278
правок
Изменения
Нет описания правки
# Найдите ЭПФ для чисел Эйлера I рода
# Найдите ЭПФ для чисел Эйлера II рода
# В этом и следующих заданиях нужно выразить ПФД в замкнутом виде, возможно, используя $\zeta(s)$. Обозначим как $\sigma_k(n)$ сумму $d^k$, где $d$ пробегает все делители $n$ . Найдите ПФД для $\sigma_1(n)$
# Найдите ПФД для $\sigma_k(n)$.
# Найдите ПФД для последовательности $a_n$, где $a_n = 1$ если $n$ является квадратом целого числа, и $a_n = 0$ иначе.
# Найдите ПФД для последовательности $a_n$, где $a_n = 1$ если $n$ свободно от квадратов, и $a_n = 0$ иначе.
# Зная ПФД для последовательности $a_n$, найдите ПФД для последовательности $a_n \cdot \ln n$.
# Функция Мангольдта $\Lambda_n$ равна $\ln p$, если $n = p^k$ для некоторого $k \ge 1$, и 0 иначе. Найдите ПФД для последовательности $\Lambda_n$.
# Докажите, что если $f(n)$ - мультипликативная функция, то $g(n) = \sum\limits_{d | n} f(d)$ тоже мультипликативна.
# Докажите, что свертка Дирихле двух мультипликативных функций мультипликативна.
# Докажите, что обратная по Дирихле функция к мультипликативной функции мультипликативна.
# Используя ПФД, докажите, что $\sum\limits_{d | n}\varphi(d) = n$
# Используя ПФД, докажите, что $\sum\limits_{d | n}\sigma_1(d)\varphi(n/d) = n \sigma_0(n)$.
# Назовем функцию полностью мультипликативной, если $f(ab) = f(a)f(b)$ для любых $a$ и $b$. Какие значения $f(n)$ достаточно задать, чтобы определить $f$ на всех положительных натуральных числах?
# Найдите ПФД для функции $\lambda(n) = (-1)^k$, где $k$ - количество простых делителей $n$ (с учетом кратности). Чему равна $\sum\limits_{d | n} \lambda(d)$?
# Рассмотрим строки из 0 и 1. Скажем, что строка $s$ периодичная, если ее можно представить как $k$ копий одной строки $p$: $s = p^k$ для некоторого $k > 1$. Выведите формулу для количества апериодичных строк для произвольного $n$. Указание: используйте формулу обращения Мебиуса.
# Найдите ПФД для последовательности $a_n = $ количество упорядоченных разбиений числа $n$ на (не обязательно простые) $k$ множителей, множитель 1 разрешен.
# Найдите ПФД для последовательности $a_n = $ количество упорядоченных разбиений числа $n$ на $\ge 0$ (не обязательно простых) множителей, множитель 1 запрещен.
# Найдите ПФД для последовательности $a_n = 2^{\omega(n)}$, где $\omega(n)$ - количество различных простых делителей $n$.
# Найдите ПФД для последовательности $a_n = 3^{\omega(n)}$, где $\omega(n)$ - количество различных простых делителей $n$.
# Докажите, что объединение перечислимых языков перeчислимо, используя перечислители (не выполняйте сведение к полуразрешителю).
# Докажите, что пересечение перечислимых языков перeчислимо, используя перечислители.
# Докажите, что конкатенация перечислимых языков перeчислима.
# Докажите, что замыкание Клини перечислимого языка перeчислимо.
# Докажите, что декартово произведение перечислимых языков перeчислимо.
# Докажите, что проекция перечислимого языка пар на каждую из осей перечислима.
# Пусть $A \subset \Sigma^*$. Функция $f:A \to \Sigma^*$ называется вычислимой, если существует программа, которая по входу $x \in A$ выдает $f(x)$, а на входах не из $A$ зависает. Приведите пример невычислимой функции.
# Графиком функции $f$ называется множество пар $(x, f(x))$ для тех $x$, на которых $f$ определена. Докажите, что функция вычислима тогда и только тогда, когда ее график перечислим.
# Докажите, что образ перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.
# Докажите, что прообраз перечислимого множества под действием вычислимой функции перечислим.
# В этой и последующих задачах вместо разрешимых и перечислимых языков рассматриваются разрешимые и перечислимые множества натуральных чисел. Это на самом деле одно и то же, достаточно установить естественную биекцию между натуральными числами и словами в градуированном лексикографическом порядке. Теорема об униформизации. Пусть $F$ — перечислимое множество пар натуральных чисел. Докажите. что существует вычислимая функция $f$, определённая на тех и только тех $x$, для которых найдётся $y$, при котором $\langle x,y\rangle \in F$, причём значение $f(x)$ является одним из таких $y$
# Даны два перечислимых множества $X$ и $Y$. Докажите, что найдутся два непересекающихся перечислимых множества $X'$ и $Y'$, таких что $X' \subset X$, $Y' \subset Y$, $X' \cup Y' = X \cup Y$.
# Докажите, что если перечислимое множество перечислимо в возрастающем порядке, то оно является разрешимым.
# Докажите, что любое бесконечное перечислимое множество содержит бесконечное разрешимое подмножество.
# Покажите, что для всякой вычислимой функции $f$ существует вычислимая функция, являющаяся «псевдообратной» к $f$ в следующем смысле: область определения $g$ совпадает с областью значений $f$, и при этом $f(g(f(x))) = f(x)$ для всех $x$, при которых $f(x)$ определено.
# Покажите, что следующие три свойства множества $X$ равносильны: (1) $X$ можно представить в виде $A \setminus B,$ где $A$ — перечислимое множество, а $B$ — его перечислимое подмножество; (2) $X$ можно представить в виде $A \setminus B$, где $A$ и $B$ — перечислимые множества; (3) $X$ можно представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств.
# Покажите, что множество $X$ можно представить в виде $A\setminus (B \setminus C)$, где $A \supset B \supset C$ — перечислимые множества, если и только если его можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств.
# Покажите, что существует множество, которое можно представить в виде симметрической разности трёх перечислимых множеств, но нельзя представить в виде симметрической разности двух перечислимых множеств
