Изменения
Нет описания правки
# Пусть <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} непрерывен на X, тогда <tex> 0 = \lim \limits_{x \to 0} \mathcal{A}(x) </tex>
#: Подставляем в определение <tex>\varepsilon = 1: ~ \exists \delta > 0: \left \| x \right \| \le \delta</tex> и, значит, при <tex>\Delta x \to 0 ~ \left \| \mathcal{A}(x) \right \| \le \varepsilon = 1</tex>
#: <tex>\forall x \ne 0</tex> рассмотрим <tex>z = \frac{\delta}{2} \frac {x}{\left \| x \right \|} .\quad</tex>. <tex> \left \| z \right \| = \frac{\delta}{2} < \delta \Rightarrow \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le 1 </tex>
#: Но <tex>\mathcal{A} \left ( z \right ) = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} \mathcal{A}(x) </tex>. Значит, <tex> \| \mathcal{A}(z) \| = \frac {\delta}{2 \| x \|} \| \mathcal{A}(x) \| \le 1</tex>, таким образом, <tex> \| \mathcal{A}(x) \| \le \frac2{\delta} \| x \|</tex>
#: Очевидно, это верно и для <tex>x = 0</tex>. <tex> m = \frac2{\delta} </tex>, поэтому оператор ограничен.
