Поиск k-ой порядковой статистики

Эта статья находится в разработке!

Определение:

[math]k[/math]-ой порядковой статистикой набора элементов линейно упорядоченного множества называется такой его элемент, который является [math]k[/math]-ым элементом набора в порядке сортировки

Модификация QuickSort

Описание алгоритма

Будем использовать процедуру рассечения массива элементов из алгоритма сортировки QuickSort. Пусть нам надо найти [math]k[/math]-ую порядковую статистику, а после рассечения опорный элемент встал на позицию [math]m[/math]. Возможно три случая:

• k = m. Порядковая статистика найдена.
• k < m. Рекурсивно ищем [math]k[/math]-ую статистику в первой половине массива.
• k > m. Рекурсивно ищем [math](k - m - 1)[/math]-ую статистику во второй половине массива.

Код алгоритма

Ниже представлен код представленного алгоритма. При реализации, однако, вместо рекурсивных вызовов изменяются границы поиска статистики во внешнем цикле. В коде счититаем, что процедура partition принимает массив и границы отрезка, который будет рассечён (причём правая граница отрезка не включается) и возвращает индекс опорного элемента. Также, считается, что массив индексируется с нуля.

int findOrderStatistic(int[] array, int k) {
  int left = 0, right = array.length;
  while (true) {
    int mid = partition(array, left, right);

    if (mid == k) {
      return array[mid];
    }
    else if (k < mid) {
      right = mid;
    }
    else {
      k -= mid + 1;
      left = mid + 1;
    }
  }
}

Анализ времени работы

Аналогично QuickSort, может возникнуть такой же худщий случай (процедура partition возвращает каждый раз левую или правую границу рассматриваемой части), при котором время работы составит [math]\Omega(n^2)[/math]. Однако, если считать, что partition возвращает все элементы рассматриваемого отрезка с равной вероятностью, то можно оценить матожидание времени работы как [math]O(n)[/math].