Изменения

Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывен непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>. <tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>. <tex>A \colon C[0;1] \to C[0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор. Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.

A Пусть <tex>X</tex> — компактный оператор (<tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon [0;1] X \to [0;1]X</tex>, <tex> A </tex> — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex>)

Интегральные уравнения ФредгольмаСтавим задачу: <tex>f(t) y</tex> дано, когда <tex>Tx= x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) dsy</tex> в разрешимо относительно <tex>C[0;1]x</tex>.?

X — B{{Утверждение|statement=<tex>A</tex> {{---пространство, }} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A ) < + \colon B \to Binfty</tex>, A — компактный. |proof=<tex>T = \lambda I - aA</tex>

Ставим задачу: y дано<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, когда ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>Tx=yA</tex> разрешимо относительно x?.

Пусть <tex>y = \lambda x - A xoverline V</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен I). Уравнения первого рода (единичный шар, <tex>yY =Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x, \frac 1 {|\lambda|} operatorname{\|A\|Ker} < 1 T</tex>, следовательно, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x— подпространство </tex> разрешимо при любой левой части, причём решения x будут непрерывно зависеть от y. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|X</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.

Далее будем считать Допустим, что <tex>\lambda = 1</tex>. <tex>T = I - A,~Ker~T = dim \operatorname{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\Ker}</tex>, таким образом, ядро T — неподвижные точки A.<tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = Ker~T</tex> — подпространство X. <tex>dim~Ker~T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow implies \overline W = A \overline W</tex>. Но так Так как <tex>A </tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A </tex> — компактный, то <tex>\dim~\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.}}

|statement=Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A </tex> компактен , тогда <tex>\Rightarrow R(T) = Cl R(T)</tex>замкнуто.|proof=[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее (пятый семестр же?) ]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\exists x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T) </tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T </tex> есть априорная оценка. Пусть <tex>y \in R(T) \implies Tx=y</tex>. Тогда <tex>\forall z \in \operatorname{Ker}T \implies T(x+z) = T(x) + T(z) = y + 0 = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, <tex>z</tex> принадлежит <tex>\operatorname{Ker} T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \implies \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \implies x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>. Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| = \|x_0 - \sum\limits_{k=1}^n (-\alpha_k) e_k\|</tex>. Эта функция — не что иное, как наилучшее приближение <tex> x_0 </tex> элементами конечномерного <tex> \operatorname{Ker} T </tex>, теорема о наилучшем приближении гарантирует нам, что существуют <tex> \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>. <tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>. Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>. В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>. <tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>.

Тогда получаем <tex>y \in R(T), Txy_{n_k} =y, \forall z \in Ker~T \Rightarrow T(x+z) = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, z принадлежит <tex>Ker~T</tex>. Но <tex>dim~Ker~T < + \infty \Rightarrow Ker~T = \mathcalwidehat x_{Ln_k} \- z_{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_n_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>.

Рассмотрим функцию от n переменных Но <tex>f(y_n \alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\|to 0 </tex> Эта функция непрерывна (доказательство непрерывности аналогично таковому в теореме Рисса [[Нормированные пространства (3 курс)|здесь]]) , значит, <tex>\Rightarrow \exists \alpha^*_1, widehat x_{n_k} - z_{n_{k}} \alpha^*_2to 0, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline widehat x_{\alphan_k}^*) = \inf\limits_to z_{n_{k}}, \alpha} f(widehat x = z = A \alpha)widehat x </tex>.

То есть, <tex>y Tz = 0, z \in R\operatorname{Ker} T </tex>. <tex> T(T\widehat x_n - z)= y_n </tex>, среди всех решений уравнения но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex>Tx\widehat x_n </tex>, то <tex> \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| =y1</tex> Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценка существует решение с минимальной нормой. Его назовём , <tex>\widehat xR(T) </tex>замкнуто, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через yтеорема доказана.

Докажем теперь два утверждения. {{TODOУтверждение|tstatement=пропускПусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.|proof=Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием. <tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex> Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>. <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n) </tex>, тогда <tex> \dim M_n = \dim \operatorname{Ker} (I - A)^n = \dim \operatorname{Ker} (I - B) < +\infty </tex>. Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>. Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго). <tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>. Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса: <tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex> Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>. <tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность. <tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>. Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>. Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>. <tex> T^{n+p-1}(z) = T^{n+p}(x_{n+p}) + T^{n+p-1}(Ax_n) </tex>. Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{n+p-1} </tex> и <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{n+p-1}(x_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \in \operatorname{Ker}(T^{n+p-1}) </tex>. Но раз <tex> z \in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \ge \frac12 </tex>, и <tex> \|y_{n+p} - y_{n}\| \ge \frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex> сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана. }} {{Утверждение|statement=Пусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.Тогда <tex> R(T) = X \iff \operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>.|proof=<tex> \implies </tex>: Пусть существует <tex> x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker}T = N_1 </tex>. Так как <tex> R(T) = X </tex>, то у уравнения <tex> Tx = x_1 </tex> существует решение, обозначим его <tex> x_2 </tex>. <tex> T(Tx_2) = T(x_1) = 0 </tex>, то есть, <tex> x_2 \in \operatorname{Ker} T^2 = N_2 </tex>. Заметим, что <tex> x_2 \notin N_1 </tex>, в противном случае <tex> x_1 = Tx_2 = 0 </tex>, что противоречит нашему предположению. Значит, <tex> N_1 \subset N_2 </tex> (строго). Действуя аналогично, берем <tex> x_3 </tex> решение уравнения — <tex> Tx = x_2 </tex>, <tex> x_3 \notin N_2, x_3 \in N_3 </tex>. Получаем бесконечную цепочку строго вложенных множеств <tex> N_k </tex>, существование которой противоречит предыдущему утверждению, значит, <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>. <tex> \Longleftarrow </tex>: Пусть <tex> \operatorname{Ker} T = \{0\} </tex>. <tex> R(T) </tex> — замкнутое множество, <tex> T^* = I - A^* </tex>, <tex> R(T^*) = (\operatorname{Ker} T)^{\perp} = (\{0\})^{\perp} = X^* </tex>. Тогда, применив первый пункт к <tex>T^*</tex>, получим <tex> \operatorname{Ker} T^* = \{0\} </tex>, и <tex> R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^{\perp} = X </tex>.}} == Альтернатива Фредгольма-Шаудера ==

# <tex>\operatorname{Ker} T = \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо для любого <tex>y</tex># <tex>\operatorname{Ker} T \ne \{0\}</tex>, тогда <tex> y = Tx</tex> разрешимо только для тех <tex>y</tex>, которые принадлежат <tex>(\operatorname{Ker} T^*)^\perp</tex>

# <wikitextex># $\operatorname{Ker} T = \{0\}$</tex>, то есть $<tex> R(T) = X$ </tex>, значит, он осуществляет биекцию, и так как ограничен, по [[Теорема Банаха об обратном операторе#banachhom|теореме Банаха о гомеоморфизме]], непрерывно обратим, тогда $<tex> y = Tx$ </tex> действительно разрешимо для всех $x$<tex> y </tex># $<tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\}$</tex>, тогда $по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T)$, по </tex>. По [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе (]], <tex> \operatorname{{TODO|t=каким?Cl}}), $R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp$</tex>. Рассмотрим $<tex> y = Tx$</tex>, очевидно, оно разрешимо, когда $<tex> y \in R(T)$</tex>, то есть $, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp$</wikitextex>.

== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.  # <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.# <tex>\operatorname{TODO|tKer} (A - \lambda I) =пропуск}\{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

# Теорема о счетности Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра компактного оператора:

|statement=Спектр компактного оператора не более чем счётени его предельной точкой может быть только 0.|proof=На Так как спектр линейного ограниченного оператора [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\|A\|</tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>. Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\ldots|A\|]</tex> должно быть — конечное число точек спектра. Пусть Предположим обратное, тогда занумеруем их: выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \neq dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\lambda_malpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные векторы <tex>x_1 \dots x_n\dots</tex>— собственные вектора. Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные векторы <tex>x_1 \lambda_n \geq \alpha > 0dots x_n</tex>— линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L} \{ (x_1,\ldots, dots x_n \})</tex>. Очевидно, что и <tex>L_n L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \subset L_dots x_{n+1})</tex>строго вложены друг в друга. Проверим, что включения строгиеДоказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально.Пусть проверено, что <tex>x_1,\ldots,dots x_n</tex> — ЛНЗ. Докажем тогда, покажем, что <tex>x_1,\ldots,x_n,dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ— тоже ЛНЗ. Пусть Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{ki=1}^n \alpha_k x_kalpha_i x_i</tex>. Подействуем на это равенство обе части оператором <tex>A </tex>: <tex>A x_Ax_{n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k A x_k</tex>. Так как <tex>x_k</tex> — собственные вектора, <tex>\lambda_{n+1} x_{n+1} = \sum\limits_{ki=1}^n \alpha_k \lambda_k x_k \Rightarrow x_{n+1} alpha_i A x_i = \sum\limits_{ki=1}^n \frac {alpha_i \alpha_k \lambda_k} {lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n+1}} x_k</tex>(он ненулевой), но получим другое разложение <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k x_k</tex>. Но по векторам <tex>x_1,\ldots,dots x_n</tex> — ЛНЗ, поэтому разложение : <tex>x_{n+1}= \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex> через их комбинацию . Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно. Значит, то получаем, что <tex>\alpha_k = \alpha_k \frac{\lambda_nalpha_i \lambda_i}{\lambda_{n+1}}= \alpha_i</tex>. , здесь либо <tex>x_{n+1} \neq 0alpha_i</tex>нулевое, поэтому либо <tex>\exists \alpha_{k_0} \neq 0 \Rightarrow \alpha_{k_0} = \alpha_{k_0} \frac {\lambda_{k_0}lambda_i} {\lambda_{n+1}}= 1</tex> и . Так как собственный вектор <tex>\lambda_{k_0} = \lambda_x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, но и тогда <tex>\lambda_n frac{\neq lambda_q}{\lambda_mlambda_{n+1}} = 1</tex> — мы , то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, поэтому а значит, <tex>x_1,\ldots,x_n,dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.

Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]:<tex>\exists y_{n+1} \in L_{n+1},\|y_{n+1}\| = 1: \forall y_n \in L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \ge \frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.

Определим <tex>z_n = A y_n </tex>. В силу компактности <tex>A</tex> из <tex>\{z_n\in L_n}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя, противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\|y_n\| = 1alpha, \forall y \in L_{n+1}~\|y_{n+1} - y_nA\| \geq \frac 1 2]</tex>бесконечное количество точек.

Система Составим разность <tex>\z_{y_n\n+p}</tex> ограничена. Определим <tex>-z_n = A y_{n+p} - A y_n</tex>. В силу компактности A из <tex>= \lambda_{n+p} y_{z_nn+p} - (\lambda_{n+p}y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя; противоречие будет связано с допущением о томто, что на находится в скобке, принадлежит <tex>[\alpha;\|A\|]L_{n+p-1}</tex> бесконечное количество точек.

Составим разность <tex>z_\lambda_{n+p} y_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - + A y_n = \lambda_in L_{n+p-1} y_</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} - (\lambda_{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\} </tex>. <tex>y_{n+p} - A y_\in L_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Если это так, то Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\lambda_limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} y_A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p- 1} \alpha_k \lambda_k x_k + \lambda_alpha_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_x_{n+p} - z)</tex>. По построению <tex>y_n</tex>, Разность <tex>\|z_lambda_{n+p} y_{n+p} - z_nA y_{n+p} = \sum\| limits_{k= |\lambda_1}^{n+p-1}| \|y_beta_k x_k \in L_{n+p-1} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше . <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \alpha</tex>gamma_k x_k, а второй — <tex>A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \frac in L_{n+p-1 2}</tex>и, следовательно, в итоге <tex>\|z_lambda_{n+p} y_{n+p} - z_n\| \geq \frac 1 2A y_{n+p} + A y_n</tex> и, значит, из принадлежит <tex>\L_{z_n\n+p-1}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности.

Осталось проверить, То что было в скобке обозначим за <tex>\lambda_t</tex>. Тогда <tex>z_{n+p} -z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} + A y_n - t =\in L_lambda_{n+p-1}</tex>. <tex>L_(y_{n+p} -1} = \mathcalfrac{Lt} \{x_1,\ldots,x_lambda_{n+p-1}\})</tex>. Получаем: <tex>y_\|z_{n+p} - z_n\| = |\in L_lambda_{n+p}</tex>, <tex>| \|y_{n+p} = - \sum\limits_frac{k=1t}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_lambda_{n+p} x_{n+p}\|</tex>. Подействуем A: , где первый множитель не меньше <tex>A y_{n+p} = \sumalpha</tex>, а второй — <tex>\limits_{k=frac 1}^{n+p-1} 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_|z_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} z_n\alpha_k | \lambda_k x_k + geq \alpha_frac{n+p} \lambda_{n+palpha} x_{n+p2} </tex>. Разность и, значит, из <tex>\lambda_{n+pz_n\} y_{n+p} - A y_{n+p} = </tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\sumalpha, \limits_{k=1}^{n+p-1} |A\beta_k x_k \in L_{n+p-1}|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен. Осталось проверить, что только <tex>0</tex>может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>y_n = \sumlambda \limits_{k=1}^n \gamma_k x_kne 0</tex> — предельная точка, это означает, A y_n = что для любого <tex>\sumforall \limits_{k=1}^n varepsilon: 0 < \gamma_k varepsilon < \lambda_k x_k frac{\in L_lambda}{n+p-12}</tex> и, следовательно, во множестве <tex>[\lambda_{n+p} y_{n+p} lambda - A y_{n\varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda +p} + A y_n\varepsilon]</tex> принадлежит содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>L_[\frac{\lambda}{n+p-12}, \|A\|]</tex>содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.}}