Теорема о нижней оценке для сортировки сравнениями

В этой статье рассматриваются алгоритмы сортировки сравнением. В таких алгоритмах единственным действием с элементами массива является их сравнение. Значения самих элементов или иная информация о них не доступна.

Теорема (о нижней оценке для сортировки сравнениями):

В наихудшем случае в ходе выполнения любого алгоритма сортировки сравнением выполняется [math]\Omega(n \log n)[/math] сравнений, где [math]n[/math] - число элементов массива.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Во-первых, будем считать целью нашего алгоритма определить исходную перестановку, после её определения сортировка сведется к нахождению обратной перестановки. Будем искать наихудший случай для алгоритма среди всех возможных перестановок чисел от 1 до [math]n[/math], таким образом у каждого сравнения всего два возможных исхода - [math]a_i \lt a_j[/math] или [math]a_i \gt a_j[/math]. Рассмотрим некоторое состояние нашего алгоритма. В этом состоянии уже известны результаты каких-то сравнений, и в зависимости от них делается следующее, после чего алгоритм переходит в одно из двух состояний. Кроме того, алгоритм может остановиться, если исходная перестановка будет однозначно установлена. Заметим, что этот процесс можно описать двоичным деревом, узлы которого будут соответствовать состояниям, листья - определенным входным перестановкам, а ребра - результатам сравнений. Заметим так же, что число листьев у этого дерева должно быть не меньше [math]n![/math], иначе одна из перестановок не сможет быть определена. Число сравнений в наихудшем случае будет равно глубине этого дерева, поэтому осталось показать, что эта глубина есть [math]\Omega(n \log n)[/math]. Для этого заметим, что у двоичного дерева глубины [math]n[/math] листьев не больше [math]2^n[/math] (в случае полного двоичного дерева), т. е. у двоичного дерева с [math]n[/math] листьям глубина по крайней мере [math]\lceil \log_2 n \rceil[/math]. Осталось оценить [math]\log_2 n = \log_2 1 + \log_2 2 + \ldots + \log_2 n \gt [/math][math]n/2 \log_2 (n/2) = n/2(\log_2 n - 1)=O(n \log n)[/math] Итак, для любого алгоритма сортировки сравнениями существует такая перестановка, на которой он выполнит [math]\Omega(n \log n)[/math] сравнений, ч. т. д.

[math]\triangleleft[/math]