Неразложимые элементы, ассоциированные элементы и разложение на множители в целостных кольцах

Неразложимый элемент

Определение:

Пусть [math]R[/math] — область целостности, тогда [math]p \in R[/math] называется неразложимым, если [math]p\neq 1[/math] и из того, что [math]p=a\cdot b \Rightarrow a=1[/math] или [math]b=1[/math].

Ассоциированный элемент

Определение:

Если [math]a\vdots b[/math] и [math]b\vdots a[/math], то [math]a[/math] и [math]b[/math] — ассоциированные элементы.

Теорема:

Если [math]a[/math] и [math]b[/math] — ассоциированные, то [math]a\div b[/math] — обратимый элемент.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]a = b\cdot c[/math], [math]b = a\cdot d[/math], тогда [math]a=b\cdot c=a\cdot d\cdot c \Rightarrow a\cdot (1-d\cdot c)=0 \Rightarrow 1-d\cdot c=0, d\cdot c=1 \Rightarrow c\cdot d[/math] — обратимый элемент.

[math]\triangleleft[/math]

Разложение на множители в целостных кольцах

Определение:

[math]R[/math] — кольцо с однозначным разложением на множители, если элемент представим в виде умножения неразложимых элементов.