Линейные операторы в нормированных пространствах

Определение:

Пусть [math]X[/math], [math]Y[/math] — нормированные пространства, [math]~A\colon X \to Y[/math]. [math]A[/math] называется линейным оператором, если [math]A (\alpha x + \beta y ) = \alpha A \left( x \right) + \beta A \left( y \right), \forall \alpha, \beta \in \mathbb {R}, \forall x, y \in X[/math]

Из того факта, что [math]A \left( \alpha x \right) = \alpha A \left( x \right) [/math], следует, что [math]\forall \alpha \in \mathbb {R}~ A \left( 0 \right) =0 [/math].

Определение:

Л.о. называется ограниченным, если [math]\exists m \in \mathbb {R} \ge 0: \forall x \in X \left \| A \left( x \right) \right \| \le m \left \| x \right \|[/math]

Имеется тесная связь между ограниченностью и непрерывностью оператора:

Определение:

Л.о. непрерывен в X, если [math]\lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} A \left( x + \mathcal{4}x \right) = A \left( x \right) [/math]

Лемма:

Непрерывность оператора в точке [math]x[/math] совпадает с его непрерывностью в точке [math]0[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] \lim\limits_{\mathcal {4} x \to 0} A \left( \mathcal{4}x \right) = A \left( 0 \right) = 0[/math] [math] \left \| A( x + \mathcal{4} x) - A(x) \right \| = \left \| A \left( x \right) + A \left( \mathcal{4}x \right) - A \left( x \right) \right \| = \left \| A \left( \mathcal{4}x \right) \right \| \xrightarrow [\mathcal{4}x \to 0]{} 0 [/math] [math]A \left ( x + \mathcal{4} x) \right )\xrightarrow [\mathcal{4}x \to 0]{} A(x)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Л.о. непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен:

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

A — ограничен, значит, [math] \left \| A(x) \right \| \le m \left \| x \right \|, m \ge 0[/math] [math]\left \| A \left( \mathcal {4} x \right) \right \| \le m \left \| \mathcal {4} x \right \| [/math] [math] A \left( \mathcal {4} x \right) \xrightarrow [\mathcal{4}x \to 0]{} 0 [/math]. А непрерывен в 0, следовательно, непрерывен и на X. Пусть A — непрерывен на X, тогда [math] 0 = \lim \limits_{x \to 0} A(x) [/math] Подставляем в определение [math]\varepsilon = 1: ~ \exists \delta \gt 0: \left \| x \right \| \le \delta[/math] и, значит, при [math]\mathcal{4}x \to 0 ~ \left \| A(x) \right \| \le \varepsilon = 1[/math] [math]\forall x \ne 0[/math] рассмотрим [math]z = \frac{\delta}{2} \frac {x}{\left \| x \right \|} [/math]. [math] \left \| z \right \| = \frac{\delta}{2} \lt \delta \Rightarrow \left \| A(z) \right \| \le 1 [/math] Но [math]A \left ( z \right ) = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} A(x) [/math]. Значит, [math] \| A(z) \| = \frac {\delta}{2 \| x \|} \| Ax \| \le 1[/math], таким образом, [math] \| Ax \| \le \frac2{\delta} \| x \|[/math] Очевидно, это верно и для [math]x = 0[/math]. [math] m = \frac2{\delta} [/math] , оператор ограничен.

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Нормой ограниченного оператора [math]\left \| A \right \|[/math] является [math]\sup \limits_{\left \| x \right \| \le 1} \left \| Ax \right \|[/math].

[math]x \ne 0, z = \frac {x}{\left \| x \right \|}, \left \| z \right \| = 1[/math]
[math]\left \| Az \right \| \le \left \| A \right \|[/math]
[math]Az = \frac {Ax}{\left \| x \right \|}[/math], таким образом, [math] \left \| Ax \right \| \le \left \| A \right \| \left \| x \right \|, \forall x \in X[/math]

[math]\left \| A \right \|[/math] удовлетворяет стандартным трём аксиомам нормы:
1) [math]\left \| A \right \| \ge 0, \left \| A \right \| = 0 \Longleftrightarrow A = 0[/math]
2) [math]\left \| \alpha A \right \| = \left | \alpha \right | \left \| A \right \|[/math]
3) [math]\left \| A + B \right \| \le \left \| A \right \| + \left \| B \right \|[/math]

Действия с операторами производятся стандартным образом, поточечно. Примеры:

Рассмотрим x, такой, что [math]\left \| x \right \| \le 1. \left \| \left ( A + B \right ) \left ( x \right ) \right \| \le \left \|Ax \right \| + \left \| Bx \right \| \le \left \| A \right \| + \left \| B \right \|, \forall x \le 1 [/math]
[math]~A\colon X \to Y, ~B\colon Y \to Z[/math]
[math]B \circ A = B \cdot A \colon X \to Z, \left ( BA \right ) \left ( x \right ) = B \left ( A \left ( x \right ) \right )[/math]
[math]\left \| BA \right \| \le \left \| B \right \| \cdot \left \| A \right \| [/math], в частности, [math]\left \| A^n \right \| \le \left \| A \right \|^n[/math]

Рассмотрим частный случай:
[math]A\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, \overline x \in \mathbb R, \overline x = \sum \limits_{k=1}^n x_k \overline {e_k}, x_k= \left \langle \overline x, \overline {e_k}\right \rangle[/math]. Тогда [math]A \left (\overline {x_k} \right ) = \sum \limits_{k=1}^n x_k A \left ( \overline {e_k} \right ) [/math]
Таким образом, если оператор действует из конечномерного пространства, то он вполне определён по его значению на базисных точках. Если он действует в конечномерное пространство, [math]A \left ( \overline {e_k} \right ) = \sum \limits_{j=1}^m a_{jk} \overline{e_j}'[/math].
[math]A \left ( \overline x \right ) = \sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m \left ( a_{jk}x_k\overline{e_j}' \right ) = \sum \limits_{j=1}^m \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k \right ) \overline{e_j}' [/math]
[math]\overline y = A \overline x, y_j = \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k[/math] — здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: [math]A \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \longleftrightarrow A = \left ( a_{jk} \right )[/math], где [math]j[/math] и [math]k[/math] пробегают от [math]n[/math] до [math]m[/math] соответственно, а [math]A \overline x [/math] — результат действия л.о. [math]A[/math] на точку [math]\overline x[/math] можно представить в виде произведения матрицы [math]A[/math] и столбца [math]x[/math].
В [math]\mathbb{R}^n[/math] сходимость покоординатная. [math]\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|[/math], таким образом, из [math]\overline x \to 0[/math] неизбежно следует [math]\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0[/math]
Дальше, если верить моему конспекту, говорится, что, таким образом, линейный оператор, действующий из [math]\mathbb{R}^n[/math] и/или в [math]\mathbb{R}^n[/math], всегда непрерывен.
Пользуясь классическими неравенствами типа Коши, легко оценить норму такого оператора: [math]\left \| \overline y \right \| = \sqrt{\sum \limits_{j=1}^m y^{2}_j},~ y^{2}_j \le \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk}^2 \right ) \left \| \overline x \right \| ^ 2 [/math]
[math]\left \| \overline y \right \| ^ 2 \le \sum \limits_{j=1}^m \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk}^2 \right ) \left \| \overline x \right \|[/math]
[math]\left \| A \overline x \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2} \left \| \overline x \right \|[/math], и, таким образом, финальная оценка — [math]\left \| A \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2}[/math]. Но, в общем случае, эта оценка достаточно грубая.
Если Л.О. действует из Н.П. X в [math]\mathbb{R}^n[/math], он называется линейным функционалом.
Рассмотрим [math]H[/math]-пространство (H — гильбертово). Фиксируем [math]y \in H[/math] и определим [math]f\left ( x \right )=\left (x,y\right)[/math]. f — линейный функционал. По неравенству Шварца [math] \left | f \left ( x \right ) \right | \le \left \| y \right \| \left \| x \right \|[/math], следовательно, [math] \left \| f \right \| \le \left \| y \right \|, x = \frac y {\left \| y \right \|}, \left \| x \right \| = 1. \left | f \left ( x \right ) \right | = \left \| y \right \|[/math].
[math]\forall ~x_0 \ne 0 \in H,~ y_0 = \frac {x_0} {\left \| x_0 \right \|}, \left \| y_0 \right \| = 1[/math]. Рассмотрим [math] f \left ( x \right ) = \left (x, y_0 \right ), \left \| f \right \| = 1.~ f \left ( x_0 \right ) = \left ( x_0, \frac {x_0} {\left \| x_0 \right \|} \right ) = \left \| x_0 \right \|[/math]
[math]\forall ~x_0 \in H~ \exists [/math] ограниченный линейный функционал [math]f \colon H \to \mathbb{R}[/math], обладающий такими свойствами:
1) [math]f \left ( x_0 \right ) = \left \| x_0 \right \|[/math], 2) [math]\left \| f \right \| = 1[/math]