1632
правки
Изменения
м
* Позволяет найти все вхождения образца <tex>p</tex> в строку <tex>s</tex> за время <tex>O(|p| + \log(|s|))</tex>.
* Позволяет вычислить наибольший общий префикс (англ. ''longest common prefix'', ''LCP'') для всех соседних в лексикографическом порядке суффиксов строки <tex>s</tex> за <tex>O(|s|)</tex>, то есть построить массив <tex>LCP[1 .. |s| - 1]</tex>, где <tex>LCP[i]</tex> {{---}} длина наибольшего общего префикса суффиксов <tex>s[suf[i] .. |s|]</tex> и <tex>s[suf[i + 1] .. |s|]</tex>.
* Позволяет найти количество различных подстрок в строке за время <tex>O(|s| \log(|s|))</tex> и <tex>O(|s|)</tex> дополнительной памяти.
* Позволяет найти наименьший циклический сдвиг строки за время <tex>O(|s| \log(|s|))</tex>.
* Позволяет найти максимальную по длине строку, ветвящуюся влево и вправо за время <tex>SA + O(n)</tex>, где <tex>SA</tex> {{---}} время построения суффиксного массива.
'''Строка Поиск самой длинной строки <tex>p</tex>, входящей в строку <tex>t</tex> дважды и не пересекаясь.}}==== Основные положения ====Построим суффиксный массив строки <tex>t</tex> и посчитаем на нем [[Алгоритм_Касаи_и_др.|LCP]].Для суффикса <tex>s</tex> символом <tex>s'</tex> называется ветвящейся вправо будем обозначать индекс этого суффикса в суффиксном массиве. Рассмотрим какие-нибудь суффиксы <tex>i</tex> и <tex>j</tex> строки <tex>t</tex>такие, что <tex>i'\leqslant j'' (англ</tex>. ''right branching string'')Будем говорить, что строка <tex>s</tex> соответствует каким-нибудь суффиксам <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, если существуют символы она равна максимальному префиксу этих суффиксов.Будем говорить, что суффиксы <tex>ci</tex> и <tex>dj</tex> соответствуют строке <tex>s</tex>, такие что если <tex>s</tex> входит в <tex>t</tex> дважды и не пересекаясь, а суффиксы <tex>ci</tex> и <tex>\nej</tex> соответствуют позициям этих вхождений. Для произвольной строки <tex>ds</tex> и двух суффиксов, соответствующих ей, введем два условия: # <tex>sc\max(|i|, |j|) \geqslant \min(|i|, |j|) + |s|</tex> и # <tex>sd|s| = \min\limits_{k=i'\dots j'}lcp[k]</tex> {{---}} подстроки Утверждение|statement=Строка <tex>s</tex> входит в <tex>t</tex>дважды и не пересекаясь тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию 1. Аналогично, |proof= '''ветвящаяся влевоНеобходимое условие:''' (англ Если строка <tex>s</tex> входит в <tex>t</tex> дважды и не пересекаясь, то один из суффиксов <tex>i</tex> и <tex>j</tex> хотя бы на <tex>|s|</tex> длиннее другого. Т.е. условие 1 выполнено. '''Достаточное условие:'left branching'') Из того, что выполняется условие 1 следует, если что один из суффиксов хотя бы на <tex>|s|</tex> длиннее другого. При этом они оба начинаются со строки <tex>css</tex> и . Поэтому строка <tex>dss</tex> {{---}} подстроки входит в <tex>t</tex>дважды и не пересекаясь.
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition=
'''Cуффиксным массивом''' (англ. ''suffix array'') строки <tex>s[1 .. n]</tex> называется массив <tex>suf</tex> целых чисел от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>, такой, что суффикс <tex>s[suf[i]..n]</tex> — <tex>i</tex>-й в [[Лексикографический_порядок|лексикографическом ]] порядке среди всех непустых суффиксов строки <tex>s</tex>.}}
== Пример ==
Значит, суффиксный массив для строки <tex>s</tex> равен <tex>[7, 5, 1, 3, 6, 2, 4]</tex>.
== Восстановление строки по суффиксному массиву ==
{{Задача
|definition = Дан суффиксный массив некоторой строки <tex>s</tex>, необходимо восстановить строку за время <tex>O(|s|)</tex>.
}}
=== Вариант для бесконечного алфавита ===
Так как наш алфавит не ограничен, можно <tex>i</tex>-й в лексикографическом порядке суффикс сопоставить с <tex>i</tex>-й буквой в алфавите.
==== Доказательство корректности ====
Если отсортировать суффиксы, то первые буквы будут расположены в том же порядке, как и в алфавите.
==== Псевдокод ====
'''string''' fromSuffixArrayToString('''int[]''' sa):
'''for''' i = 1 '''to''' n
s[sa[i]] = alphabet[i]
'''return''' s
=== Вариант для минимально возможного ===
Для начала вместо каждого символа строки поставим символ из бесконечного алфавита в промежуточную строку <tex>tmp</tex>, как в решении выше. Пусть, мы рассматриваем <tex>i</tex>-й в лексикографическом порядке суффикс (т.е. и <tex>i</tex>-й символ строки). Его первый символ будет равен первому символу предущего в лексикографическом порядке суффикса, если <tex>tmp[sa[i - 1] + 1] < tmp[sa[i] + 1]</tex>, т.е. и их строки без первого символа так же в лексикографическом порядке. Иначе он должен быть больше, т.к. рассматриваемый суффикс следующий в лексикографическом порядке.
==== Пример ====
Дан суффиксный массив <tex>[7, 5, 1, 3, 6, 2, 4]</tex>.
Цветами показаны места, после которых добавляются новые символы.
[[Файл:ExampleSuffixArray.png|center]]
==== Псевдокод ====
'''string''' fromSuffixArrayToString('''int[]''' sa):
'''for''' i = 1 '''to''' n
tmp[sa[i]] = alphabet[i]
cur = 1
s[sa[1]] = alphabet[1]
'''for''' i = 2 '''to''' n
j = sa[i - 1]
k = sa[i]
'''if''' tmp[j + 1] > tmp[k + 1]
cur++
s[sa[i]] = alphabet[cur]
'''return''' s
==== Доказательство минимальности ====
Докажем от противного. Пусть, есть решение в котором использовано меньше букв. Тогда найдется позиция в которой, наше решение отличается от минимального, причем в минимальном остается та же буква, как в предыдущем суффиксе, а в нашем появляется новая. Рассмотрим эти два подряд идущих суффикса. В решении выше добавится новая буква, только если продолжение первого суффикса лексикографически больше, чем продолжение второго. Получается, что в минимальном решении первый суффикс лексикографически больше, чем второй, что неверно. Пришли к противоречию.
== Применения ==
===Поиск подстроки в строке === {{main|Алгоритм поиска подстроки в строке с помощью суффиксного массива}} === Подсчёт LCP для лексикографически соседних суффиксов === {{main|Алгоритм Касаи и др.}} === Число различных подстрок в строке === Вычисление числа различных подстрок в строке за время <tex>O(|s| \log(|s|))</tex> и <tex>O(|s|)</tex> дополнительной памяти с использованием [[Алгоритм_Касаи_и_др.|LCP]]<ref name="ref1">[http://e-maxx.ru/algo/suffix_array#8 MAXimal :: algo :: Суффиксный массив :: Количество различных подстрок]</ref>. === Максимальная по длине ветвящаяся влево и вправо строка === Данная задача также может быть [[Сжатое_суффиксное_дерево#Поиск строки максимальной длины, ветвящейся влево и вправо|решена]] при помощи [[Сжатое_суффиксное_дерево|суффиксного дерева]]. ===Самая длинная строка p, входящая в t дважды и не пересекаясь === {{ОпределениеЗадача
|definition=
}}
{{Утверждение
|statement=
Если строка <tex>s</tex> является максимальной входящей в <tex>t</tex> дважды, то она удовлетворяет условию 2.
|proof=
Пусть это не так и <tex>|s| < \min\limits_{k=i'\dots j'}lcp[k]</tex> (больше она быть не может). Тогда получим, что <tex>|s|</tex> меньше, чем длина наибольшего общего префикса суффиксов <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, чего быть не может по построению <tex>i</tex> и <tex>j</tex>.
}}
==== Наивный алгоритм ====
# Построим суффиксный массив, посчитаем на нём [[Алгоритм_Касаи_и_др.|LCP]].
# Переберем все пары <tex>i</tex> и <tex>j</tex> такие, что они удовлетворяют условиям 1 и 2 и возьмем среди них максимум по длине строки.
Этот алгоритм можно реализовать за <tex>O(n^3 + \mathrm{SA})</tex> или за <tex>O(n^2 + \mathrm{SA})</tex>, где <tex>\mathrm{SA}</tex> {{---}} время построения суффиксного массива.
==== Оптимальное решение ====
===== Идея =====
Будем перебирать всевозможные подстроки <tex>s</tex> строки <tex>t</tex> такие, что они входят в <tex>t</tex> дважды и удовлетворяют условию 2 при любых <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, где <tex>i</tex> и <tex>j</tex> {{---}} суффиксы, соответствующие двум любым вхождениям <tex>s</tex> в <tex>t</tex> (т.е. не обязательно непересекающимся). Для каждой такой строки <tex>s</tex> попробуем найти <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, удовлетворяющие условию 1.
Таким образом, мы рассмотрим все строки, соответствующие условиям 1 и 2, и, следовательно, найдем ответ. Алгоритм корректный.
Заметим теперь, что искомые строки <tex>s</tex> {{---}} это префиксы суффиксов <tex>k</tex> длины <tex>lcp[k]</tex>.
Для того, чтобы найти для каждой такой строки <tex>s</tex> суффиксы <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, удовлетворяющие условию 1, воспользуемся [[Стек|стеком]].
===== Алгоритм =====
# Будем идти по суффиксному массиву в порядке лексикографической сортировки суффиксов. В стеке будем хранить префиксы уже рассмотренных суффиксов <tex>k</tex> длины <tex>lcp[k']</tex> (т.е. строки <tex>s</tex>) в порядке увеличения длины. Для каждой строки из стека также будем хранить минимальный по длине суффикс <tex>i</tex> и максимальный по длине <tex>j</tex>. Обозначим за <tex>st</tex> вершину стека, а за <tex>s</tex> {{---}} текущий рассматриваемый суффикс.
# Возможны три случая:
#* <tex>|st| = lcp[s']</tex><br>Тогда просто обновляем <tex>i</tex> и <tex>j</tex> для вершины стека.
#* <tex>|st| \geqslant lcp[s']</tex><br>В этом случае добавляем новую вершину в стек и обновляем для неё <tex>i</tex> и <tex>j</tex>.
#* <tex>|st| \leqslant lcp[s']</tex><br>Достаем вершину из стека и ''пробрасываем'' значения <tex>i</tex> и <tex>j</tex> из неё в новую вершину стека. Это нужно для того, чтобы не потерять значения <tex>i</tex> и <tex>j</tex>, которые были посчитаны для строк большей длины, но так же актуальны для строк меньшей длины.
# Если в какой-то момент <tex>i</tex> и <tex>j</tex> станут удовлетворять условию 1, обновляем ответ.
===== Оценка времени работы =====
Т.к. подсчёт <tex>lcp</tex> выполняется за <tex>O(n)</tex>, и для каждого суффикса мы выполняем <tex>O(1)</tex> операций, то итоговое время работы <tex>O(n + \mathrm{SA})</tex>, где <tex>\mathrm{SA}</tex> {{---}} время построения суффиксного массива.
==См. также==
* [[Алгоритм поиска подстроки в строке с помощью суффиксного массива]]
* [[Алгоритм Касаи и др.]]
==Примечания==
<references/>
== Источники ==
