О многократных интегралах

Идеология построения многократных интегралов полностью копирует двойные.

Пункт 1. Основные определения

[math]\Pi = [a_1; b_1] \times [a_2; b_2] \times \ldots \times [a_n; b_n] \subset \mathbb{R}^n[/math]

[math]y = f(\bar x) = f(x_1; x_2; \ldots; x_n)[/math]

[math]\tau_j : a_j = a_{j0} \lt a_{j1} \lt \ldots \lt a_{jp_j} = b_j[/math]

[math]\Pi_{i_1i_2\ldots i_n} = [a_{1i_1}; a_{1i_1 + 1}] \times [a_{2i_2}; a_{2i_2 + 1}] \times \ldots \times [a_{ni_n}; a_{ni_n + 1}][/math]

Определение:

[math]\sum f(x_{i_1}, x_{i_2}, \ldots, x_{in}) \Delta a_{1i_1} \Delta a_{2i_2} \ldots \Delta a_{ni_n}[/math] — интегральная сумма.

После этого одновременно все ранги разбиения устремляются к нулю. Если предел не зависит от выбора точек внутри клеток, то эта сумма называется [math]n[/math]-кратным интегралом Римана по прямоугольнику.

[math]\int\limits_\Pi f = \int\limits_{a_1}^{b_1} \ldots \int\limits_{a_n}^{b_n} f(x_1; x_2; \ldots x_n) dx_1 dx_2 \ldots dx_n[/math]

Далее, по аналогии, выводим линейность и аддитивность, устанавливаем тот факт, что [math]f[/math] — непрерывная [math]\Rightarrow[/math] [math]\exists \int f[/math]

Финально, формула повторного интеграла по [math]\Pi[/math]:

[math]\int\limits_\Pi f = \int\limits_{a_1}^{b_1} dx_1 \ldots \int\limits_{a_n}^{b^n} f(x_1, \ldots, x_n) dx_n[/math]

Пункт 2. Интеграл по произвольному множеству

[math]E \subset \mathbb{R}^n[/math], [math]E \subset \Pi[/math], [math]f : E \to \mathbb{R}[/math], [math]f_E(\bar x) = \begin{cases}0 & , \bar x \not\subset E\\f(\bar x) & , \bar x \subset E\end{cases}[/math]

Проверяем существование [math]\int\limits_\Pi f_E[/math]. Если этот интеграл существует, то по аддитивности проверяем, что он не зависит от [math]\Pi \supset E[/math], что позволяет по определению считать, что [math]\int\limits_E f = \int\limits_{\Pi \supset E} f_E[/math]

Это определение уже диктует все свойства [math]\int\limits_E[/math]. Как и в двойном интеграле выясняется, что всё имеет смысл только для тех [math]E \subset \mathbb{R}^n[/math], для которых [math]\exists\int\limits_E 1 = |E|[/math] — 'объём' [math]n[/math]-мерной фигуры, а саму фигуру продолжают называть 'квадрируемой'.

[math]E[/math] — квадрируема [math]\iff[/math] [math]|\partial E| \gt 0[/math] (объём границы равен 0).

Выводятся свойства линейности и аддитивности.

Добавление очередной размерности позволяет писать в разных формах формулу повторного интегрирования, оперируя сечениями фигур, которые получаются за счёт введения [math]m[/math]-мерных гиперплоскостей.

Например, в [math]\mathbb{R}^3[/math]: [math]E = \{(x, y) \in G \subset \mathbb{R}^2, z \in (g_1(x, y), g_2(x, y))) \}[/math]

Тогда [math]\iiint\limits_E f(x, y, z) dx dy dz = \iint\limits_G dx dy \int\limits_{g_1(x, y)}^{g_2(x, y)} f(x, y, z) dz[/math]

Все формулы получаются элементарно: [math]E \subset \Pi[/math], [math]\int\limits_E f = \int\limits_\Pi f_E[/math]. Тут уже есть повторный интеграл. Далее, для точек сечения вне [math]E[/math] [math]f(\bar x) = 0[/math]. Получается переменный предел интегрирования.

Пункт 3. Замена переменных интегрирования

Если исходные переменные выражаются через [math]n[/math] других,

[math]\mathcal{J}(u_1, \ldots, u_n) = \left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x_1}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial u_n} \\\vdots & \ddots & \vdots \\\frac{\partial x_n}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial u_n} \\\end{array}\right| \ne 0[/math]

[math]\int\limits_E f(\bar x) d \bar x = \int\limits_{E'} f(\bar x(\bar u)) |\mathcal{J}(\bar u)| d \bar u[/math]

Так же, как и с двойным интегралом, важнейшим этапом доказательства является то, что [math]E = \int\limits_E |\mathcal{J}(\bar u)|d \bar u[/math].

Однако, это скорее геометрический факт, нежели факт анализа.