1632
правки
Изменения
м
{{Определение
|definition = '''[[Комбинаторные объекты]]''' (англ. ''combinatorial objects'') {{---}} конечные множества, на элементы которых могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п.}}
Следовательно предположение индукции верно для всех возможных префиксов любой длины.
{{Определение|definition='''Рассмотрим алгоритм получения случайного [[Комбинаторные объекты#Битовые вектора|Битовые битового вектора]]''' (англ. ''Bit vectors'') {{---}} последовательность нулей и единиц заданной длины.}}Рассмотрим алгоритм получения случайного битового вектора. В битовом векторе может находиться только два типа элементов: <tex> 0 </tex> и <tex> 1 </tex>, следовательно <tex> k = 2 </tex>. Заметим что для любого префикса длины <tex> l </tex> число возможных комбинаторных объектов длины <tex> n </tex> одинаково и равно <tex> 2^{n-l} </tex>, следовательно на каждом шаге алгоритма небходмо выбирать с равной вероятностью <tex> 0 </tex> или <tex> 1 </tex>
Рассмотрим алгоритм получения случайной правильной скобочной последовательности. Правильная скобочная последовательность состоит из двух типов элементов: открывающей и закрывающей скобок, следовательно <tex> k = 2 </tex>. {{Определение|definition='''Полуправильная скобочная последовательность''' (анлг. ''Semi-Correct Bracket Sequence'') {{---}} скобочная последовательность такая, что всякой закрывающей скобке соответствует парная открывающая, но не все открытые скобки закрыты.}}Рассмотрим полуправильные скобочные последовательности. Такую последовтеьность можно охарактеризовать двумя числами: <tex> l </tex> {{---}} — длина скобочной последовательности и <tex> b </tex> — баланс {{---}} баланс (т.е. разность между количеством открывающих и закрывающих скобок). Заметим что любой префикс правильной скобочной последовательности является полуправильной скобочной последовательностью, и что для любого префикса <tex> P </tex> длины <tex> l </tex> число различных правильных скобочных последовательностей длины <tex> n </tex> равно числу полуправильных скобочных последовательностей длины <tex> n-l </tex> с таким же балансом как у <tex> P </tex>.
Сложность Итоговая сложность алгоритма {{---}} <tex> O(n) </tex> при условии что <tex> D[l][b] </tex> известно для любых <tex> l, b \mid l <= n, b <= n </tex>. Преподсчет <tex> D </tex> можно выполнить динамически за <tex> O(n^2) </tex>.
{{Определение
|definition=[[Комбинаторные объекты#Разбиение на подмножества|'''Разбиение множества''' <tex>X</tex> '''на подмножества''']] (англ. ''Partition of a set'') {{---}} семейство непустых множеств <tex>\{U_{\alpha}\},{\alpha \in A}</tex>, где <tex>A</tex> {{---}} некоторое множество индексов, если:
# <tex>U_{\alpha} \cap U_{\beta} = \emptyset</tex> для любых <tex>\alpha, \beta \in A</tex>, таких что <tex>\alpha \not= \beta</tex>;
# <tex>X = \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}</tex>.
}}
rollbackEdits.php mass rollback
{{Задача
|definition = Необходимо сгенерировать случайный [[Комбинаторные объекты|комбинаторный объект ]] размера <tex> n </tex> с равномерным распределением вероятности, если в наличии есть функция для генерации случайного числа в заданном интервале.
}}
== Описание алгоритма ==
Пусть <tex> B = \{b_1, b_2 \ldots, b_k\} </tex> {{---}} множество различных элементов, которые могут находиться в данном комбинаторном объекте.
'''Переход:''' Пусть вероятность получить префикс <tex> P </tex> длины <tex> l </tex> равна <tex> \dfrac{S(P)}{C(n)} </tex>. Вероятность получить из <tex> P </tex> некоторый префикс <tex> P' </tex> длины <tex> l+1 </tex> равна <tex> \dfrac{S(P')}{S(P)} </tex> , следовательно вероятность получить
префикс <tex> P' </tex> равна <tex> \dfrac{S(P)}{C(n)} </tex><tex>\cdot</tex><tex> \dfrac{S(P')}{S(P)} </tex> что равно <tex> \dfrac{S(P')}{C(n)} </tex>.
}}
=== Битовые вектора ===
'''vector<int>''' randomBitVector(n: '''int'''): <font color = green> // <tex> n </tex> {{---}} размер битового вектора.</font>
=== Правильные скобочные последовательности ===
Рассмотрим алгоритм получения случайной [[Правильные скобочные последовательности|правильной скобочной последовательности]]. Правильная скобочная последовательность состоит из двух типов элементов: открывающей и закрывающей скобок, следовательно <tex> k = 2 </tex>.
{{Определение
|definition ='''[[Правильные скобочные последовательности|Правильная Полуправильная скобочная последовательность]]''' (анлгангл. ''Correct Bracket SequenceSemi-correct bracket sequence'') {{---}} частный случай скобочной последовательности, определяющийся следующими образами: *<tex>\varepsilon</tex> (пустая строка) есть правильная скобочная последовательность;*пусть <tex>S</tex> {{---}} правильная скобочная последовательность, тогда <tex>(S)</tex> есть правильная скобочная последовательность;*пусть <tex>S1</tex>такая, <tex>S2</tex> {{---}} правильные скобочные последовательностичто всякой закрывающей скобке соответствует парная открывающая, тогда <tex>S1S2</tex> есть правильная скобочная последовательность;но не все открытые скобки могут быть закрыты.
}}
Научимся считать <tex> D[l][b] </tex> {{---}} число последовательностей длины <tex> l </tex> и баланса <tex> b </tex>. Если <tex> l = 0 </tex>, то ответ понятен сразу: <tex> D[0][0] = 1 </tex>, все остальные <tex> D[0][b] = 0 </tex>. Пусть теперь <tex> l > 0 </tex>, тогда переберём, чему мог быть равен последний символ этой последовательности. Если он был равен <tex> '(' </tex>, то до этого символа мы находились в состоянии <tex> (l-1,b-1) </tex>. Если он был равен <tex>')'</tex>, то предыдущим было состояние <tex>(l-1,b+1)</tex>. Таким образом, получаем формулу:
<tex>D[l][b] = D[l-1][b-1] + D[l-1][b+1]</tex>
(считается, что все значения <tex> D[l][b] </tex> при отрицательном <tex>b</tex> равны нулю). Этот преподсчет можно выполнить за <tex>O(n^2)</tex>.
Будем строить префикс следующим образом: на каждом шаге интервал случайных чисел <tex> [0, s] </tex> (где <tex> s = D[n-l][b] </tex>) , будет разбиваться на два диапазона размерами <tex> D[n-l-1][b+1] </tex> и <tex> D[n-l-1][b-1] </tex> , и к префиксу будет прибавляться <tex>'('</tex> или <tex>')'</tex> если случайное число попало в первый или второй диапазон соответственно.
s = D[n - l][b]
r = random(1, s)
'''if''' D[n - l - 1][b + 1] <tex> \geqslant </tex>= r
l = l + 1
b = b + 1
'''return''' result
=== Разбиения на множества ===
==== Разбиение на <tex> k </tex> подмножеств ====
Рассмотрим множество первых <tex> n </tex> натуральных чисел: <tex> N_n = \{1, 2, \ldots, n\} </tex>. Необходимо разбить построить его [[Комбинаторные объекты#Разбиение на подмножества|разбиение на <tex> k </tex> непустых подмножеств ]] <tex> \{B_1, B_2, \ldots, B_k\} </tex> с равным распределением вероятности.
Будем строить разбиение таким образом, чтобы в результате подмножества <tex> \{B_1, B_2, \ldots, B_k\} </tex> оказались отсортированы в лексикографическом порядке (т.е. чтобы для любых <tex>i, j \mid 1 \leqslant i < j \leqslant k </tex> наименьший элемент <tex> B_i </tex> был меньше наименьшего элемента <tex> B_j </tex>). Для этого будем по очереди добавлять каждое число от <tex> n </tex> до <tex> 1 </tex> в одно из подмножеств и для каждого из подмножеств начиная с <tex> B_n </tex> и заканчивая <tex> B_1 </tex> будем выбирать какой элемент будет добавлен в него последним(т.е. будет минимальным).
На каждом шаге префиксом считаем текущее разбиение. Оно характеризуется двумя значениями: <tex> l </tex> {{---}} — число добавленных элементов и <tex> m </tex> {{---}} — число подмножеств для которых определен последний элемент. Заметим, что количество разбиений на подмножества с заданным префиксом равно числу способов разбить еще не добавленные элементы на еще не законченные подмножества так, чтобы они оказались лексикографически упорядочены, то есть равно числу разбиений <tex> n-l </tex> элементов на <tex> k-m </tex> непустых подмножеств, что равно <tex> \genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n-l}{k-m} </tex> ([[Числа Стирлинга второго рода|числу Стирлинга второго рода]]). Таким образом из префикса <tex> P </tex> мы можем получить следующий префикс <tex> P' </tex> двумя способами:
*Добавить текущий элемент (<tex> n-l </tex>) в одно из <tex> k-m </tex> незаконченных подмножеств. В таком случае число обьектов с префиксом <tex> P' </tex> будет равно <tex> \genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n-l-1}{k-m} </tex> .
*Сделать текущий элемент последним в подмножестве <tex> B_{k-m} </tex> . В таком случае это подмножество станет законченым, следовательно число обьектов с префиксом <tex> P' </tex> будет равно <tex> \genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n-l-1}{k-m-1} </tex>.
s = stirling(n - l, k - m) <font color = green> // <tex> stirling(a, b) </tex> {{---}} функция возвращающая число Стирлинга второго рода для заданных аргументов. </font>
r = random(1, s)
'''if''' stirling(n - l - 1, k - m - 1) <tex> \geqslant </tex>= r
result[i] = k - m <font color = green> // <tex> result[i] </tex> {{---}} номер подмножества в котором находится элемент <tex> i </tex>. </font>
l = l + 1
