Изменения

Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывен непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>. <tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>.

<tex>A(x,t)=\int\limits_0^colon C[0;1 K(t,s) x(s) ds, x(s) ] \in to C[0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.

A — компактный оператор (Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>A f(t) = x(t) + \lambda \int\colon [0;limits_0^1] \to K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>).

Интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> Фредгольмом в <tex>C[0;1]</tex>начале XX века была разработана теория решения таких уравнений без использования методов функционального анализа. В 30-е годы XX века Шаудер обобщил ее на абстрактные компактные операторы.

X <tex>y = \lambda x - A x</tex> — Bоператорные уравнения второго рода (явно выделен <tex>I</tex>). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x -пространствоA x = \lambda (I - \frac 1 \lambda A)x</tex>. Если <tex>\frac 1 {|\lambda|} {\|A\|} < 1 </tex>, то, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A </tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\colon B lambda</tex>, <tex>y=\to Blambda x - A x</tex>разрешимо при любой левой части, A — компактныйпричём решения <tex>x</tex> будут непрерывно зависеть от <tex>y</tex>. Интересна ситуация при <tex>T = |\lambda I - | \leq \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.

Ставим задачу: y дано, когда Будем считать <tex>Tx\lambda =y1 </tex> разрешимо относительно x?

{{Утверждение|statement=<tex>y = \lambda x - A x</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен I). Уравнения первого рода (<tex>y=Bx</tex>) решаются гораздо сложней{{---}} компактный оператор. Объясняется это достаточно просто: Тогда <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - dim\frac 1 \lambda A)x, \frac 1 operatorname{|\lambda|Ker} {\|A\|} < 1 </tex>, следовательно, по теореме Банаха, <tex>(I - \frac 1 \lambda A) </tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>+ \lambdainfty</tex>, |proof=<tex>yT =\lambda x I - A x</tex> разрешимо при любой левой части, причём решения x будут непрерывно зависеть от y. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.

Далее будем считать <tex>\lambda = 1</tex>. <tex>T = I - A,~operatorname{Ker~}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро <tex>T </tex> — неподвижные точки <tex>A</tex>. Пусть <tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = \operatorname{Ker~}T</tex> — подпространство <tex>X</tex>.  Допустим, что <tex>\dim~\operatorname{Ker~}T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow implies \overline W = A \overline W</tex>. Но так Так как <tex>A </tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A </tex> — компактный, то <tex>\dim~\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.}}

|statement=Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A </tex> компактен , тогда <tex>\Rightarrow R(T) = Cl R(T)</tex>замкнуто.|proof=[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее (пятый семестр же?) ]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\exists x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T) </tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка. Пусть <tex>y \in R(T) \implies Tx=y</tex>. Тогда <tex>\forall z \in \operatorname{Ker}T \implies T(x+z) = T(x) + T(z) = y + 0 = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, <tex>z</tex> принадлежит <tex>\operatorname{Ker} T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \implies \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \implies x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>. Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| = \|x_0 - \sum\limits_{k=1}^n (-\alpha_k) e_k\|</tex>. Эта функция — не что иное, как наилучшее приближение <tex> x_0 </tex> элементами конечномерного <tex> \operatorname{Ker} T </tex>, теорема о наилучшем приближении гарантирует нам, что существуют <tex> \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>. <tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>. Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>. В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>. <tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>. Тогда получаем <tex> y_{n_k} = \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}}</tex>. Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_{n_k} \to z_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x </tex>. То есть , <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>. <tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex>\widehat x_n </tex>, то <tex> \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| = 1</tex> Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценкасуществует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.}} Докажем теперь два утверждения. {{Утверждение|statement=Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.|proof=Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием. <tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex> Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>. <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n) </tex>, тогда <tex> \dim M_n = \dim \operatorname{Ker} (I - A)^n = \dim \operatorname{Ker} (I - B) < +\infty </tex>. Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>. Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго). <tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>. Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса: <tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex> Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>. <tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность. <tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>. Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>. Заметим, что <tex> z = T(x_{n+p}) + Ax_n </tex>.

<tex>y \in R(T), Tx=y, \forall z \in Ker~T \Rightarrow T^{n+p-1}(x+z) = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, z принадлежит <tex>Ker~T</tex>. Но <tex>dim~Ker~T < ^{n+ \infty \Rightarrow Ker~T = \mathcal{Lp} \(x_{ e_1, \ldots e_n \n+p} \Rightarrow x = x_0 ) + \sum\limits_T^{k=n+p-1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}(Ax_n) </tex>.

Рассмотрим функцию от Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{n переменных +p-1} </tex>fи <tex> A </tex> коммутируют, равно <tex> A(T^{n+p-1}(\alpha_1,\ldots,\alpha_nx_n)) = A(0) = 0 </tex>, и <tex> z \|x_0 + \sumin \limits_operatorname{k=1Ker}(T^{n +p-1}) </tex>. Но раз <tex> z \alpha_k e_k\|in M_{n+p-1} </tex> Эта функция непрерывна (доказательство непрерывности аналогично таковому в теореме Рисса [[Нормированные пространства (3 курс)|здесь]]) , то <tex>\Rightarrow |x_{n+p} - z\exists | \alpha^*_1, ge \alpha^*_2frac12 </tex>, и <tex> \ldots, \alpha^*_n : f (\overline |y_{n+p} - y_{\alphan}^*) = \inf| \limits_{ge \alpha} f(\alpha)frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex>сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.

{{TODOУтверждение|tstatement=пропускПусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.Тогда <tex> R(T) = X \iff \operatorname{Ker}T = \{0\}</tex>.|proof=<tex> \implies </tex>:

# <wikitextex># $\operatorname{Ker} T = \{0\}$</tex>, то есть $<tex> R(T) = X$ </tex>, значит, он осуществляет биекцию, и так как ограничен, по [[Теорема Банаха об обратном операторе#banachhom|теореме Банаха о гомеоморфизме]], непрерывно обратим, тогда $<tex> y = Tx$ </tex> действительно разрешимо для всех $x$<tex> y </tex># $<tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\}$</tex>, тогда $по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T)$, по </tex>. По [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе (]], <tex> \operatorname{{TODO|t=каким?Cl}}), $R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp$</tex>. Рассмотрим $<tex> y = Tx$</tex>, очевидно, оно разрешимо, когда $<tex> y \in R(T)$</tex>, то есть $, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp$</wikitextex>.

== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.  # <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.# <tex>\operatorname{TODO|tKer} (A - \lambda I) =пропуск}\{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

== Теорема о счетности Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра компактного оператора ==:

Рассмотрим <tex>\alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha\ldots,\|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Предположим обратное, тогда выделим подпоследовательность <tex>\lambda_1 \dots \lambda_n \dots</tex> различных собственных значений (каждое из них больше <tex>\alpha</tex>). Пусть им соответствуют собственные элементы векторы <tex>x_1 \dots x_n \dots</tex>.

Покажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные элементы векторы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции: для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.

занумеруем их: Определим <tex>\lambda_n \neq \lambda_mz_n = A y_n</tex>. В силу компактности <tex>x_nA</tex>— собственные вектора.из <tex>\lambda_n \geq \alpha > 0</tex><tex>L_n = \mathcal{L} \{ x_1,\ldots, x_n \}</tex>. Очевидно, что <tex>L_n z_n\subset L_{n+1}</tex>можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что включения строгие.Пусть провереноэто сделать нельзя, что <tex>x_1,\ldots,x_n</tex> — ЛНЗ. Докажем тогдапротиворечие будет связано с допущением о том, что на <tex>x_1,[\ldotsalpha,x_n,x_{n+1}</tex> — ЛНЗ. Пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k x_k</tex>. Подействуем на это равенство |A : <tex>A x_{n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k A x_k</tex>. Так как <tex>x_k</tex> — собственные вектора, <tex>\lambda_{n+1} x_{n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \lambda_k x_k \Rightarrow x_{n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \frac {\alpha_k \lambda_k} {\lambda_{n+1}} x_k</tex>, но <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k x_k</tex>. Но <tex>x_1,\ldots,x_n</tex> — ЛНЗ, поэтому разложение <tex>x_{n+1}</tex> через их комбинацию единственно. Значит, <tex>\alpha_k = \alpha_k \frac{\lambda_n}{\lambda_{n+1}}</tex>. <tex>x_{n+1} \neq 0</tex>, поэтому <tex>\exists \alpha_{k_0} \neq 0 \Rightarrow \alpha_{k_0} = \alpha_{k_0} \frac {\lambda_{k_0}} {\lambda_{n+1}}</tex> и <tex>\lambda_{k_0} = \lambda_{n+1}</tex>, но <tex>\lambda_n \neq \lambda_m</tex> — мы получили противоречие, поэтому <tex>x_1,\ldots,x_n,x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}|]</tex> строгоебесконечное количество точек.

<tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_nL_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots, x_{n+p-1}\|}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n= \| sum\limits_{k= 1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \forall y sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}~</tex> и, следовательно, <tex>\|lambda_{n+p} y_{n+1p} - A y_{n+p} + A y_n\| \geq \frac </tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1 2}</tex>.

Составим разность То что было в скобке обозначим за <tex>t</tex>. Тогда <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (t =\lambda_{n+p} (y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>. Если это так, то <tex>\lambda_{n+p} y_frac{n+pt} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. По построению <tex>y_n</tex>, Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\frac{t}{\lambda_{n+p}}\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex>(по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac 1 {\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен.

Осталось проверить, что только <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}0</tex>может быть предельной точкой. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1Пусть это не так,\ldots,x_{n+pи какое-1}\}то </tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}lambda \ne 0</tex>— предельная точка, это означает, что для любого <tex>y_{n+p} = \sumforall \limits_{k=1}^{n+p-1} varepsilon: 0 < \alpha_k x_k + varepsilon < \alpha_frac{n+p\lambda} x_{n+p2}</tex>. Подействуем A: , во множестве <tex>A y_{n+p} = [\sum\limits_{k=1}^{n+plambda -1} \alpha_k A x_k + varepsilon, \alpha_{n+p} A x_{n+p} = lambda) \sumcup (\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + lambda, \alpha_{nlambda +p} \lambda_{n+p} x_{n+p} varepsilon]</tex>. Разность содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_frac{n+p} = \sum\limits_{k=1lambda}^{n+p-12} , \beta_k x_k |A\in L_{n+p-1}|]</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+pсодержится счетно-1}</tex> ибесконечное число точек спектра, следовательночего быть не может, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>как мы уже показали выше.