Лемма Гаусса для вычисления квадратичного характера числа по простому модулю

Эта статья находится в разработке!

Лемма Гаусса для вычисления квадратичного характера числа по простому модулю

Лемма (Гаусс, Вычисление квадратичного характера числа по простому модулю):

[math]\left(\cfrac{a}{p}\right)=(-1)^{\mu}[/math], где [math]\mu[/math] — число отрицательных вычетов в ряде абсолютно-наименьших вычетов произведений [math]1\cdot a,~2\cdot a, \dots,~\frac{p-1}{2}\cdot a[/math] по модулю [math]p[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]\pm\varepsilon_i[/math] — наименьший вычет для [math]i \cdot a[/math], где [math]\varepsilon_i[/math] положительно. Когда [math]i[/math] пробегает значения между 1 и [math]\frac{p-1}{2}[/math], [math]\mu[/math] будет числом получившихся при этом знаков минус.[math]\varepsilon_i\ne\varepsilon_j[/math], при [math]i\ne j[/math]. Перемножая сравнения [math]1\cdot a \equiv \pm\varepsilon_1(mod~p),~2\cdot a \equiv \pm\varepsilon_2(mod~p), \dots, ~(\frac{p-1}{2})\cdot a \equiv \pm\varepsilon_{\frac{p-1}{2}}(mod~p)[/math], получаем: [math](\frac{p-1}{2})!\cdot a^{\frac{p-1}{2}}\equiv (-1)^{\mu}\cdot(\frac{p-1}{2})! (mod~p)[/math]. Значит [math]a^{\frac{p-1}{2}}\equiv (-1)^{\mu}(mod~p);~a^{\frac{p-1}{2}}\equiv \left(\cfrac{a}{p}\right)~\Rightarrow ~ \left(\cfrac{a}{p}\right)=(-1)^{\mu}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Квадратичный характер числа 2 по простому модулю

Итак, нас интересует [math]\left(\cfrac{2}{p}\right)[/math]. В лемме Гаусса для числа 2, без учета требования того, что члены ряда — абсолютно-наименьшие, получим ряд [math]2,4,\dots,p-1[/math]. Применяя опущенное требование получим, что все члены ряда, меньшие [math]\frac{p}{2}[/math] останутся положительными, а остальные — станут отрицательными. Рассмотрим 4 случая:

1. [math]p=1(mod~8)[/math]
2. [math]p=3(mod~8)[/math]
3. [math]p=5(mod~8)[/math]
4. [math]p=7(mod~8)[/math]

• Перый случай: [math]p=1(mod~8)\Rightarrow \frac{p-1}{2}=0 (mod~4)[/math]. Получается в лемме Гаусса количество чисел в ряде кратно 4. Рассмотрим два центральных числа — с номером [math]\frac{p-1}{4}[/math], и с номером [math]\frac{p-1}{4}+1[/math]. Очевидно первое из них положительно, и равно [math]\frac{p-1}{2}[/math], а второе отрицательно, и равно [math]\frac{p-1}{2}+2-p=\frac{p+3}{2}+p[/math]. Значит все числа делятся ровно пополам, и первые [math]\frac{p-1}{4}[/math] из них — положительны, а остальные — отрицательны. Но так как [math]\frac{p-1}{2}\vdots 4[/math], то в каждой половине четное количество чисел, значит количество знаков "минус" в ряде четное, значит, по лемме Гаусса, [math]\left(\cfrac{2}{p}\right) =1[/math].
  
• Второй случай: [math]p=3(mod~8)\Rightarrow \frac{p-1}{2}=1 (mod~4)[/math]. Значит в лемме Гаусса количество чисел в ряде нечетно, причем если убрать одно число, то все остальные будут делиться на равные две части, количество чисел в каждой из которых — четно. Значит требуется узнать, является ли среднее число положительным, или отрицательным. Его номер [math]\frac{\frac{p-1}{2}-1}{2}+1[/math], следовательно оно равно [math]\frac{p-1}{2}-1+2=\frac{p+1}{2}\gt \frac{p}{2}[/math] — значит оно отрицательно, то есть в ряде четное число положительных, и нечетное число отрицательных чисел, значит [math]\left(\cfrac{2}{p}\right)=-1[/math].
  
• Третий случай: [math]p=5(mod~8)\Rightarrow \frac{p-1}{2}=2 (mod~4)[/math]. Получаем ситуацию как в первом случае, с тем отличием, что в каждой половине ряда нечетное количество чисел — значит отрицательных чисел нечетное количество, и значит [math]\left(\cfrac{2}{p}\right)=-1[/math].
  
• Четвертый случай: [math]p=7(mod~8)\Rightarrow \frac{p-1}{2}=3 (mod~4)[/math]. Аналогично второму случаю, но при разбиение на две половины, количество чисел в каждой из них — нечетно. Число в середине так же получим отрицательное, значит всего отрицательных чисел четное количество, и [math]\left(\cfrac{2}{p}\right)=1[/math].