Изменения
Нет описания правки
В сумме стоит конечное число слагаемых, и при каждом <tex>n</tex> можно перейти к пределу при <tex>p \rightarrow \infty</tex>: <tex>\sum\limits_{j = 1}^n (x_j^{(m)} - x_j)^2 \le \varepsilon^2</tex>. Далее, переходя к пределу при <tex>n \rightarrow \infty</tex>, получаем: <tex>\sum\limits_{j = 1}^\infty (x_j^{(m)} - x_j)^2 \le \varepsilon^2 \quad (*)</tex>
По определению <tex>\ell^2</tex> точка <tex>(x^{(m)} - x) \in \ell^2</tex>. Но <tex>x_j x = x_jx^{(m)} - (x_jx^{(m)} - x_jx)</tex>, <tex> x_jx^{(m)} \in \ell^2 </tex> по условию, а <tex> x_jx^{(m)} - x_j x \in \ell^2</tex>, начиная с некоторого <tex>m > M</tex>, значит, из доказанной ранее алгебраической замкнутости <tex>\ell^2</tex> следует, что <tex>x \in \ell^2</tex>. Теперь можно записать неравенство <tex>(*)</tex> как <tex>\|x^{(m)} - x\| \le \varepsilon</tex>. Поскольку неравенство верно для любого <tex>m > M</tex>, то точка <tex>x</tex> является пределом последовательности <tex>x^{(m)}</tex>.
}}
