{citationtex> | last = Rota | first = Gian-Carlo | author-link = Gian-Carlo Rota | doi = 10.2307<tex>3</2312585 tex>| issue = 5 | journal = [[American Texematical Monthly]] <tex>0</tex>| mr = 0161805 | pages = 498–504 <tex>1</tex>| title = The number of partitions of a set | volume = 71 <tex>3</tex>| year = 1964 | ref = harv}}*{{cite journal <tex>1</tex>| last = Spivey | first = Michael Z. | issue = 2 | journal = Journal of Integer Sequences | mr = 2420912 | page = Article 08.2.<tex>5, 3</tex> | title = A generalized recurrence for Bell numbers- | url = http:<tex>4<//www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL11/Spivey/spivey25.pdf tex>| volume = 11 | year = 2008 <tex>0</tex>| ref = harv}}*{{cite journal | last = Wagstaff | first = Samuel S. | author-link = Sam Wagstaff <tex>1</tex> | bibcode = 1996MaCom..65..383W | doi = 10.1090<tex>7</S0025-5718-96-00683-7 tex> | issue = 213 | journal = [[Texematics of Computation]] <tex>6</tex> | mr = 1325876 | pages = 383–391 <tex>1</tex> | title = Aurifeuillian factorizations and the period of the Bell numbers modulo a prime | url = http:<tex>15<//homes.cerias.purdue.edu/~ssw/bell/bell.pstex> | volume = 65 | year = 1996} | ref = harv}}* {{cite book | last=Wilf | first=Herbert S. | authorlink=Herbert Wilf | title=Generatingfunctionology | edition=2nd | location=Boston, MA | publisher=Academic Press | year=1994 | isbn=0-12-751956-4 | zbl=0831См.05001 |refтакже =harv | url = https://www.tex.upenn.edu/~wilf/gfology2.pdf}}*[[Числа Стирлинга второго рода]]*{{cite journal[[Числа Стирлинга первого рода]] | last = Williams | first = G. T. | journal = *[[American Texematical MonthlyЧисла Эйлера I и II рода]] | jstor = 2305292 | doi = 10.2307/2305292 | mr Примeчания= 0012612 | pages = 323–327 | title = Numbers generated by the function ''e''<sup>''e''^''x''&nbsp;&minus;&nbsp;1<references/sup> | volume = 52 | year = 1945 | ref = harv}}{{refend}}

==External linksИсточники информации==* {{Cite web|author=Robert Dickau|url=http[https://texforumcseweb.orgucsd.edu/~gill/advancedBWLectSite/robertdResources/bellC1U4SF.pdf Bender Edward A.html|title=Diagrams of Bell numbers}}Williamson, S. Gill, Set Partitions, 319–320, 2006]* [https://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number Wikipedia {{TexWorld|urlname=BellNumber|title=Bell Number---}}Bell numbers]* {{Cite webNobuhiro Izumi Hui-Hsiung "Acta Applicandae Texematicae",79–87.Bell numbers, log-concavity, and log-convexity 2000|author=Gottfried Helms*Aitken A. C. Edinburgh Texematical Notes,18–23 A problem in combinations 1933|url=http://go*H. W.helms-netBeckerJohn Riordan "The arithmetic of Bell and Stirling numbers" American Journal of Texematics,1948,385–394*E.de/tex/binomial/04_5_SummingBellStirlingT.pdfBell Exponential polynomials,Annals of Texematics,1934, 258–277|title=Further properties & Generalization *E. T.Bell The iterated exponential integers,Annals of Bell-NumbersTexematics,1938,539–557[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]}}[[Категория: Комбинаторика]]