Алгоритм поиска подстроки в строке с помощью суффиксного массива

Рассмотрим такую задачу: у нас есть образец [math] p [/math], строка [math] s [/math], суффиксный массив [math] array [/math], построенный для строки [math] s [/math]. Необходимо найти все вхождения образца [math] p [/math] в строку [math] s [/math].

Для наглядности рассмотрим такой пример: образец iss , строка mississippi .
Вот суффиксный массив для данной строки:

#	суффикс	номер суффикса
1	i	11
2	ippi	8
3	issippi	5
4	ississippi	2
5	mississippi	1
6	pi	10
7	ppi	9
8	sippi	7
9	sissippi	4
10	ssippi	6
11	ssissippi	3

Способы поиска

Простейший поиск подстроки

Простейший способ узнать, встречается ли образец в тексте, используя суффиксный массив, это взять первый символ образца и бинарным поиском по суффиксному массиву (массив у нас отсортирован) найти диапазон с суффиксами, начинающимися на такую же букву. Так как все элементы в полученном диапазоне отсортированы, а первые символы одинаковые, то оставшиеся после отбрасывания первого символа суффиксы тоже отсортированы. А значит, можно повторять процедуру сужения диапазона поиска уже по второму, затем третьему и так далее символу образца до получения либо пустого диапазона, либо успешного нахождения всех символов образца. Бинарный поиск работает за время равное [math] O(log|s|) [/math], а сравнение суффикса с образцом не может превышать длины образца. Таким образом время работы алгоритмы [math] O(|p|log|s|)[/math].
В примере поиск будет выглядеть так:

образец	iss	iss	iss
	i	i	i
	ippi	ippi	ippi
	issippi	issippi	issippi
	ississippi	ississippi	ississippi
	mississippi	mississippi	mississippi
	pi	pi	pi
	ppi	ppi	ppi
	sippi	sippi	sippi
	sissippi	sissippi	sissippi
	ssippi	ssippi	ssippi
	ssissippi	ssissippi	ssissippi

В примере показано, какие суффиксы на каждом шаге алгоритма удовлетворяют нашему образцу: на [math] i [/math]-ом шаге суффикс является подходящим, если [math] i [/math] его первых символов совпадают с [math] i [/math] первыми символами образца. Каждый шаг к рассмотрению добавляется лишь один новый символ образца. В графе "образец" розовым цветом выделен префикс образца, который ищется на данном шаге, а под образцом располагаются суффиксы строки, префиксы которых выделены розовым цветом, если на данном шаге суффикс подходит.
Как видно из примера образцу удовлетворяют суффиксы 3 и 4, начинающиеся на 5 и 2 позициях в строке соответственно(позицию можно посмотреть в таблице повыше).

Псевдокод

Поиск диапазона

/*p - образец
n - длина образца
left - левая граница диапазона // изначально равна единице
right - правая граница диапазона // изначально равна длине строки
lh - вспомогательная переменная для определения левой границы диапазона  
rg - вспомогательная переменная для определения правой границы диапазона
find - функция уточнения диапазона
элементы строк и массивов нумеруются с единицы*/
for i = 1 to n {
  lh = n + 1
  rh = 0
  find(left, right, i)
  left = lh
  right = rh
}
if (left != 0 && right != n + 1) { // если диапазон не пуст
  yield left // вывод левой границы диапазона 
  yield right // вывод правой границы диапазона
} else
 yield "No matches" // вывод информации об отсутствии вхождений

Бинарный поиск для уточнения диапазона - функция find(l, r, k)

/*l - левая граница диапазона при поиске
r - правая граница диапазона при поиске
k - номер символа образца, с которым происходит проверка на данном шаге
s - строка
length - длина строки
array - суффиксный массив
x - индекс, стоящий по середине между l и r*/
if (l > r)
  return
x = (l + r) / 2
if (array[x] + k - 1 <= length){
  if (s[array[x] + k - 1] == p[k]){
    if (x < lh)
      lh = x
    if (x > rh)
      rh = x
    find(l, x - 1, k)
    find(x + 1, r, k)
  } else { 
  if (s[array[x] + k - 1] > p[k]) {
    find(l, x - 1, k)
  } else {
  if (s[array[x] + k - 1] < p[k]) {
    find(x + 1, r, k)
  }
} else { 
  find(l, x - 1, k)
  find(x + 1, r, k)
}

Более быстрый поиск

Существует более быстрый алгоритм поиска образца в строке. Для этого используется [math] lcp [/math] (longest common prefix).
Пусть [math] L_p [/math] и [math] R_p [/math] - левая и правая границы диапазона ответов. В пределах этого диапазона в суффиксном массиве [math] array [/math] лежат суффиксы, префиксы которых полностью совпадают с образцом [math] p [/math]. Пусть [math] L [/math] - левая граница диапазона поиска (изначально равна 0), [math] R [/math] - правая граница диапазона поиска (изначально равна [math] |S| - 1 [/math]), а [math] M = (L + R) / 2 [/math].
Пусть [math] l = lcp(array[L], p) [/math], а [math] r = lcp(array[R], p) [/math]. В самом начале просто посчитаем [math] l [/math] и [math] r [/math] за линейное время, а во время выполнения алгоритма прямой пересчет производиться не будет, изменения будут происходить за [math] O(1) [/math].
Пусть [math] m_l = lcp(array[L], array[M]) [/math], а [math] m_r = lcp(array[M],array[R]) [/math]. Подсчет [math] m_l [/math] и [math] m_r [/math] можно производить за [math] O(1) [/math], если применять Алгоритм Фарака-Колтона и Бендера. Любая пара суффиксов из диапазона [math] [L, M] [/math] имеет хотя бы [math] m_l [/math] совпадений в префиксах (Аналогично для диапазона [math] [M, R] [/math]).
Рассмотрим поиск левой границы диапазона ответов [math] L_p [/math](поиск правой границы [math] R_p [/math] производится аналогично).
Сразу проверим образец с краями исходного диапазона поиска. Если образец лексикографически больше последнего суффикса [math] array [/math] или меньше первого суффикса, то образец не встречается в строке вовсе, и поиск можно прекратить.
Границы диапазона ответов ищутся при помощи бинарного поиска. На каждом шаге поиска нам надо определять, на каком отрезке ([math] [L, M] [/math] или [math] [M, L] [/math]) надо продолжать поиск границы [math] L_p [/math]. Каждую итерацию бинарного поиска будем сравнивать [math] m_l [/math] и [math] m_r [/math]. Если [math] m_l \gt m_r [/math], то возможно одно из двух:
1) [math] m_l \gt l [/math]. Это означает, что каждый суффикс из диапазона [math] [L, M] [/math] не подходит для [math] L_p [/math], поэтому продолжим поиск в диапазоне [math] [M, R] [/math]. [math] l [/math] при этом не меняется, а [math] L = M [/math].
2) [math] m_l \lt l [/math]. Это означает, что совпадений у суффикса с левого края диапазона поиска с образцом больше, чем у суффикса в позиции [math] M [/math]. Очевидно, что поиск надо продолжать между [math] L [/math] и [math] M [/math], то есть [math] R = M [/math], а новое значение [math] r = m_l [/math].
Если [math] m_l \lt m_r [/math], то действия аналогичны, только сравнения надо проводить с [math] m_r [/math] и [math] r [/math], и во втором случае меняется [math] L [/math] и [math] l [/math]. Осталось рассмотреть случай, когда [math] m_l = l [/math] и [math] m_r = r [/math]. Если хоть одно равенство не выполняется, то результат известен из предыдущего абзаца. Тогда ясно, что [math] lcp(p, array[M]) [/math] никак не меньше [math] max(l, r) [/math]. А значит можно сравнивать символы суффикса в позиции [math] array[M] [/math] и образца начиная с [math] max(l, r) [/math] позиции. При сравнении мы либо полностью найдем вхождение образца в суффикс, либо на каком-то шаге [math] k [/math] наткнемся на различие . В первом случае нам надо определять дальнейшее место поиска исходя из того, что мы ищем [math] L_p [/math] или [math] R_p [/math] (мы искали [math] L_p [/math], поэтому [math] r = max(l, r) + k [/math], [math] R = M [/math]). Во втором случае все определяется лексикографически.
Таким образом часть бинарного поиска мы сделаем при сравнении нескольких [math] lcp [/math] между собой, а если уж и дойдет до сравнения символов, то любой символ [math] p [/math] сравнивается не более одного раза(мы берем [math] max(l, r) [/math], а значит никогда не возвращаемся назад). Получаем сложность алгоритма [math] O(plog(s)) [/math]. Правда нужен предподсчет, чтобы можно было брать [math] lcp [/math] для двух любых суффиксов [math] array [/math] за [math] O(1) [/math].

Литература

• http://habrahabr.ru/blogs/algorithm/115346/
• U. Manber and G. Mayers. "Suffix arrays: A new method for on-line string searches"