205
правок
Изменения
м
Нет описания правки
{{Определение
|definition = <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> - [[Определение матроида|матроид]]. Тогда '''замыкание (closure)''' множества <tex>A \subset X</tex> - это множество <tex>\langle A \rangle \subset X</tex> такое, что <tex>\langle A \rangle = A \cup \mathcal {f} x\; |\; \exists B \subset A : B \in I ,\; B \cup x \notin I \mathcal {g}</tex>
}}
{{Лемма
|statement = <tex>M =\; \langle X,I \rangle</tex> - матроид, <tex>A \subset X</tex>. Тогда <tex>r(A) = r(\langle A \rangle),</tex> где <tex>r</tex> - [[Ранговая функция, полумодулярность|ранг ]] множества <tex>A.</tex>
|proof =
Пусть существуют такие множества <tex>B, C \in I: B \subset A, C \subset \langle A \rangle, |B| = r(A) < r(\langle A \rangle) = |C|.</tex> Тогда по аксиоме замен <tex>\exists p \in C \setminus B : B \cup p \in I.</tex> Так как <tex>B</tex> - максимально, то <tex>p \in \langle A \rangle \setminus A.</tex> По определению замыкания существует такое множество <tex>D \subset A: D \in I, D\cup p \notin I.</tex> В силу аксиомы наследования можно считать, что <tex>|D| = |B|.</tex> Тогда <tex>r(A) = |D| < |B \cup p|.</tex> По аксиоме замены существует <tex>q \in (A \cup p)\setminus D : D \cup q \notin I.</tex>
