Изменения

Интеграл Римана по прямоугольнику строится аналогично интегралу на отрезке. Поэтому, в этом параграфебудут доказаны только специфичные свойства. Остальные нужно уметь доказывать аналогично отрезку. Будем рассматривать функции двух аргументов. Большее число аргументов добавляет лишь ещё несколько индексов. <tex>\Pi = [a; b] \times [c; d] \subset \mathbb{R}^2</tex>, <tex>z = f(x, y)</tex> <tex>\tau_1 : a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b</tex> <tex>\tau_2 : c = y_0 < y_1 < \ldots < y_n = d</tex> <tex>\Pi_{ij} = [x_i; x_{i + 1}] \times [y_j; y_{j + 1}]</tex> {{Определение|definition=Совокупность <tex>\Pi_{ij}</tex> {{---}} разбиение прямоугольника на стандартные клетки. <tex>\tau = \tau_1 \times \tau_2</tex>}} {{Определение|definition=<tex>\operatorname{rang} \tau = \max\{\operatorname{diam} \Pi_{ij}\}</tex>, где <tex>\operatorname{diam} \Pi_{ij}</tex> {{---}} диаметр клетки.}} <tex>(\bar{x_i}, \bar{y_i}) \in \Pi_{ij}</tex> <tex>\sigma(f, \tau) = \sum\limits_{i= 0}^{n - 1} \sum\limits_{j = 0}^{m - 1} f(\bar{x_i}, \bar{y_j}) \delta x_i \delta y_j</tex> <tex>|\Pi_{ij}| = \delta x_i \delta y_j</tex> {{Определение|definition=Двойной интеграл <tex>\iint\limits_\Pi f = \iint\limits_\Pi f(x, y) dx dy = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma(f, \tau)</tex>}} Далее аналогично определённому интегралу получаем линейность:* <tex>\iint\limits_\Pi (\alpha f + \beta g) \alpha \iint\limits_\Pi f + \beta\iint\limits_\Pi g</tex>* <tex>f(x, y) \leq g(x, y) \Rightarrow \iint\limits_\Pi f \leq \iint\limits_\Pi g</tex> Для того, чтобы выписать критерий существования двойного интеграла, определим аналоги сумм Дарбу:<tex>m_{ij} = \inf\limits_{\Pi_{ij}} f(x, y)</tex>, <tex>M_{ij} = \sup\limits_{\Pi_{ij}} f(x, y)</tex> <tex>\underline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} m_{ij} \delta x_i \delta y_j</tex>, <tex>\overline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} M_{ij} \delta x_i \delta y_j</tex> Введём понятие "измельчение разбиения": {{Определение|definition=Возьмём более мелкое разбиение по <tex>x</tex>, <tex>y</tex>. Тогда полученное разбиение называется 'мельче исходного'(каждая клетка мелкого разбиения содержится в более крупной). }} Установим свойства этих сумм, аналогичные одномерным:* <tex>\tau' \leq \tau \Rightarrow \underline{s}(\tau) \leq \underline{s}(\tau') \leq \overline{s}(\tau') \leq \overline{s}(\tau)</tex>* <tex>\tau, \tau' \Rightarrow \underline{s}(\tau') \leq \overline{s}(\tau)</tex> Тогда существование интеграла равносильно совпедению пределов нижней и верхней интегральных сумм <tex>\underline{I}</tex> и <tex>\overline{I}</tex>. <tex>\iint\limits_\Pi</tex> существует <tex>\iff</tex> <tex>\underline{I} = \overline{I}</tex> <tex>\iff</tex> <tex>\omega(f, \tau) \to 0</tex>. Прямоугольник {{---}} компакт на плоскости <tex>\Rightarrow</tex> (функция непрерывна <tex>\Rightarrow</tex> равномерон непрерывна) <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta \geq 0 : \|x'' - x'\| < \delta \Rightarrow |f(x'') - f(x')| < \varepsilon</tex> <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>\Pi</tex>. <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta : \operatorname{rang} \tau < \delta \Rightarrow \forall x', x'' \in \Pi_{ij} : |f(x') - f(x'')| < \varepsilon</tex> Тогда <tex>\omega(f, \tau) \leq \varepsilon |\Pi| \to 0</tex> Также, <tex>f</tex> {{---}} непрерывна <tex>\Rightarrow</tex> сущесвует <tex>\iint\limits_\Pi</tex>  == Аддитивность двойного интеграла ==  Некоторая специфика возникает в аддитивности интеграла. Было в однократном интеграле: <tex>\int\limits_a^c f = \int\limits_a^b f + \int\limits_b^c f</tex> (<tex>a \leq b \leq c</tex>). При этом, <tex>\exists \int\limits_a^c f \iff \exists \int\limits_a^b f, \exists\int\limits_b^c f</tex>. Сам факт аддитивности сохраняется. Если <tex>\Pi</tex> разбито на конечное число прямоугольников <tex>p</tex> и они не имеют общих внутрнних точек, то:* <tex>\exists \iint\limits_\Pi f \iff \forall m \ \exists \int\limits_{\Pi_m} f</tex>* <tex>\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{m = 1}^p = \iint\limits_{\Pi_m} f</tex> Первый факт доказывается аналогично обычному интегралу, но второй факт выводится сложнее. {{Утверждение|statement=<tex>\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{m = 1}^p = \iint\limits_{\Pi_m} f</tex>|proof=<tex>a = a_0 < a_1 \ldots < a_n = b</tex> <tex>c = c_0 < c_1 \ldots < c_n = d</tex> <tex>\Pi_{ij} = [a_i; a_{i + 1}] \times [c_j; c_{j + 1}]</tex> <tex>\Pi = \bigcup\limits_{i, j} \Pi_{ij}</tex> <tex>\tau_1</tex> {{---}} разбиение <tex>[a; b]</tex>, содержит все <tex>a_i</tex>. Аналогично, <tex>\tau_2</tex> {{---}} разбение <tex>[c; d]</tex>, содержит все <tex>c_j</tex>. <tex>\tau = \tau_1 \times \tau_2</tex> {{---}} разбиение прямоугольника <tex>\Pi</tex>. ''Пункт 1''В разработкесилу специфики выбора <tex>\tau_1</tex> и <tex>\tau_2</tex> ясно, что каждая клетка <tex>\Pi_{ij}</tex> разбиается в свою очередь на часть клеток разбиения <tex>\tau</tex>.То есть, мы получаем разбиение каждой клетки <tex>\Pi_{ij}</tex>. Посчитаем интегральные суммы по всем клеткам. Тогда ясно, что если все эти суммы сложить, то получим разбиение <tex>\tau</tex>. Каждая из этих сумм стремится к пределу <tex>\iint\limits_{\Pi_{ij}} f</tex> (почему?). Сумм конечное число.Тогда получаем:  <tex>\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{i, j} \iint\limits_{\Pi_{ij}} f</tex>, то есть, для специального разбиения всё доказано. ''Пункт 2''Теперь докажем для общего случая.  Занумеруем границы сторон <tex>\Pi_k</tex> в порядке возрастания их координат по вертикали. Так же сделаем с горизонталью. В результате получим разбиение вертикальной и горизонтальной сторон исходного прямоугольника <tex>\Pi</tex>, с помощью них, как и в пункте 1, разбиваем <tex>\Pi</tex> на клетки <tex>\Pi_{ij}</tex>.По первому пункту получаем: <tex>\iint\limits_{\Pi} f = \sum\limits_{i, j} \iint\limits_{\Pi_{ij}} f</tex> С другой стороны, по тому, как выстраиваются разбиения, ясно, что вся совокупность клеток разбивается на части по принципу: "к <tex>k</tex>-й части относятся те из них, которые разбивают клетку <tex>\Pi_k</tex>". Такое разбиение снова стандарнтно. <tex>\iint\limits_{\Pi_k} f = \sum\limits_{\Pi_{ij} \subset \Pi_k} \iint\limits_{\Pi_{ij}} f</tex> <tex>\sum\limits_k \iint\limits_{\Pi_k} f </tex> <tex>= \sum\limits_k \sum\limits_{\Pi_{ij} \subset \Pi_k} \iint\limits_{\Pi_{ij}} f </tex> <tex>= \sum\limits_{i, j} \iint\limits_{\Pi_{ij}} f </tex> <tex>= \iint\limits_\Pi f</tex> Формула доказана для произвольного разбиения.}}