Изменения

==ВведениеЗадача о динамической связности=={{Задача|definition = Для решения задачи о динамической связности (англ.''dynamic connectivity problem'') требуется выполнение следующих операцийдинамически изменяющегося дерева выполнить следующие запросы:* '''<tex>\mathrm{link(u, w)}</tex>''' {{---}} добавить ребро <tex>(u, w) </tex> (при условии, что вершины <tex>u </tex> и <tex>w </tex> принадлежат разным деревьям),* '''<tex>\mathrm{cut(u, w)}</tex>''' {{---}} разрезать ребро <tex>(u, w) </tex> (при условии, что ребро <tex>(u, w) </tex> принадлежит дереву),* '''<tex>\mathrm{isConnected(u, w)}</tex>''' {{---}} определить принадлежат ли вершины <tex>u </tex> и <tex>w </tex> одной компоненте связности.}}

'''Дерево Для решения поставленной задачи будем представлять дерево в виде его [[Эйлеровость графов|эйлерова обхода''' графа]], а затем будем работать с [[Эйлеровость графов|эйлеровым обходом]] (англ.''Euler tour tree'') {{---}} способ представления динамического дерева, позволяющий этого графа. Это позволит выполнять указанные операции запросы за <tex>O(\log n)</tex>.

==Свойство эйлерова обхода== Представим дерево в виде последовательности вершин, посещеннных посещенных в порядке эйлерова обхода , начиная с корнем в вершине вершины <tex>a</tex>.

==Операцииc эйлеровыми обходами== ===Изменение корня дерева (переподвешивание)===Дано дерево с корнем в вершине <tex>a</tex>. Требуется переподвесить его к вершине <tex>h</tex>. [[Файл:Tour13.png |thumb|320px|center]] Для переподвешивания (англ. ''rerooting'') необходимо:*Разбить эйлеров обход на три части <tex>S1 </tex>, <tex>H</tex>, и <tex>S2 </tex>, где <tex>H</tex> состоит из вершин между первым и последним вхождением нового корня <tex>h</tex>.*Удалить первую вершину в <tex>S1 </tex>.*Соединить в следующем порядке: <tex>H</tex>, <tex>S2 </tex>, <tex>S1 </tex>.*Добавить <tex>\{h\}</tex> в конец последовательности. В результате получим: [[Файл:Proba.png |center]]

[[ФайлДля добавления ребра <tex>(c, g)</tex>:Link11.png |thumb|400px|center]] Для связывания деревьев *Выберем любое вхождение вершины <tex>T1 c</tex> и в эйлеров обход дерева <tex>T2T1</tex>, где .*Разрежем эйлеров обход <tex>c\in T1\ </tex>, а на две части:*: <tex>g\in T2\A1</tex> добавлением ребра {{---}} часть обхода до выбранного вхождения вершины <tex>\{c, g\} \</tex> необходимо:, включая ее.*Переподвесить дерево : <tex>T1A2</tex> к вершине {{---}} часть обхода после выбранного вхождения вершины <tex>c</tex>, включая ее.*Переподвесить дерево Аналогично, выберем любое вхождение вершины <tex>g</tex> в эйлеров обход дерева <tex>T2</tex> к вершине и разрежем его на две части <tex>B1</tex> и <tex>gB2</tex>.*Соединить получившиеся эйлеровы обходы.*Добавить Соберем результирующий эйлеров обход в порядке <tex>A1, B2, B1</tex> (без первой повторяющейся вершины), <tex>\{c\}A2</tex> в конец последовательности. [[Файл:Link2.png|thumb|400px |center]]

[[Файл:Link3Link22.png|thumb|400px|center|Рис.1a Исходный лес <br>Рис.1b Эйлеровы обходы деревьев<br> Рис.1с Двоичные деревья поиска для хранения эйлеровых обходов <br> Рис.1d Результирующий эйлеров обход]]

Рассмотрим следующие структуры данных для определения времени выполнения разбиения Для удаления ребра <tex>(g, j)</tex>:*Найдем в эйлеровом обходе дерева <tex>T</tex> две пары посещений концов удаляемого ребра <tex>g,j</tex> и соединения последовательностей<tex>j,g</tex>, которые соответствуют прохождениям по ребру <tex>(g, j)</tex> в дереве <tex>T</tex>.*Разрежем эйлеров обход дерева по этим парам на три части: <tex>A1, A2, A3</tex>.*Соединив <tex>A1</tex> и <tex>A3</tex> (без повторяющейся первой вершины), получим эйлеров обход первого дерева, а также определение принадлежности вершин одной компоненте связности<tex>A2</tex> дает эйлеров обход второго дерева.

[[Файл:Linked listsLink23.png |thumb|400px|center|Рис.1a Исходное дерево <br>Рис.1b Эйлеров обход исходного дерева<br> Рис.1с Двоичное дерево поиска для хранения эйлерового обхода <br> Рис.1d Эйлеровы обходы получившихся деревьев]]

ОднакоБудем хранить последовательность вершин эйлерова обхода в виде сбалансированного двоичного дерева поиска, например,используя в виде [[СписокКрасно-черное дерево|двусвязные спискикрасно-черного дерева]] определение принадлежности вершин одной компоненте связности занимает <tex>O(\log n)</tex> в худшем случае. При построении дерева ключом вершины будет время посещения этой вершины эйлеровым обходом.

Операции объединения и разделения красно-черных деревьев выполняется за <tex>O(\log n)</tex><ref>[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.109.4875&rep=rep1&type=Balanced pdf Ron Wein {{---}} Efficient Implementation of Red-Black Trees===[[Файл:Balanced tree.png |center|Пример ]]</ref>.

Представим последовательность вершин эйлерова обхода в виде сбалансированного двоичного дерева. Будем использовать [[Красно-черное ===Декартово дерево|красно-черное дерево]].по неявному ключу===

Объединение и разделение красно-черных деревьев выполняется за Также, можем хранить последовательности вершин эйлерова обхода в [[Декартово_дерево_по_неявному_ключу|декартовом дереве по неявному ключу]]. Глубина декартового дерева, построенного на массиве из <tex>n</tex> вершин, будет поддерживаться равной <tex>O(\log n)</tex>.

Для каждой вершины храним указатели на её первое Операции объединения и последнее вхождение в последовательность. Значит, имеем доступ к ним разделения также выполняются за <tex>ОO(1\log n)</tex>.

Запрос о принадлежности вершин к одной компоненте связности выполняется за O(log n) проверкой лежат ли эти вершины в одном дереве==См.также==* [[Link-Cut Tree]]