|id=t
|statement=
Пусть <mathtex>g</mathtex> — первообразный корень по модулю <mathtex>p</mathtex><tex>\in\mathbb{P}</tex>. Тогда <mathtex>g</mathtex><sup>a</sup> — ''первообразный корень по модулю <mathtex>p</mathtex> <mathtex>\Leftrightarrow</mathtex> НОД<mathtex>(a;p-1)=1</mathtex>.''<br>
|proof=
Так как g<sup>a</sup> — первообразный корень, значит (g<sup>a</sup>)<sup>φ(p)</sup>=1, но p<tex>\in\mathbb{P}</tex>, поэтому φ(p)=p-1, значит (g<sup>a</sup>)<sup>p-1</sup>=1, и это же справедливо для g: g<sup>p-1</sup>=1. Пусть НОД(a;p-1)=k, k>1, тогда <
mathtex>1=g^{p-1}=(g^{p-1})^{\frac{a}{k}}=(g^{\frac{p-1}{k}})^a=(g^a)^{\frac{p-1}{k}}</
mathtex>. Но, по определению ord, <
mathtex>p-1</
mathtex> — минимальная степень, в которую следует возвести <
mathtex>g^a</
mathtex>, чтобы получить единицу, а <
mathtex>\frac{p-1}{k}<p-1</
mathtex>. Получили противоречие, теорема доказана.
*\cdot Теперь докажем обратную теорему:Пусть существует k такое, что <
mathtex>g^{a\cdot k}=1</
mathtex>, и <
mathtex>k<p-1</
mathtex>. Но <
mathtex>g^{p-1}=1</
mathtex>, значит <
mathtex>g^{a\cdot k}=g^{p-1}</
mathtex>. Следовательно либо <
mathtex>(a
*\cdot k) \vdots (p-1)</
mathtex>, либо <
mathtex>(p-1) \vdots (a
*\cdot k)</
mathtex>. Но по определению первообразного корня, и ord, <
mathtex>p-1 \leqslant a
*\cdot k</
mathtex>, то есть <
mathtex>(a
*\cdot k) \vdots (p-1)</
mathtex>, а так как НОД<
mathtex>(a; p-1)=1</
mathtex>, то <
mathtex>k \vdots (p-1) \Rightarrow p-1 \leqslant k</
mathtex>, что противоречит нашему предположению. Обратная теорема доказана.
}}
{{Теорема
|proof=
Пусть g — первообразный корень.<br>
Во-первых
, при <math>a=k*(p-1)+b \text{, }b<p-1 \colon g^a=(g^{p-1})^{k}*g^b=1\cdot g^{b}</math>. Таким образом есть смысл рассматривать только первообразные корни, образованные из исходного, путем возведения в степень не выше <math>p-1</math>.<br>Во-вторых, исходный первообразный корень существует, так как мультипликативная группа поля вычетов <
mathtex>\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}</
mathtex> циклична (то есть <
mathtex>\exists a\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\colon\forall b\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \text{ } \exists k\colon a^k=b</
mathtex>).<br>Во-вторых, при <tex>
a=k\cdot (p-1)+b \text{, }b<p-1 \colon g^a=(g^{p-1})
^{k}\cdot g^b=1\cdot g^{b}</tex>. Таким образом есть смысл рассматривать только первообразные корни, образованные из исходного, путем возведения в степень не выше <tex>p-1</tex>.<br>По доказанной обратной теореме <
mathtex>\forall a \colon с (a \text{; } p-1)=1 \Rightarrow g^a</
mathtex> — первообразный корень. С другой стороны для любого другого a, по прямой теореме <
mathtex>g^a</
mathtex> не является первообразным корнем. Но по определению <
mathtex>\varphi(p-1)</
mathtex> равно количеству <
mathtex>a \colon </
mathtex> НОД <
mathtex>(a;p-1)=1</
mathtex>. Очевидно, для всех <
mathtex>a<p-1\text{, }g^a</
mathtex> различны. Теорема доказана.
}}
===Теорема о существовании первообразных корней по модулям <tex>2\text{, }4 \text{, }p^n \text{, }2 \cdot p^n</tex>===
{{Теорема
|id=the
|statement= По модулям <tex>2\text{, }4 \text{, }p^n \text{, }2 \cdot p^n</tex> существуют первообразные корни (<tex>p</tex> — простое, нечетное).
|proof=
Легко проверить, что число 1 является первообразным корнем по модулю 2, а число 3 — по модулю 4. Далее будем считать, что <tex>p\in \mathbb{P}\text{, }p>2</tex>.
Сначала разберем случай <math>p^2</math>.
Пусть <tex>g</tex> — первообразный корень по модулю <tex>p\text{, }k=ord_{p^2}(g)</tex>. Тогда <tex>g^k=1(p^2)</tex>, следовательно <tex>g^k=1(p)</tex>, и значит <tex>k\vdots (p-1)</tex>. Также заметим, что <tex>\phi(p^2)=p(p-1)\vdots k</tex>. Получаем два случая — <tex>k=p-1</tex>, и <tex>k=p(p-1)</tex>. Во втором случае получается что <tex>g</tex> — первообразный корень по модулю <tex>p^2</tex>. Теперь рассмотрим первый случай: применим предыдущие рассуждения к числу <tex>g+p</tex> (это возможно, так как <tex>g+p\equiv g (p)</tex>). <tex>(g+p)^{p-1}=g^{p-1}+c^{1}_{p-1}g^{p-2}p+...</tex> — заметим, что все слагаемые, начиная с третьего содержат множитель <tex>p^2</tex> — поэтому обнуляются по модулю <tex>p^2</tex>. <tex>g^{p-1}=1(p^2)</tex>, а <tex>c^{1}_{p-1}g^{p-2}p=p(p-1)g^{p-2}\neq 0(p^2)</tex>, значит <tex>(g+p)^{p-1}\neq 1(p^2)</tex>, значит число <tex>k</tex>, для <tex>g+p</tex> не может быть равно <tex>p-1</tex>, тогда <tex>g+p</tex> — первеобразный корень по модулю <tex>p^2</tex>. Аналогичным образом, если имеется первообразный корень по модулю <tex>p^a</tex> отыскивается первообразный корень по модулю <tex>p^{a+1}</tex>.
Таким образом остается разобрать случай <tex>2\cdot p^n</tex>. Пусть <tex>g</tex> — первообразный корень по модулю <tex>p^n</tex>. Утверждается, что нечетное из <tex>g</tex> и <tex>g+p^n</tex> - первообразный корень по модулю <tex>2\cdot p^n</tex>. Переобозначим это нечетное число за <tex>g</tex>, для удобства. Пользуяся свойствами [[Функция Эйлера|функции Эйлера]], получим <tex>\phi (2\cdot p^n)=\phi(2)\cdot\phi(p^n)=\phi(p^n)<tex>. По определению <tex>g</tex> имеем <tex>ord_{p^n}(g)=\phi(p^n)</tex>, а так же <tex>(g;2\cdot p^n)=1</tex>. Отсюда очевидно получаем <tex>ord_{2\cdot p^n}(g)\geqslant ord_{p^n}(g)=\phi(p^n)=\phi(2 \cdot p^n)</tex>. Но порядок числа по любому взаимнопростому с этим числом модулю не может превосходить значения [[Функция Эйлера|функции Эйлера]] от этого модуля, то есть <tex>ord_{2\cdot p^n}(g)\leqslant \phi(2\cdot p^n)=\phi(p^n)</tex>. Получаем <tex>ord_{2 \cdot p^n}(g)=\phi(2 \cdot p^n)</tex>, что и требовалось доказать.
}}
{{Утверждение
|id=utv
|about=Об отсутствии первообразных корней по остальным модулям
|statement=Первообразных корней по модулям кроме <tex>2\text{, }4 \text{, }p^n \text{, }2 \cdot p^n</tex> (<tex>p</tex> — простое, нечетное) не существует.
|proof=
Предположим обратное. Выберем такой модуль <tex>n</tex>. <tex>n=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot ...\cdot p_m^{k_m}</tex>. Пусть <tex>g</tex> — первообразный корень по модулю <tex>n</tex>. <tex>\phi(n)=\phi(p_1^{k_1})\cdot \phi(p_2^{k_2})\cdot ... \cdot \phi(p_m^{k_m})=(p_1-1)p_1^{k_1-1} \cdot (p_2-1)p_2^{k_2-1}\cdot ... \cdot (p_m-1)p_m^{k_m-1}</tex>. Верна следующая система уравнений:
<br>
<tex>
\begin{cases}
g^{(p_1-1)p_1^{k_1-1}}=1(mod~ p_1^{k_1})\\
g^{(p_2-1)p_2^{k_2-1}}=1(mod~ p_2^{k_2})\\
\dots\\
g^{(p_m-1)p_m^{k_m-1}}=1(mod~ p_m^{k_m})\\
\end{cases}
\\
</tex>
<br>
Однако, очевидно, что <tex>\forall i~z=\phi(n)/2= \frac{(p_1-1)p_1^{k_1-1} \cdot (p_2-1)p_2^{k_2-1}\cdot ... \cdot (p_m-1)p_m^{k_m-1}}{2} \vdots (p_i-1)p_i^{k_i-1}</tex>. Тогда получим следующую систему:
<br>
<tex>
\begin{cases}
g^z=1(mod~ p_1^{k_1})\\
g^z=1(mod~ p_2^{k_2})\\
\dots\\
g^z=1(mod~ p_m^{k_m})\\
\end{cases}
\\
</tex>
<br>
Но тогда <tex>g^z=1(mod~ n)</tex>. Но по определению <tex>ord_n(g)=\phi(n)</tex>, а <tex>z<\phi(n)</tex> — получили противоречие.
}}
[[Категория: Теория чисел]]
