Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра

Эта статья находится в разработке!

<wikitex> $ z = f(x, y), \quad x \ge a, y \in [c; d] $ (можно нарисовать тут полоску).

Считаем, что f непрерывна в этой полосе.

$ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx $ - является несобственным интегралом, зависящим от параметра y.

Если считать, что для некоторого $ y_0 \in [c; d] $, $ \int\limits_a^{\infty} f(x, y_0) dx $ - сходится, то $ \int\limits_A^{\infty} f(x, y_0) dx \xrightarrow[A \to + \infty]{} 0 $, или $ \forall \varepsilon > 0 \exists A_0(y_0): \forall A > A_0(y_0) \Rightarrow |\int\limits_A^{\infty} f(x, y_0) dx | < \varepsilon $

Для исключения зависимости $ A_0 $ от $ y_0 $, вводится понятие для равномерной сходимости.

$ \forall \varepsilon > 0 : \exists A_0 : \forall A > A_0 , \forall y_0 \in [c; d] \Rightarrow | \int\limits_A^{\infty} f(x, y_0) dx | < \varepsilon $.

Прослеживается аналогия с функциональными рядами:

$ \forall \varepsilon > 0 : \exists N : \forall n > N , \forall x \in E : | \sum\limits_{m = n}^{\infty} f_m(x) | < \varepsilon $

Сопоставляем два определения, видим $ n \leftrightarrow x $, $ x \leftrightarrow y $. Аналогия важна в том смысле, что доказательство свойств интеграла копирует доказательство соответствующих свойств функциональных рядов.

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов

Установим его.

Пусть $ |f(x, y) | \le g(x) \qquad \forall x \ge 0, \forall y \in [c; d] $.

Пусть $ \int\limits_a^{\infty} g(x) dx $ - сходится. Тогда соответствующий интеграл равномерно сходится на $ [c; d] $.

$ B > A: \left| \int\limits_A^B f(x, y) dx \right| \le \int\limits_A^B |f(x, y)| dx \le \int\limits_A^B g(x) dx $.

Интеграл g сходится, следовательно, по критерию Коши сходимости интегралов, $ \int\limits_A^B g(x) dx \xrightarrow[A, B \to + \infty]{} 0 \Rightarrow \int\limits_A^B f(x, y) dx \xrightarrow[A, B \to + \infty]{} 0 $, следовательно, для любого $ y $ - это сходящиеся интегралы. Это позволяет в неравенстве перейти к пределу при B, стремящемся к бесконечности:

$ \left| \int\limits_A^{\infty} f(x, y) dx \right| \le \int\limits_A^B g(x) dx $

$ \forall \varepsilon > 0: \exists A_0: \forall A > A_0 \Rightarrow \int\limits_A^{\infty} g(x) dx < \varepsilon $, что возможно, так как $ \int g(x) dx $ - сходится.

Сопоставляя $ \left| \int\limits_A^{\infty} f(x, y) dx \right| < \varepsilon \ \forall y \int [c; d] $, получаем что это и есть равномерная сходимость.

Базируясь на условии равномерной сходимости, те же три свойства что и для определенных интегралов.

Считаем далее, что интеграл равномерно сходится на $ [c; d] $.

Пункт 1. Непрерывность

$ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \stackrel{?}{\Rightarrow} \Delta F(y) \xrightarrow[\Delta y \to 0]{} 0 $ (непр. F(y)).

Доказательство ведем по аналогии с рядами.

В силу равномерной сходимостри:

$ \forall \varepsilon > 0: \exists A_0: \forall A \ge A_0: \left| \int\limits_A^{\infty} f(x, y) dx \right| < \varepsilon, \forall y \in [c; d] $. $A = A_0$ - частный случай.

$ | F(y + \Delta y) - F(y) | = \left| \int\limits_a^{\infty} f(x, y + \Delta y) dx - \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \right| $

По аддитивности интеграла:

$ |F(y + \Delta y) - F(y)| \le \\ \le \left| \int\limits_a^{A_0} f(x, y + \Delta y) dx - \int\limits_a^{A_0} f(x, y) dx \right| + \left| \int\limits_{A_0}^{\infty} f(x, y + \Delta y) dx \right| + \left| \int\limits_{A_0}^{\infty} f(x, y) dx \right| $ - последние два слагаемых $ \le \varepsilon $ по выбору $ A_0 $.

$ |\Delta F(y) | \le \left| \int\limits_a^{A_0} f(x, y + \Delta y) dx - \int\limits_a^{A_0} f(x, y) dx \right| + 2 \varepsilon $.

$ \int\limits_a^{A_0} f(x, y) dx $ - определенный интеграл, зависящий от параметра - его величина неперывно зависит от $ y $.

Для нашего $ \varepsilon: \exists \delta > 0: | \Delta y | < \delta $, следовательно, $ \left| \int\limits_a^{A_0} f(x, y + \Delta y) dx - \int\limits_a^{A_0} f(x, y) dx \right| $ окажется меньше $ \varepsilon $ по непрерывности.

$ | \Delta y | < \delta \Rightarrow | \Delta F(y) | < 3 \varepsilon $, то есть доказали непрерывность по произвольности $ \varepsilon $.

Пункт 2. Повторное интегрирование.

Установим формулу повторного интегрирования . Логика действия другая, из-за рассмотрения несобственных интегралов.

Надо установить формулу:

$ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx = \int\limits_a^{\infty} dx \int\limits_c^d f(x,y) dy $

В условиях непрерывности f на полосе и равномерной сходимости интегралов при $ A > a $, верна формула $ \int\limits_a^A dx \int\limits_c^d f(x, y) dy = \int\limits_c^d dy \int\limits_a^A f(x, y) dx $.

В силу предыдущего параграфа:

$ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx = \int\limits_c^d dy \left( \int\limits_a^A f(x, y) dx + \int\limits_A^{\infty} f(x, y) dx \right) = \\ = \int\limits_c^d dy \int\limits_a^A f(x, y) dx + \int\limits_c^d dy \int\limits_A^{\infty} f(x, y) dx = \\ = \int\limits_a^A dx \int\limits_c^d f(x, y) dy + \int\limits_c^d dy \int\limits_A^{\infty} f(x, y) dx = $

Отметим, что интегралы существуют по пункту 1 (непрерывность F по y).

$ \forall \varepsilon > 0 $, по равномерной сходимости $ \exists A_0 : \forall A > A_0, \forall y \in [c; d]: \left| \int\limits_A^{\infty} f(x, y) dx \right|\le \varepsilon $

Значит, $ \left| \int\limits_c^d dy \int\limits_A^{\infty} f(x, y) dy \right| \le \int\limits_c^d \varepsilon dy = (d - c) \varepsilon $, то есть сколь угодно мал.

$ \left| \int\limits_c^d dy \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx - \int\limits_a^A dx \int\limits_c^d f(x, y) dy \right| \le (d - c) \varepsilon \quad \forall A \ge A_0 $

В силу произвольности $ \varepsilon $:

$ \int\limits_a^A dx \int\limits_c^d f(x, y) dy \xrightarrow[A \to \infty]{} \int\limits_c^d dy \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx $.

По определению несобственного интеграла, формула верна.

Замечание: можно поставить вопрос:

$ \int\limits_a^{\infty} dy \int\limits_c^{\infty} f(x, y) dx = \int\limits_c^{\infty} dx \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dy $ - решается, как правило, намного труднее.

В ряде частных случаев, ответ будет положительным.

Если $ f(x, y) $ - непрерывна, $ x \ge a, y \ge c $, считаем, что $ f(x, y) \ge 0 $, то можно утверждать, что существует повторный интеграл справа, существует интеграл справа, и они равны(упражнение средней сложности).

В теории интеграла Лебега будет доказана знаменитая теорема Рубини, связанная с этой тематикой и полностью решает этот вопрос(на языке интеграла Лебега).

Пункт третий.

Предположим непрерывность $ \frac{\partial f}{\partial y} $.

$ \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $ - равномерно сходится, $ \int\limits_a^{\infty} f(x, c) dx $ - сходится.

Тогда: $ \left( \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \right)' = \left( \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx \right) $ - тоже является формулой Лейбница.

Доказываем по аналогии с функциональными рядами.

$ g(y) = \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $ - непрерывна в силу равномерной сходимости интеграла.

Значит, ее можно интегрировать.

$ \int\limits_c^y g(t) dt = \int\limits_c^y dt \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, t) dx $.

По предыдущему пункту, меняем порядок интегрирования.

$ \int\limits_c^y g(t) dt = \int\limits_a^{\infty} \int\limits_c^y \frac{\partial f}{\partial y} (x, t) dt $

$ \int\limits_c^y dx \frac{\partial f}{\partial y} (x, t) dt = f(x, y) - f(x, c) $ - по формуле Ньютона - Лейбница.

$ \int\limits_c^y g(t) dt = \int\limits_a^{\infty} (f(x, y) - f(x, c)) dx $

Интеграл для c - сходящийся, интеграл от разности - сходящийся, поэтому: $ \int\limits_c^y g(t) dt = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx - \int\limits_a^{\infty} f(x, c) dx $

Интеграл слева по теореме Барроу дифференциируем по верхнему пределу - продифференциируем обе части по y.

$ g(y) = \left( \int\limits_c^{\infty} g(t) dt \right)' = \left( \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \right)' $, но $ g(y) = \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $, следовательно, формула доказана.

Бета- и гамма-функции Эйлера

</wikitex>