Изменения

Пусть <tex>X = C[0;1]</tex>, <tex>K(u,v)</tex> непрерывен непрерывна на <tex>[0;1]^2</tex>. <tex>A(x,t)=\int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds, x(s) \in C[0;1]</tex>. <tex>A \colon C[0;1] \to C[0;1]</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор. Будем изучать так называемые интегральные уравнения Фредгольма: <tex>f(t) = x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds</tex> в <tex>C[0;1]</tex>.

A Пусть <tex>X</tex> — компактный оператор (<tex>B</tex>-пространство, <tex>A \colon [0;1] X \to [0;1]X</tex>, <tex> A </tex> — компактный. <tex>T = \lambda I - A</tex>)

Интегральные уравнения ФредгольмаСтавим задачу: <tex>f(t) y</tex> дано, когда <tex>Tx= x(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) dsy</tex> в разрешимо относительно <tex>C[0;1]x</tex>.?

X — B{{Утверждение|statement=<tex>A</tex> {{--пространство, -}} компактный оператор. Тогда <tex>\dim\operatorname{Ker}(I-A ) < + \colon B \to Binfty</tex>, A — компактный. |proof=<tex>T = \lambda I - A</tex>

Ставим задачу: y дано<tex>\operatorname{Ker}T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, когда ядро <tex>T</tex> — неподвижные точки <tex>Tx=yA</tex> разрешимо относительно x?.

Пусть <tex>y = \lambda x - A xoverline V</tex> — операторные уравнения второго рода (явно выделен I). Уравнения первого рода (единичный шар, <tex>yY =Bx</tex>) решаются гораздо сложней. Объясняется это достаточно просто: <tex>y = \lambda x - A x = \lambda (x - \frac 1 \lambda A)x, \frac 1 {|\lambda|} operatorname{\|A\|Ker} < 1 T</tex>, следовательно, по теореме Банаха, <tex>I - \frac 1 \lambda A</tex> непрерывно обратим, следовательно, при достаточно больших <tex>\lambda</tex>, <tex>y=\lambda x - A x— подпространство </tex> разрешимо при любой левой части, причём решения x будут непрерывно зависеть от y. Интересна ситуация при <tex>|\lambda| < \|A\|X</tex>. В случае компактного A ответ даёт теория Шаудера.

Далее будем считать Допустим, что <tex>\lambda = 1</tex>. <tex>T = I - A,~Ker~T = dim \operatorname{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\Ker}</tex>, таким образом, ядро T — неподвижные точки A.<tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = Ker~T</tex> — подпространство X. <tex>dim~Ker~T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow implies \overline W = A \overline W</tex>. Но так Так как <tex>A </tex> — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в <tex>Y</tex>, но в бесконечномерном пространстве шар (<tex>\overline W</tex> будет шаром в подпространстве <tex>Y</tex>) не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если <tex>A </tex> — компактный, то <tex>\dim~\operatorname{Ker}(I-A) < + \infty</tex>.}}

|statement=Пусть <tex>T = I - A</tex>, <tex>A </tex> компактен , тогда <tex>\Rightarrow R(T) = Cl R(T)</tex>замкнуто.|proof=[[Теорема Банаха об обратном операторе|Ранее (пятый семестр же?) ]] мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\exists x~Tx=y, \|x\| \leq a\|y\|</tex>), то <tex>R(T) </tex> замкнуто. Нужно доказать, что у <tex>T</tex> есть априорная оценка. Пусть <tex>y \in R(T) \implies Tx=y</tex>. Тогда <tex>\forall z \in \operatorname{Ker}T \implies T(x+z) = T(x) + T(z) = y + 0 = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, <tex>z</tex> принадлежит <tex>\operatorname{Ker} T</tex>. Но <tex>\dim\operatorname{Ker}T < + \infty \implies \operatorname{Ker}~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \implies x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>. Рассмотрим функцию от <tex>n</tex> переменных <tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| = \|x_0 - \sum\limits_{k=1}^n (-\alpha_k) e_k\|</tex>. Эта функция — не что иное, как наилучшее приближение <tex> x_0 </tex> элементами конечномерного <tex> \operatorname{Ker} T </tex>, теорема о наилучшем приближении гарантирует нам, что существуют <tex> \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>. <tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через <tex>y</tex>. Допустим, априорной оценки не существует, тогда можно построить последовательность <tex> y_n </tex> и <tex> \widehat x_n </tex> (минимальных по норме решений с правой частью <tex> x_n </tex>), таких, что <tex> \frac{\|\widehat x_n\|}{\|y_n\|} \to \infty </tex>. В силу линейности уравнения, можно выбрать <tex> \widehat x_n </tex> с единичной нормой, тогда <tex> \|y_n\| \to 0 </tex>. <tex> T = I - A </tex>, так как <tex> \{ \widehat x_n \} </tex> ограничено и <tex> A </tex> компактен, то из <tex> z_n = A \widehat x_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> z_{n_{k}} \to z </tex>. Тогда получаем <tex> y_{n_k} = \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}}</tex>. Но <tex> y_n \to 0 </tex>, значит, <tex> \widehat x_{n_k} - z_{n_{k}} \to 0, \widehat x_{n_k} \to z_{n_{k}}, \widehat x = z = A \widehat x </tex>. То есть , <tex> Tz = 0, z \in \operatorname{Ker} T </tex>. <tex> T(\widehat x_n - z) = y_n </tex>, но, так как мы выбирали минимальное по норме <tex>\widehat x_n </tex>, то <tex> \|\widehat x_n - z\| \ge \|\widehat x_n\| = 1</tex> Получили, что <tex> 0 \ge 1 </tex> — противоречие, значит, априорная оценкасуществует, <tex> R(T) </tex> замкнуто, и теорема доказана.}} Докажем теперь два утверждения. {{Утверждение|statement=Пусть <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N</tex>, <tex> A </tex> — компактный оператор.Тогда <tex> \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} </tex>.|proof=Идея доказательства подобных утверждений следующая: идем от противного и, пользуясь леммой Рисса, строим ограниченную последовательность точек. Применяя к ней <tex> A </tex>, получаем последовательность, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. После этого ищем противоречие с условием. <tex> (I - A)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} C_n^k (-1)^k A^k = I - (-\sum\limits_{k=1}^{n} C_n^k (-1)^k A^k) </tex> Второе слагаемое является компактным оператором, обозначим его за <tex> B </tex>, <tex> (I - A)^n = I - B </tex>. <tex> M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n) </tex>, тогда <tex> \dim M_n = \dim \operatorname{Ker} (I - A)^n = \dim \operatorname{Ker} (I - B) < +\infty </tex>. Пусть <tex> T = I - A </tex>, <tex> x \in M_n </tex> и <tex> T^n(x) = 0 </tex>, тогда <tex> T^{n+1}(x) = T(0) = 0 </tex>, то есть, <tex> M_n \subset M_{n+1} </tex>. Допустим, что <tex> \forall n: M_n \subset M_{n+1} </tex> (строго). <tex> M_n </tex> — подпространство <tex> X </tex>. Применим к паре подпространств <tex> M_n, M_{n+1} </tex> лемму Рисса: <tex> \exists x_{n+1} \in M_{n+1}: \|x_{n+1}\| = 1, \forall x \in M_n \|x_{n+1} - x\| \ge \frac12 </tex> Таким образом выстраиваем последовательность <tex> x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots, \|x_n\| = 1 </tex>. <tex> y_n = Ax_n </tex>, из <tex> y_n </tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность. <tex> y_{n+p} - y_n = Ax_{n+p} - Ax_{n} = x_{n+p} - (x_{n+p} - Ax_{n+p} + Ax_n) </tex>. Обозначим сумму в скобках за <tex> z </tex>.

Заметим, что <tex>y \in R(T), Txz =y, \forall z \in Ker~T \Rightarrow T(xx_{n+zp}) = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, z принадлежит <tex>Ker~TAx_n </tex>. Но <tex>dim~Ker~T < + \infty \Rightarrow Ker~T = \mathcal{L} \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>

Рассмотрим функцию от n переменных <tex>fT^{n+p-1}(\alpha_1,\ldots,\alpha_nz) = \|x_0 T^{n+p}(x_{n+p}) + \sum\limits_T^{k=n+p-1}(Ax_n) </tex>. Здесь первое слагаемое равно нулю по определению последовательности <tex> x_n </tex>. Второе же, так как операторы <tex> T^{n \alpha_k e_k\|+p-1} </tex> и <tex> A </tex> Эта функция непрерывна коммутируют, равно <tex> A(доказательство непрерывности аналогично таковому в теореме Рисса [[Нормированные пространства T^{n+p-1}(3 курсx_n)|здесь]]) = A(0) = 0 </tex>, и <tex>z \Rightarrow in \exists operatorname{Ker}(T^{n+p-1}) </tex>. Но раз <tex> z \alpha^*_1in M_{n+p-1} </tex>, то <tex> \|x_{n+p} - z\| \alpha^*_2, ge \ldotsfrac12 </tex>, и <tex> \alpha^*_n : f (\overline |y_{n+p} - y_{\alphan}^*) = \inf| \limits_{ge \alpha} f(\alpha)frac12 </tex>, чего не может быть, поскольку в этом случае мы не сможем выделить из <tex> y_n </tex>сходящуюся подпоследовательность. Поэтому наше предположение неверно, теорема доказана.

{{TODOУтверждение|tstatement=пропускПусть <tex> A </tex> — компактный оператор на банаховом <tex> X </tex>, <tex> T = I - A </tex>.Тогда <tex> R(T) = X \iff \operatorname{Ker}T = \{0\}</tex>.|proof=<tex> \implies </tex>: Пусть существует <tex> x_1 \ne 0, x_1 \in \operatorname{Ker} T = N_1 </tex>.

# <wikitextex># $\operatorname{Ker} T = \{0\}$</tex>, то есть $<tex> R(T) = X$ </tex>, значит, он осуществляет биекцию, и так как ограничен, по [[Теорема Банаха об обратном операторе#banachhom|теореме Банаха о гомеоморфизме]], непрерывно обратим, тогда $<tex> y = Tx$ </tex> действительно разрешимо для всех $x$<tex> y </tex># $<tex> \operatorname{Ker} T \ne \{0\}$</tex>, тогда $по первой теореме этого параграфа, <tex> R(T) = \operatorname{Cl} R(T)$, по </tex>. По [[Сопряженный оператор#Теоремы о множестве значений оператора|общим теоремам о сопряженном операторе (]], <tex> \operatorname{{TODO|t=каким?Cl}}), $R(T) = (\operatorname{Ker} T^*)^\perp$</tex>. Рассмотрим $<tex> y = Tx$</tex>, очевидно, оно разрешимо, когда $<tex> y \in R(T)$</tex>, то есть $, <tex> y \in (\operatorname{Ker} T^*)^\perp$</wikitextex>.

== Теорема о счетности спектра компактного оператора ==Рассмотрим <tex>A - \lambda I</tex>.  # <tex>\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}</tex>, тогда оператор необратим, и <tex>\lambda</tex> — собственное число, то есть <tex>\lambda \in \sigma(A)</tex>.# <tex>\operatorname{TODO|tKer} (A - \lambda I) =пропуск}\{0\}</tex>, тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>.

== Теорема о счетности Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра компактного оператора ==:

По общим фактам о пектре Так как спектр линейного ограниченного оператора, [[Спектр линейного оператора|входит в круг радиуса <tex>\lambda \in \sigma(A) \implies |\lambda| \le \|A\| \implies </tex>]], получаем <tex>|\lambda| \in [0, \|A\|]</tex>. Проверим, что  Рассмотрим <tex>\forall \alpha > 0</tex>, проверим, что на отрезке <tex>[\alpha,\ldots|A\|]</tex> — конечное число точек спектра. Пусть Предположим обратное, тогда занумеруем их: выделим подпоследовательность <tex>\lambda_n lambda_1 \neq \lambda_m</tex>. <tex>x_n</tex>— собственные вектора.<tex>dots \lambda_n \geq \alpha > 0dots</tex>различных собственных значений (каждое из них больше <tex>L_n = \mathcal{L} \{ x_1,\ldots, x_n \}alpha</tex>). Очевидно, что <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex>. Проверим, что включения строгие.Пусть проверено, что <tex>x_1,\ldots,x_n</tex> — ЛНЗ. Докажем тогда, что <tex>x_1,\ldots,x_n,x_{n+1}</tex> — ЛНЗ. Пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k x_k</tex>. Подействуем на это равенство A : <tex>A x_{n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k A x_k</tex>. Так как <tex>x_k</tex> — им соответствуют собственные вектора, <tex>\lambda_{n+1} x_{n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \lambda_k x_k \Rightarrow x_{n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \frac {\alpha_k \lambda_k} {\lambda_{n+1}} x_k</tex>, но <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k x_k</tex>. Но векторы <tex>x_1,\ldots,dots x_n</tex> — ЛНЗ, поэтому разложение <tex>x_{n+1}</tex> через их комбинацию единственно. Значит, <tex>\alpha_k = \alpha_k \frac{\lambda_n}{\lambda_{n+1}}</tex>. <tex>x_{n+1} \neq 0</tex>, поэтому <tex>\exists \alpha_{k_0} \neq 0 \Rightarrow \alpha_{k_0} = \alpha_{k_0} \frac {\lambda_{k_0}} {\lambda_{n+1}}</tex> и <tex>\lambda_{k_0} = \lambda_{n+1}</tex>, но <tex>\lambda_n \neq \lambda_m</tex> — мы получили противоречие, поэтому <tex>x_1,\ldots,x_n,x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}dots</tex> строгое.

Применим к цепи подпространств лемму Рисса о почти перпендикуляреПокажем, что при любом <tex>n</tex>, собственные векторы <tex>x_1 \dots x_n</tex> — линейно независимы, и что линейные оболочки <tex>L_n = \mathcal{L}(x_1 \dots x_n)</tex> и <tex>L_{n+1} = \mathcal{L}(x_1 \dots x_{n+1})</tex> строго вложены друг в друга. Доказательство по индукции:для <tex>n=1</tex> — тривиально. Пусть <tex>x_1 \dots x_n</tex> — ЛНЗ, покажем, что <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — тоже ЛНЗ. Покажем от противного: пусть <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i x_i</tex>. Подействуем на обе части оператором <tex>A</tex>: <tex>Ax_{n+1} = \lambda_{n + 1} x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i A x_i = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i \lambda_i x_i</tex>. Разделив обе части на <tex>\lambda_{n + 1}</tex> (он ненулевой), получим другое разложение <tex>x_{n+1}</tex> по векторам <tex>x_1 \dots x_n</tex>: <tex>x_{n+1} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} x_i</tex>. Но так как разложение по линейно независимой системе должно быть единственно, то получаем, что <tex>\frac{\alpha_i \lambda_i}{\lambda_{n + 1}} = \alpha_i</tex>, здесь либо <tex>\alpha_i</tex> нулевое, либо <tex>\frac{\lambda_i}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>. Так как собственный вектор <tex>x_{n+1}</tex> ненулевой, найдется такое <tex>q</tex>, что <tex>\alpha_q \ne 0</tex>, и тогда <tex>\frac{\lambda_q}{\lambda_{n+1}} = 1</tex>, то есть получили два одинаковых собственных значения, противоречие, а значит, <tex>x_1 \dots x_{n+1}</tex> — ЛНЗ и включение <tex>L_n \subset L_{n+1}</tex> — строгое.

Применим к цепи подпространств [[Гильбертовы пространства|лемму Рисса о почти перпендикуляре]]: <tex>y_n \exists y_{n+1} \in L_nL_{n+1}, \|y_ny_{n+1}\| = 1, : \forall y y_n \in L_{n+1}~L_n: \|y_{n+1} - y_n\| \geq ge \frac 1 2frac12</tex>. Проделав такое для каждого <tex>L_n</tex>, получим последовательность <tex>y_n</tex>, заметим, что она ограничена 1.

Система Определим <tex>\{z_n = A y_n\}</tex> ограничена. Определим В силу компактности <tex>z_n = A y_n</tex>. В силу компактности A из <tex>\{z_n\}</tex> можно выбрать сходящуюся последовательность точек. Проверим, что это сделать нельзя; , противоречие будет связано с допущением о том, что на <tex>[\alpha;,\|A\|]</tex> бесконечное количество точек.

Составим разность <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - (\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n)</tex>. Проверим, что то, что находится в скобке, принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>. Если это так, то <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - \lambda_{n+p} z = \lambda_{n+p} (y_{n+p} - z)</tex>. По построению <tex>y_n</tex>, <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - z\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex>, в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac 1 2</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности.

Осталось проверить, что <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>L_{n+p-1} = \mathcal{L} \{x_1,\ldots,x_{n+p-1}\}</tex>. <tex>y_{n+p} \in L_{n+p}</tex>, <tex>y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k x_k + \alpha_{n+p} x_{n+p}</tex>. Подействуем A: <tex>A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k A x_k + \alpha_{n+p} A x_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \alpha_k \lambda_k x_k + \alpha_{n+p} \lambda_{n+p} x_{n+p} </tex>. Разность <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} = \sum\limits_{k=1}^{n+p-1} \beta_k x_k \in L_{n+p-1}</tex>. <tex>y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k x_k, A y_n = \sum\limits_{k=1}^n \gamma_k \lambda_k x_k \in L_{n+p-1}</tex> и, следовательно, <tex>\lambda_{n+p} y_{n+p} - A y_{n+p} + A y_n</tex> принадлежит <tex>L_{n+p-1}</tex>.  То что было в скобке обозначим за <tex>t</tex>. Тогда <tex>z_{n+p}-z_n = A y_{n+p} - A y_n = \lambda_{n+p} y_{n+p} - t =\lambda_{n+p}(y_{n+p} - \frac{t}{\lambda_{n+p}})</tex> Получаем: <tex>\|z_{n+p} - z_n\| = |\lambda_{n+p}| \|y_{n+p} - \frac{t}{\lambda_{n+p}}\|</tex>, где первый множитель не меньше <tex>\alpha</tex>, а второй — <tex>\frac 1 2</tex> (по построению <tex>y_n</tex>) , в итоге <tex>\|z_{n+p} - z_n\| \geq \frac{\alpha}{2}</tex> и, значит, из <tex>\{z_n\}</tex> не выделить сходящейся подпоследовательности. Получили противоречие, а значит, на каждом отрезке <tex>[\alpha, \|A\|]</tex> действительно конечное число собственных чисел, и спектр счетен. Осталось проверить, что только <tex>0</tex> может быть предельной точкой. Пусть это не так, и какое-то <tex>\lambda \ne 0</tex> — предельная точка, это означает, что для любого <tex>\forall \varepsilon: 0 < \varepsilon < \frac{\lambda}{2}</tex>, во множестве <tex>[\lambda - \varepsilon, \lambda) \cup (\lambda, \lambda + \varepsilon]</tex> содержится собственное число, то есть в отрезке <tex>[\frac{\lambda}{2}, \|A\|]</tex> содержится счетно-бесконечное число точек спектра, чего быть не может, как мы уже показали выше.