Формула Тейлора для функций многих переменных

[math]y = f(x), x \in \mathbb{R};[/math] [math]f(x)-f(x_0)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}[/math]

[math]\mathcal{4}f(x_0)=f(x)-f(x_0)[/math]

[math]d^k f(x_0)=f^{(k)}(x_0)\mathcal{4}x_k[/math]

[math]\mathcal{4}f(x_0,\mathcal{4}x)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {1}{k!} d^k f(x_0,\mathcal{4}x)+\frac {1}{(n+1)!}d^{n+1}f(x_0+\theta\mathcal{4}x,\mathcal{4}x)[/math]

Такую форму записи можно перенести и на функцию из n переменных: [math]x_0[/math] переходит в [math]\overline {x_0}[/math], а [math]\mathcal{4}x[/math] — в [math]\mathcal{4}\overline x[/math]

Определим частные производные и дифференциалы высших порядков.

[math]\frac \delta{\delta x_j}[/math] — оператор, дифференцирующий функцию по [math]x_j[/math]. Последовательное применение такого рода оператора даёт нам частные производные высших порядков. Пусть [math]z = f(x,y)[/math]. Тогда [math]\frac \delta{\delta y} \left ( \frac {\delta f}{\delta x_j} \right )\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac {\delta^2 f}{\delta x \delta y}[/math] — частная производная второго порядка функции [math]f[/math]. Дифференцирование осуществляется по переменной в знаменателе, слева направо. В каком случае [math]\frac {\delta^2 f}{\delta x \delta y}=\frac {\delta^2 f}{\delta y \delta x}[/math]?

Теорема (О смешанных производных):

Пусть в двумерном шаре у функции [math]z = f(x,y)[/math] существуют смешанные производные второго порядка и каждая из них непрерывна в некоторой точке [math]a[/math] этого шара. Тогда в [math]\overline a[/math]: [math]\frac {\delta^2 f}{\delta x \delta y} (\overline a)=\frac {\delta^2 f}{\delta y \delta x}(\overline a)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\mathcal{4}_x f=f(x+\mathcal{4}x,y)-f(x,y)[/math] [math]\mathcal{4}_y f=f(x,y+\mathcal{4}y)-f(x,y)[/math] [math]\mathcal{4}_x \mathcal{4}_y f=\mathcal{4}x (f(x,y+\mathcal{4}y)-f(x,y))=(f(x+\mathcal{4}x,y+\mathcal{4}y)-f(x+\mathcal{4}x,y))-(f(x,y+\mathcal{4}y)-f(x,y))[/math] Если поменять местами операции, то мы получим то же самое (после раскрытия скобок). Цель доказательства — перезаписать это арифметическое равенство в частных производных второго порядка. Появятся дополнительные параметры, которые должны сократиться, и в итоге мы получим [math]\mathcal{4}_x \mathcal{4}_y f=\mathcal{4}_y \mathcal{4}_x f[/math]. Введём функцию [math]g(t)=f(t,y+\mathcal{4}y)-f(t,y)[/math]. [math]\mathcal{4}_x \mathcal{4}_y f=g(x+\mathcal{4}x)-g(x)=g'(x+\theta \mathcal{4}x)\mathcal{4}x[/math] [math]g'(t)=\frac {\delta f}{\delta x}(t,y+\mathcal{4}y)-\frac {\delta f}{\delta x}(t,y)[/math] [math]\mathcal{4}_x \mathcal{4}_y f=\left ( \frac {\delta f}{\delta x} ( x + \theta_1 \mathcal{4}x,y+\mathcal{4}y ) - \frac {\delta f}{\delta x}( x + \theta_1 \mathcal{4}x,y) \right )\mathcal{4}x[/math] [math]g(t)=\frac {\delta f}{\delta x}(x+\theta_1\mathcal{4}x,t)[/math] [math]\mathcal{4}_x \mathcal{4}_y f=(g(y+\mathcal{4}y)-g(y))\mathcal{4}x=g'(y+\theta_2 \mathcal{4}y) \mathcal{4}x \mathcal{4}y[/math] [math]g'(t)=\frac {\delta^2 f}{\delta x \delta y}(x+\theta_1\mathcal{4}x,t)[/math] [math]\mathcal{4}_x \mathcal{4}_y f=\frac {\delta^2 f}{\delta x \delta y}(x+\theta_1\mathcal{4}x,y+\theta_2 \mathcal{4}y) \mathcal{4}x \mathcal{4}y[/math] [math]\mathcal{4}_y \mathcal{4}_x f=\frac {\delta^2 f}{\delta y \delta x}(x+\theta_3\mathcal{4}x,y+\theta_4 \mathcal{4}y) \mathcal{4}x \mathcal{4}y[/math] Левые части двух равенств выше равны, значит, равны и правые. Рассмотрим [math]\overline a = (a,b)[/math]: [math]\frac {\delta^2 f}{\delta x \delta y}(a+\theta_1\mathcal{4}a,b+\theta_2 \mathcal{4}b) \mathcal{4}a \mathcal{4}b=\frac {\delta^2 f}{\delta b \delta a}(a+\theta_3\mathcal{4}a,b+\theta_4 \mathcal{4}b) \mathcal{4}a \mathcal{4}b~~\forall \mathcal{4}a,\mathcal{4}b.[/math] [math]\theta_i \in (0,1)[/math] В [math]\overline a[/math] оба выражения непрерывны. Устремим [math]\mathcal{4}a,\mathcal{4}b \to 0[/math] и по непрерывности в пределе приходим к нужной формуле.

[math]\triangleleft[/math]

Следствие: Если в некотором шаре функция многих переменных имеет частные производные до p-го порядка включительно, и каждая из них непрерывна, то результат дифференцирования от последовательности переменных не зависит, важно лишь число дифференцирований по каждой переменной: [math]\frac {\delta^{10} f}{\delta x^7 \delta y^3}=\frac {\delta^{10} f}{\delta y^3 \delta x^7}[/math], например.

Определение дифференциалов высших порядков:

[math]d^{n+1}f(\overline x, \mathcal{4} \overline x)=d(d^n f (\overline x, \mathcal{4} \overline x))[/math]
[math]d^2 f=d\left( \frac {\delta f}{\delta x}(\overline x) \mathcal{4}x-\frac {\delta f}{\delta y}(\overline x) \mathcal{4}y\right)=\frac{\delta^2 f}{\delta x^2}(\overline x) \mathcal{4}x^2+2\frac{\delta^2f}{\delta x \delta y}(\overline x) \mathcal{4}x\mathcal{4}y+\frac{\delta^2 f}{\delta y^2}(\overline x) \mathcal{4}y^2.[/math] Частные производные — непрерывны. Теперь пусть [math]dx=\mathcal{4}x, dy=\mathcal{4}y[/math]: [math]x=a+bt,dx=bdt[/math]

[math]g(t)=f(a+bt,c+dt)[/math]

[math]dg=g'(t)dt=\frac {\delta f}{\delta x}(a+bt)bdt+ \frac {\delta f}{\delta y}(c+dt)ddt=\frac {\delta f}{\delta x}(a+bt)dx+ \frac {\delta f}{\delta y}(c+dt)dy=\frac{\delta f}{\delta x}[/math]

При линейной замене переменных дифференциал первого порядка инвариантен (да и n-го тоже).

[math]g(t)=f(a+bt,c+mt)[/math]

[math]d^n g=d^n f[/math], [math]dx=bdt,dy=mdt[/math].

Рассмотрим пару [math](\overline a, \overline b)[/math]: [math]\overline b - \overline a = \mathcal{4}\overline a[/math]

[math]g(t)=f(\overline a+t\mathcal{4}\overline a)[/math]

[math]g(1)-g(0)=f(\overline a+t\mathcal{4}\overline a)-f(\overline a)[/math]

[math]g(1)-g(0)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}g(0)}{k!}+\frac {1}{(n+1)!}d^{n+1}g(\theta)[/math]

[math]f(\overline a+t\mathcal{4}\overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}f(\overline a)}{k!}+\frac {d^{n+1}f(\overline a+\theta\mathcal{4}\overline a)}{(n+1)!}[/math] — формула Тейлора для функции многих переменных. При [math]n=1[/math]:

[math]f(\overline a+t\mathcal{4}\overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{j=1}^n\frac{\delta f}{\delta x_j}(\overline a)\mathcal{4}\overline a+\frac 1 2 \sum \limits_{i,j=1}^n \frac {\delta^2 f}{\delta x_i \delta x_j} (\overline a+\theta \mathcal{4}\overline a)\mathcal{4}a_i\mathcal{4}a_j[/math]