152
правки
Изменения
Нет описания правки
[[Дифференцируемые отображения в нормированных пространствах|<<]] [[Безусловный экстремум функции многих переменных|>>]]
Как ранее было установлено, для функции одной переменной <tex>y = f(x), x \in \mathbb{R} </tex> выполняется следующее:
<tex> f(x) - f(x_0) = \sum \limits_{k=1}^n \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} </tex>
<tex>\Delta f(x_0, \Delta{x})=f(x_0 + \Delta{x})-f(x_0)</tex>
<tex>d^k f(x_0)=f^{(k)}(x_0)\Delta x^k</tex>
<tex>g(t)=f(t,y+\Delta y)-f(t,y)</tex>
<tex>\Delta _x \Delta _y f=g(x+\Delta x)-g(x)=g'(x+\theta theta_1 \Delta x)\Delta x</tex>
<tex>g'(t)=\frac {\partial f}{\partial x}(t,y+\Delta y)-\frac {\partial f}{\partial x}(t,y)</tex>
<tex>\Delta _x \Delta _y f=\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x+\theta_1\Delta x,y+\theta_2 \Delta y) \Delta x \Delta y</tex>
Аналогично:
<tex>\Delta _y \Delta _x f=\frac {\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x+\theta_3\Delta x,y+\theta_4 \Delta y) \Delta x \Delta y</tex>
Левые части двух равенств выше равны, значит, равны и правые. Рассмотрим <tex>\overline a = (a,b)</tex>:
<tex>\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a+\theta_1\Delta a,b+\theta_2 \Delta b) \Delta a \Delta b=\frac {\partial^2 f}{\partial b \partial a}(a+\theta_3\Delta a,b+\theta_4 \Delta b) \Delta a \Delta b~~\forall \Delta a,\Delta b.</tex> <tex>\theta_i \in (0,1)</tex>
В <tex>\overline a</tex> оба выражения непрерывны. Устремим <tex>\Delta a,\Delta b \to 0</tex> и по непрерывности в пределе приходим к нужной формуле.
<tex>d^{n+1}f(\overline x, \Delta \overline x)</tex><tex>=d(d^n f (\overline x, \Delta \overline x))</tex><br>
<tex>d^2 f=d\left( \frac {\partial f}{\partial x}(\overline x) \Delta x-+ \frac {\partial f}{\partial y}(\overline x) \Delta y\right)</tex><tex>=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(\overline x) \Delta x^2+2\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}(\overline x) \Delta x\Delta y+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(\overline x) \Delta y^2</tex>. Частные производные — непрерывны. Теперь пусть <tex>dx=\Delta x</tex>, <tex>dy=\Delta y</tex>: <tex>x=a+bt</tex>, <tex>dx=bdt</tex>
<tex>g(t)=f(a+bt,c+dtmt)</tex>
<tex>dg=g'(t)dt=\frac {\partial f}{\partial x}(a+bt)bdt+ \frac {\partial f}{\partial y}(c+dtmt)ddtmdt</tex><tex>=\frac {\partial f}{\partial x}(a+bt)dx+ \frac {\partial f}{\partial y}(c+dtmt)dy=\frac{\partial f}{\partial x}df</tex>
<tex>g(t)=f(\overline a+t\Delta \overline a)</tex>
<tex>g(1)-g(0)=f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)</tex>
<tex>g(1)-g(0)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}g(0)}{k!}+\frac {1}{(n+1)!}d^{n+1}g(\theta)</tex>
Так как мы делали линейную замену, можно просто подставить <tex> f </tex> обратно, тогда получим:
<tex>f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}f(\overline a)}{k!}+\frac {d^{n+1}f(\overline a+\theta\Delta \overline a)}{(n+1)!}</tex> — формула Тейлора для функции многих переменных.
В частности, при <tex>n=1</tex>:
<tex>f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{j=1}^nm\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline a)\Delta \overline a+\frac 1 2 \sum \limits_{i,j=1}^n m \frac {\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} (\overline a+\theta \Delta \overline a)\Delta a_i\Delta a_j</tex>
[[Дифференцируемые отображения в нормированных пространствах|<<]] [[Безусловный экстремум функции многих переменных|>>]]
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
