689
правок
Изменения
м
начал теорему Фробениуса
Тогда <tex> |f(t) - S| \le 2\varepsilon </tex>, перманентность доказана.
==Теорема Фробениуса=={{Теорема|author=Фробениус|statement=<tex> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (с.а) <tex> \Rightarrow </tex> <tex> \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S </tex> (А).|proof=Для начала, докажем, что если ряд сходится по методу средних арифметических, то он сходится и по методу Абеля. Пусть <tex> S_k = \sum\limits_{j=0}^{k}, S_{-1} = 0 </tex>.Рассмотрим суммирование ряда методом Абеля: <tex> \sum\limits_{k = 0}^n a_kt^k = \sum\limits_{k = 0}^n (S_k - S_{k-1})t^k = \sum\limits_{k = 0}^n S_kt^k - \sum\limits_{k = 0}^n S_{k-1}t^k = </tex><tex> = \sum\limits_{k = 0}^n S_kt^k - \sum\limits_{k=0}^{n-1} S_kt^{k+1} = S_nt^n + \sum\limits_{k = 0}^{n-1} S_k(t^k-t^{k+1})</tex>. Ряд сходится к некоторой <tex> S </tex> по методу средних арифметических, следовательно, как мы ранее доказали, <tex>\frac {S_n}{n} \rightarrow 0 </tex>, значит, с некоторого <tex> N </tex>, <tex> \forall n > N\ |\frac{S_n}{n}| < 1 </tex>. Тогда, для <tex> k > N </tex>, <tex> |S_kt^k| = |\frac{S_k}{k}||kt^k| < kt^k </tex>, <tex> \sum\limits_{k=0}^{\infty} S_kt^k < \sum\limits_{k=0}^{\infty} kt^k </tex>, последний же ряд сходится по признаку Даламбера. Для рассматриваемого нами ряда, <tex> S_nt^n </tex> очевидно стремится к нулю, а <tex> \sum\limits_{k = 0}^{n-1} S_k(t^k-t^{k+1}) = \sum\limits_{k = 0}^{n-1} S_kt^k(1-t) < \sum\limits_{k = 0}^{n-1} S_kt^k</tex>.Значит, в условиях использования метода средних арифметических, метод Абеля действительно применим. Докажем теперь, что он сходится к <tex> S </tex> при <tex> t \rightarrow 1-0</tex>. Для этого еще раз применим преобразование Абеля:<tex> \sum\limits_{k = 0}^{\infty} S_k(t^k-t^{k+1}) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} ((k+1)\sigma_k - k\sigma_{k-1})(t^k-t^{k+1}) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} (k+1)\sigma_k(t^k-t^{k+1}) - </tex><tex> - \sum\limits_{k = 0}^{\infty} k\sigma_{k-1}(t^k-t^{k+1}) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} (k+1)\sigma_k(t^k-t^{k+1}) - \sum\limits_{k = -1}^{\infty} (k+1)\sigma_k(t^{k+1}-t^{k+2}) = </tex><tex> = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} (k+1)\sigma_k(t^{k}-2t^{k+1}+t^{k+2}) </tex>. Воспользуемся методом производящих функций: }} {{TODO| t= Теорему Фробениуса Пушкин будет доказывать? А Надо добавить теорему Харди?.}}
