315
правок
Изменения
Нет описания правки
}}
2) <tex>\overline x \in V \subset \mathbb{R}^n, \overline y \in W \subset \mathbb{R}^m</tex>; <tex>V\times W=\{(\overline x, \overline y) \in \mathbb R^{n+m},\overline x \in V, \overline y \in W\}</tex>.<br><tex>f\colon V(\overline {x_0})\times W(\overline {y_0}) \to \mathbb{R}^m</tex>, <tex>f(x_0,y_0)=0^m</tex>. Существуют ли такие <tex>\delta_1,\delta_2>0</tex>, что <tex>\forall\overline x\in V_{\delta_1}(\overline{x_0})~\nexists\overline y\in W_{\delta_2}(\overline{y_0})\colon f(\overline x,\overline y)=0^m</tex>?<br>
Если это так, то в силу единственности y определяем <tex>\overline y = \phi(\overline x)</tex> на <tex>V_{\delta_1}(\overline{x_0})</tex> так, чтобы <tex>f(\overline x,\phi(\overline x))=0^m</tex>. <tex>\phi</tex> — неявное отображение, определяется как <tex>f(\overline x,\overline y)=0^m,~(x_0,y_0)\colon f(\overline{x_0},\overline{y_0})=0^m</tex><br><br>
Пример, единичная окружность:<br>
<tex>x,y\in\mathbb{R},f(x,y)=x^2+y^2-1. ~f(x,y)=0\Longleftrightarrow x^2+y^2=1</tex><br>
В малых окрестностях начальных данных вертикаль, проведённая через <tex>x</tex>, будет давать соответствующий единственный <tex>y</tex>. Если решать задачу вне окрестности <tex>y_0</tex>, получится 2 <tex>y</tex>, теряется единственность <tex>y</tex>. Именно поэтому крайне важно указывать окрестности, в которых мы ищем отображения. <tex>y=\sqrt{1-x^2};y=\pm\sqrt{1-x^2}</tex>.<br>
Сейчас мы установим условия, при которых неявное отображение будет существовать:<br>
<tex>\overline x=f(\overline x,\overline y). ~\overline x \in \mathbb R^n;~y,z\in R^m. ~f_{\overline y}'</tex> — произвольное отображение <tex>f</tex>, при фиксированном <tex>x</tex> и варьирующемся <tex>y</tex>.<br><tex>f_{\overline y}'(\overline x,\overline y)</tex> (зависит и от <tex>\overline x</tex>, и от <tex>\overline y</tex>). Непрерывность <tex>f_{\overline y}'</tex>: производная — линейный оператор, поэтому непрерывность понимается в метрике линейного оператора:<br><tex>\forall \varepsilon >0 \exists \delta > 0\colon~\|\overline{\mathcal{4}x}\|,\|\overline{\mathcal{4}y}\|<\delta\Rightarrow\|f_{\overline y}'(\overline x + \overline{\mathcal{4}x},\overline y + \overline{\mathcal{4}y})-f_{\overline y}'(\overline x,\overline y)\|<\varepsilon</tex><br><tex>f_{\overline y}'(\overline x,\overline y)</tex> — матрица, размером <tex>m\times m</tex>. Оператор непрерывно обратим(???) в <tex>(\overline x,\overline y)\Longleftrightarrow</tex> у этой матрицы существует обратная (её детерминант не равен нулю).
