Распространение интеграла на произвольные ограниченные фигуры

Некоторые определения

Определение:

Фигура ограничена, если её можно поместить в некоторый конечный прямоугольник.

Будем рассматривать интеграл на фигуре [math]E \subset \mathbb{R}^2[/math] от функции [math]z = f(x, y)[/math]

[math]\bar f(x, y) = \begin{cases}f(x, y) , & (x, y) \in E \\0 , & (x, y) \notin E \\\end{cases}[/math]

[math]\forall \Pi \supset E[/math], [math]\iint\limits_E f = \iint\limits_\Pi \bar f[/math]

Это легко проверить на основе аддитивноcти интеграла по прямоугольнику.

Квадрируемость

Определение:

[math]E \subset \mathbb{R}^2[/math] квадрируема по Жордану, если существует [math]\iint\limits_E 1[/math]. Значение этого интеграла называется 'площадью фигуры'.

Далее мы установим квадрируемость некоторых фигур.

Утверждение:

Любой прямоугольник квадрируем. [math]\iint\limits_\Pi 1 dx dy = |\Pi| = (b - a)(d - c)[/math].

Определение:

Кривая [math]\Gamma[/math] — Жорданова дуга, если она не имеет самопересечений, и её параметрические уравнения — непрерывные функции.

Лемма (Жордан):

Любая замкнутая жорданова дуга разбивает плоскость на две части: ограниченную — 'внутреннюю' и неограниченную — 'внешнюю'.

Теорема:

Пусть [math]\Gamma[/math] — спрямляемая замкнутая жорданова дуга. Тогда её внутренняя часть [math]E[/math] — квадрируемая фигура.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для доказательства надо погрузить фигуру в прямоугольник и доказать, что интеграл по нему от функции, равной [math]1[/math] внутри фигуры и [math]0[/math] вне фигуры, существует. Для этого надо показать, что [math]\omega(f, \tau) \to 0[/math]. Пусть [math]\Pi_{ij}[/math] — разбиение [math]\Pi[/math]. Разделим все клетки на три группы. [math]1 : \Pi_{ij} \subset E[/math] (внутренние) [math]2 : \Pi_{ij} \not\subset E[/math] (внешние) [math]3[/math] — остальные(пересекающие) Обозначим за [math]\Sigma_1[/math], [math]\Sigma_2[/math] и [math]\Sigma_3[/math] суммы разностей сумм Дарбу для первой, второй и третьей групп соотвтственно. Очевидно, каждая клетка попадёт ровно в одну из этих групп. Тогда [math]\omega(\bar f, \tau) = \Sigma_1 + \Sigma_2 + \Sigma_3[/math] На клетках первой группы [math]\bar f = 1[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\Sigma_1 = 0[/math]. На клетках второй группы [math]\bar f = 0[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\Sigma_2 = 0[/math]. В третьей группе [math]\sup\bar f = 1[/math], [math]\inf\bar f = 0[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\Sigma_3 = \sum\limits_{i, j} \Delta x_i \Delta y_j[/math], где [math]\Pi_{ij}[/math] — в третьей группе. [math]\Delta x_i \Delta y_j \leq \frac12(\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2)[/math] [math]\omega(\bar f, \tau) = \Sigma_3 \leq \frac12(\sum\limits{i,j} \sqrt{\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2} \cdot \sqrt{\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2}) [/math] По определению ранга, принимая во внимание, что ранг — длина диагонали клетки, [math]\omega(\bar f, \tau) \leq \frac12\operatorname{rang} \tau \cdot \sum\limits_{ij} \sqrt{\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2}[/math]. Но дуга спрямляемая, то есть, имеет конечную длину, поэтому, написанная сумма ограничена. Тогда [math]\operatorname{rang}\tau \to 0 \Rightarrow \omega(\bar f, \tau) \to 0[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Из этой теоремы мгновенно получаем, что треугольники, круги и прочие элементарные фигуры квадрируемы, потому что их границы — спрямляемые дуги.

Неквадрируемые фигуры

Возникает вопрос: "а есть ли вообще неквадрируемые фигуры?". Легко понять, что они есть. Построим аналог функции Дирихле.

Нужно взять прямоугольник и оставить только те точки, координаты которых рациональны. Эта фигура площади не имеет, ибо для каждой точки найдётся точка рядом с ней такая, что хотя бы одна из её координат будет иррациональна. Поэтому, при построении разбиения, нижняя сумма будет нулевой, а верхняя будет равна [math]S[/math]. Интеграла нет, фигура не квадрируема.

Квадрируемость компакта

Имея понятие квадрируемости, можно писать условия существования интеграла уже через функцию [math]f[/math].

Теорема:

Пусть [math]E[/math] — квадрируемый компакт на плоскости, [math]f[/math] непрерывна на [math]E[/math]. Тогда существует [math]\iint\limits_E f[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Функция непрерывна на компакте [math]\Rightarrow[/math] равномерно непрерывна. Возьмём какой-то [math]\Pi \supset E[/math] и составим для него разбиение и [math]\omega(\bar f, \tau)[/math]. Нужно показать, что тогда [math]\omega(\bar f, \tau) \to 0[/math]. Аналогично доказательству квадрируемости фигуры, разобьём все клетки на три типа: [math]\Sigma_1[/math] (внутри), [math]\Sigma_2[/math] (пересекают) и [math]\Sigma_3[/math] (вне). Вторая сумма оценивается за счёт того, что функция ограничена: [math]\Sigma_2 \leq 2 \cdot [/math] длину границы [math] \cdot M[/math]. При [math]\operatorname{rang}\tau \to 0[/math] это стремится к нулю. Оценим [math]\Sigma_1[/math]. Из равномерной непрерывности, [math]M_{ij} - m_{ij} \lt \varepsilon[/math]. Сумма же площадей клеток не превзойдёт [math]|\Pi|[/math]. Тогда [math]\Sigma_1 \lt \varepsilon |\Pi| \to 0[/math]. Значит, [math]\omega(\bar f, \tau) \to 0[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Аддитивность

Теорема (аддитивность):

Пусть [math]E[/math] — квадрируема и разделена на две квадрируемых фигуры [math]E_1[/math] и [math]E_2[/math], не имеющих общих внутренних точек. Тогда [math] \exists\iint\limits_Ef\iff\exists\iint\limits_{E_1}f, \exists\iint\limits_{E_2} f[/math] и [math]\iint\limits_E f = \iint\limits_{E_1} f + \iint\limits_{E_2} f[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Покажем, что аддитивность выводится из линейности интеграла по прямоугольнику. [math]E = E_1 \cup E_2[/math], всё квадрируемо. [math]\iint\limits_{E_1} f = \iint\limits_{\Pi \supset E_1} f[/math], [math]\iint\limits_{E_2} f = \iint\limits_{\Pi \supset E_2} f[/math] Пусть [math]\Pi \supset E[/math]. Тогда этот [math]\Pi[/math] годится для обоих интегралов. Следует обратить внимание на то, что [math]\bar f[/math] для [math]E_1[/math] и [math]\bar f[/math] для [math]E_2[/math] — разные функции. Например, первая из них на [math]E_2[/math] равна нулю, так как [math]E_1 \cap E_2 = \varnothing[/math]. Определим [math]\bar f_1[/math] и [math]\bar f_2[/math]. [math]\bar f_1(x, y) = \begin{cases}f(x, y) & , (x, y) \in E_1\\0 & , (x, y) \notin E_1\\\end{cases}[/math] Аналогично определим [math]\bar f_2[/math]. Тогда [math]\iint\limits_{E_1} f = \iint\limits_\Pi \bar f_1[/math], [math]\iint\limits_{E_2} f = \iint\limits_\Pi \bar f_2[/math]. Сложим последние два равенства: [math]\iint\limits_{E_1} f + \iint\limits_{E_2} f = \iint\limits_\Pi (\bar f_1 + \bar f_2)[/math] Заметим, что [math]\bar f_1 + \bar f_2 = \bar f[/math]. Это проверяется простым рассмотрением точки внутри [math]E_1[/math], внутри [math]E_2[/math] и вне [math]E_1[/math] и [math]E_2[/math]. Значит, [math]\iint\limits_\Pi (\bar f_1 + \bar f_2) = \iint\limits_\Pi \bar f = \iint\limits_E f[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Замечание

На самом деле, часто, имея в виду рассматриваемый случай, начинают говорить о так называемых 'финитных' функциях, то есть, функциях, которые вне какого-то прямоугольника равны нулю. Их преимущество в том, что они заданы на всей плоскости. Тогда, [math]\iint\limits_{\mathbb{R}^2} f = \iint\limits_\Pi f[/math]. Тогда всё можно выводить из линейности интеграла.

Обобщение

Обобщим предыдущую теорему на случай [math]p[/math] частей.

Пусть [math]E = \bigcup\limits_{j = 1}^p E_j \Rightarrow \iint\limits_E f = \sum\limits_{j = 1}^p \iint\limits_{E_j} f[/math] и [math]|E_j| = \iint\limits_{E_j} dx dy[/math] — площадь.

Рассмотрим аналог интегральной суммы:

[math]\sum\limits_{j = 1}^p f(P_j) \cdot |E_j|[/math], [math]P_j \in E_j[/math].

Далее можно называть совокупность таких частей разбиением [math]E[/math], замерить максимальный диаметр, назвать это рангом, устремить его к нулю и ставить вопрос о пределе таких сумм, который не должен зависеть от выбора [math]P_j[/math].

Отличие данной суммы от суммы по прямоугольнику, содержащему [math]E[/math] заключается в том, что эта сумма описана во внутренних терминах(снаружи от фигуры нет нуля). Здравый смысл подсказывает, что пределом таких сумм и будет искомый интеграл.

Если, например, потребовать равномерной непрерывности функции на [math]E[/math], это можно сравнивать с суммой интегралов по частям фигуры.

[math]\forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 : |p'' - p'| \lt \delta \Rightarrow |f(p'') - f(p')| \lt \varepsilon[/math]

[math]\operatorname{rang}\tau \lt \delta[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\operatorname{diam} E_j \lt \delta[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\forall p'', p' \in E_j : |p'' - p'| \lt \delta[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]|f(p'') - f(p')| \lt \varepsilon[/math]

[math]\left|\sum\limits_{j = 1}^p \iint\limits_{E_j} f - \sum\limits_{j = 1}^p f(P_j)\cdot|E_j| \right| \leq[/math] [math]\sum\limits_{j = 1}^p \iint\limits_{E_j} |f(P) - f(P_j)| dx dy \leq[/math] [math]\varepsilon \sum\limits_{j = 1}^p |E_j| = \varepsilon |E| \to 0[/math]

Сумма интегралов [math]=[/math] интеграл по фигуре [math]\Rightarrow[/math] [math]\iint\limits_E f = \lim\limits_{\operatorname{rang}\tau \to 0} \sum\limits_{j = 0}^p f(P_j) \cdot |E_j|[/math].