Формула Тейлора для функций многих переменных

[math]y = f(x), x \in \mathbb{R};[/math] [math]f(x)-f(x_0)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}[/math]
[math]\mathcal{4}f(x_0)=f(x)-f(x_0)[/math]
[math]d^k f(x_0)=f^{(k)}(x_0)\mathcal{4}x_k[/math] [math]\mathcal{4}f(x_0,\mathcal{4}x)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {1}{k!} d^k f(x_0,\mathcal{4}x)+\frac {1}{(n+1)!}d^{n+1}f(x_0+\theta\mathcal{4}x,\mathcal{4}x)[/math]
Такую форму записи можно перенести и на функцию из n переменных: [math]x_0[/math] переходит в [math]\overline {x_0}[/math], а [math]\mathcal{4}x[/math] — в [math]\mathcal{4}\overline x[/math]
Определим частнык производные и дифференциалы высших порядков. [math]\frac \delta{\delta x_j}[/math] — оператор, дифференцирующий функцию по [math]x_j[/math]. Последовательное применение такого рода оператора даёт нам частные производные высших порядков. Пусть [math]z = f(x,y)[/math]. Тогда [math]\frac \delta{\delta y} \left ( \frac {\delta f}{\delta x_j} \right )\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac {\delta^2 f}{\delta x \delta y}[/math] — частная производная второго порядка функции [math]f[/math]. Дифференцирование осуществляется по переменной в знаменателе, слева направо. В каком случае [math]\frac {\delta^2 f}{\delta x \delta y}=\frac {\delta^2 f}{\delta y \delta x}[/math]?

Теорема (О смешанных производных):

Пусть в двумерном шаре у функции [math]z = f(x,y)[/math] существуют смешанные производные второго порядка и каждая из них непрерывна в некоторой точке [math]a[/math] этого шара. Тогда в [math]\overline a[/math]: [math]\frac {\delta^2 f}{\delta x \delta y} (\overline a)=\frac {\delta^2 f}{\delta y \delta x}(\overline a)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

ЙА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

[math]\triangleleft[/math]