Теоретический минимум по математическому анализу за 2 семестр

Вопрос №1. Суммирование расходящихся рядов методом средних арифметических

Определение:

Ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n[/math] имеет сумму [math]S[/math] по методу средних арифметических (обозначают аббревиатурой с.а.), если [math]S = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k[/math].

Вопрос №2. Суммирование расходящихся рядов методом Абеля

Определение:

Пусть дан ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n[/math] и [math] \forall t \in (0; 1) : \sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_nt^n = f(t)[/math] (в классическом смысле). Тогда этот ряд имеет сумму [math] S [/math] по методу Абеля, если [math] S = \lim\limits_{t \to 1 - 0} f(t)[/math].

Вопрос №3. Теорема Фробениуса

Теорема (Фробениус):

[math] \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S [/math] (с.а) [math] \Rightarrow [/math] [math] \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n = S [/math] (А).

Вопрос №4. Тауберова теорема Харди

Теорема (Харди):

[math]\sum\limits_{k = 0}^\infty a_k = S[/math](с.а.) Тогда, если существует такое [math] M \gt 0 [/math], что [math] \forall n \in \mathbb N: \sum\limits_{k = n + 1}^\infty a_k^2 \leq \frac{M}n [/math], то [math] \sum\limits_{k=0}^\infty a_k = S[/math].

Вопрос №5. Равномерная сходимость функционального ряда. Критерий Коши

Определение:

[math]f_1, f_2, \ldots[/math] равномерно сходится к [math]f(x)[/math], если [math]\forall \varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall n \gt N\ \forall x \in E : |f_n(x) - f(x)| \lt \varepsilon[/math] Пишут, что [math]f_n \rightrightarrows f[/math].

Определение:

Пусть на [math]E[/math] задан функциональный ряд [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n[/math]. Тогда он равномерно сходится к [math]f = \sum f_n[/math], если [math]\forall\varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall n \gt N\ \forall x \in E : |S_n(x) - f(x)| \lt \varepsilon[/math]

Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости):

Ряд равномерно сходится на [math]E[/math] [math]\iff[/math] [math]\forall\varepsilon\ \gt 0\ \exists N\ \forall m, n : m \geq n \gt N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \lt \varepsilon[/math]

Вопрос №6. Признак Вейерштрасса

Теорема (Вейерштрасс):

[math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n[/math], [math]\forall n \in \mathbb{N} [/math] , [math] \forall x \in E : |f_n(x)| \leq a_n[/math], [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n[/math] — сходится. Тогда [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n[/math] равномерно сходится на [math]E[/math].

Вопрос №7. Признак типа Абеля-Дирихле

Теорема:

Пусть: [math]\exists M: \forall x \in E \quad \forall N \in \mathbb N \quad \left |\sum\limits_{n = 1}^N b_n(x) \right| \le M[/math] [math]\forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists N \in \mathbb N \quad \forall n \gt N \quad \forall x \in E \quad |a_n(x)| \lt \varepsilon;\quad\exists N:\forall n\gt N\quad a_n \ge a_{n+1}[/math] Тогда ряд [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n(x)b_n(x)[/math] равномерно сходится.

Вопрос №8. Предельный переход под знаком функционального ряда

Теорема:

Пусть на множестве [math]E[/math] заданы функции [math]f_n[/math], [math]a[/math] — предельная точка этого множества и [math]\forall n \in \mathbb{N}\ \exists\ \lim \limits_{x \to a} f_n(x)[/math]. Тогда если [math]\sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n[/math] - равномерно сходится на [math]E[/math], то выполняется равенство : [math]\lim \limits_{x \to a} \sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n(x) = \sum \limits_{n = 0}^{\infty} \lim\limits_{x \to a} f_n(x)[/math]

Вопрос №9. Условия почленного интегрирования функционального ряда

Теорема:

Пусть [math] f_{n} [/math] интегрируема и равномерно сходится к [math] f [/math] на [math] [a; b] [/math]. Тогда [math] f [/math] тоже интегрируема, и [math] \lim \limits_{n \to \infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n} = \int\limits_{a}^{b}f [/math].

Утверждение:

Пусть функциональный ряд состоит из [math]f_n \in \mathcal{R}\left[ a, b \right ][/math] и равномерно сходится на этом отрезке. Тогда сумма ряда будет интегрируемой функцией, и будет выполняться: [math]\int\limits_{a}^{b} \sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_{n}(x)dx = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n}(x)dx[/math]

Вопрос №10. Условия почленного дифференцирования функционального ряда

Теорема:

Пусть на [math] (a, b) [/math] задан функциональный ряд [math]\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n[/math], [math]\exists c \in \langle a, b \rangle, \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)[/math] - сходится. Пусть также [math]\exists f_n'[/math] - непрерывна на [math]\langle a, b \rangle[/math] и [math]\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n'[/math] - равномерно сходится на [math]\langle a, b\rangle[/math], тогда на [math]\langle a, b \rangle[/math] выполняется : [math](\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n(x))' = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)[/math].

Вопрос №11. Лемма Абеля

Лемма (Абель):

Пусть для некоторого [math]x_0[/math] [math]\sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n x_0^n[/math] — сходится. Тогда [math]\forall x_1 : |x_1| \lt |x_0|[/math] ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty |a_n x_1^n|[/math] сходится.

Вопрос №12. Теорема о радиусе сходимости

Определение:

[math]R = \sup \{|x| : \sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math] — сходится [math]\}[/math]. Заметим, что возможны случаи [math]R = 0[/math] и [math]R = \infty[/math].

Теорема:

Пусть есть ряд [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math] и [math]R[/math] — его радиус сходимости. Тогда 1) [math]|x| \lt R[/math] [math]\Rightarrow[/math] ряд абсолютно сходится. 2) [math]\forall [a; b] \in (-R; R)[/math] ряд сходится абсолютно и равномерно. 3) [math]|x| \gt R[/math] [math]\Rightarrow[/math] ряд расходится. 4) [math]|x| = R[/math] — неопределённость.

Вопрос №13. Вычисление радиуса сходимости

Теорема:

Пусть есть [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty a_n x^n[/math], [math]R[/math] — его радиус сходимости. Тогда: 1) Если [math]\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n + 1}}\right|[/math], то [math]R = q[/math]. 2) Если [math]\exists q = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}[/math], то [math]R = \frac1q[/math] Замечание: на самом деле, есть формула Коши-Адамара, применимая в любом случае: [math]R = \frac1{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|}}[/math]. Но она сложная и никому не нужна. Формула теоретическая, верхний предел вычислить часто невозможно.

Вопрос №14. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Вопрос: "Каковы будут радиусы сходимости почленно проинтегрированных или продифференцированных рядов?"

Ответ: "Почленное интегрирование или дифференцирование не меняет радиуса сходимости ряда".

Утверждение:

Промежуток сходимости степенного ряда совпадает с промежутком сходимости продифференцированного степенного ряда

Вопрос №15. Степенной ряд, как ряд Тейлора своей суммы

<wikitex> Пусть $ f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n, \qquad R > 0 \qquad (x_0 - R; x_0 + R) $.

Определение:

$ \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n $ - ряд Тейлора функции по степеням $ (x - x_0) $.

Сопоставим ряд с формулой Тейлора функции, которую можно писать для любого $ n $.

$ f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k + r_n(x) \Rightarrow $ ряд получается из формулы при $ n \to \infty $. Если $ r_n(x) \rightarrow 0 $ при $ n \rightarrow \infty $, то можно перейти к пределу.

$ f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k $, что является разложением функции в степенной ряд в точке $ x $.

Если при всех x из некоторой окрестности точки $ x_0 $ функция разлагается в степенной ряд, то это будет обязательно ряд Тейлора.

Если разложение возможно, то единственно. Изучается с помощью поведения остатка $ r_n(x) $. </wikitex>

Вопрос №16. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора

Для того, чтобы функция была разложима в ряд Тейлора, достаточно чтобы [math] r_n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 [/math]

Вопрос №17. Разложение в степенной ряд показательной и логарифмической функций

<wikitex> $e^x \stackrel{def}{=} \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} $

$ \ln(1 + x) = \sum\limits_{k = 1}^n (-1)^{k - 1} \frac{x^k}k + r_n(x) $, причем $ r_n(x) = \frac{\ln^{(n + 1)} (1 + \theta_n x)}{(n + 1)!} x^{n + 1}, \theta_n \in (0; 1) $ </wikitex>

Вопрос №18. Разложение в степенной ряд тригонометрических функций

<wikitex> $\sin(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}$

$\cos(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ </wikitex>

Вопрос №19. Биномиальный ряд Ньютона

<wikitex> $ (1 + x)^{\alpha} = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left[ \frac{\alpha (\alpha - 1) \dots (\alpha - k + 1)}{k!} x^k \right] + 1, \alpha \in \mathbb{R} $

$ r_n(x) = \frac{a (a - 1) \dots (a - n + 1) (a - n) (1 + \theta x)^{a - n - 1}}{n!} (1 - \theta)^n x^{n + 1} $ (в форме Коши) </wikitex>

Вопрос №20. Формула Стирлинга

<wikitex> $ n! = \sqrt{2 \pi n} {\left ( \frac ne \right )}^n e^{\frac{\theta_n}{12n}} $ </wikitex>

Вопрос №21. Нормированное пространство: арифметика предела

Утверждение:

Пусть [math]x_n[/math], [math]y_n[/math] — последовательности точек нормированного пространства [math](X, \|\cdot\|)[/math], а [math]\alpha_n[/math] — вещественная последовательность. Известно, что [math]x_n \rightarrow x[/math], [math]y_n \rightarrow y[/math], [math]\alpha_n \rightarrow \alpha[/math]. Тогда: [math]x_n + y_n \rightarrow x + y[/math] [math]\alpha_n x_n \rightarrow \alpha x[/math] [math]\|x_n\| \rightarrow \|x\|[/math]

Вопрос №22. Ряды в банаховых пространствах

Определение:

Нормированное пространство [math](X, \|\cdot\|)[/math] называется B-пространством, если для любой последовательности элементов [math]X[/math], для которых из [math]\|x_n - x_m\| \to 0[/math] при [math]n, m \to \infty[/math] вытекает существование предела последовательности.

[math]\left \| \sum\limits_{k = 1}^\infty x_k \right \| \le \sum\limits_{k = 1}^\infty \| x_k \|[/math]

Вопрос №23. Унитарные пространства, неравенство Шварца

Определение:

Линейное множество со скалярным произведением называется унитарным пространством.

Утверждение:

[math]|(x, y)| \le \sqrt{(x, x)}\sqrt{(y, y)}[/math]

Вопрос №24. Гильбертовы пространства, экстремальное свойство ортонормированных систем

Среди нормированных пространств выделяется подкласс так называемых гильбертовых пространств.

Пусть [math]H[/math] — линейное пространство. Величина [math](x, y) \in \mathbb R[/math] называется скалярным произведением точек множества [math]H[/math], если она удовлетворяет следующим трём аксиомам:

1. [math](x, x) \ge 0[/math], [math](x, x) = 0 \iff x = 0[/math]
2. [math](x, y) = (y, x)[/math]
3. [math](\alpha x + \beta y, z) = \alpha(x, z) + \beta(y, z)[/math]

Базируясь на этом неравенстве, определим норму [math]\|x\| = \sqrt{(x, x)}[/math].

Доказанное неравенство треугольника превращает [math]H[/math] в нормированное пространство. Если оно является B-пространством, то его называют гильбертовым пространством.

Теорема (Бессель):

Пусть [math] l_1 \dots \l_n \dots [/math] - ОНС в [math] H [/math] и [math] x \in H [/math], тогда [math] \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, l_k)^2 \le \|x\|^2[/math]

Экстремальное свойства ряда Фурье заключается в следующем: [math]\sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, l_k)^2[/math] располагается ближе всего к [math]\|x\|^2[/math], если [math]l_k[/math] — ряд Фурье [math]x[/math].

Вопрос №25. Ортогональные ряды в гильбертовых пространствах.

Определение:

Ряд [math] \sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k [/math] является ортогональным, если [math] \forall n \ne m \Rightarrow (x_n, x_m) = 0 [/math].

В частности, так как [math] l_1, \dots, l_n, \dots [/math] - ОНС в [math] H [/math](гильбертово), то [math] \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k l_k [/math] — ортогональный ряд.

Теорема:

[math]\sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k [/math] - сходящийся ортогональный ряд [math] \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 \lt + \infty [/math]. При этом, если x - сумма ряда, то выполняется теорема Пифагора: [math] \| x \|^2 = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 [/math]

Вопрос №26. Принцип сжатия Банаха

Определение:

Пусть [math]X[/math] — B-пространство. Пусть [math]\overline V[/math] — замкнутый шар в [math]X[/math]. [math] \mathcal{T} : \overline V \to \overline V[/math] — сжатие на шаре [math]\overline V[/math], если [math]\exists q \in (0;1) \ \forall x',x'' \in \overline V[/math] [math] : \| \mathcal{T}x''-\mathcal{T}x' \| \le q \|x''-x'\|[/math].

Теорема (Банах):

У любого сжимающего отображения существует ровно одна неподвижная точка [math]x^*=\mathcal{T}x^*[/math].

Вопрос №27. Линейные операторы в НП: непрерывность и ограниченность

Определение:

Пусть [math]X[/math], [math]Y[/math] — нормированные пространства, [math]~\mathcal{A}\colon X \to Y[/math]. [math]\mathcal{A}[/math] называется линейным оператором, если [math]\mathcal{A} (\alpha x + \beta y ) = \alpha \mathcal{A} \left( x \right) + \beta \mathcal{A} \left( y \right), \forall \alpha, \beta \in \mathbb {R}, \forall x, y \in X[/math]

Определение:

Л.о. называется ограниченным, если [math]\exists m \in \mathbb {R} \ge 0: \forall x \in X \left \| \mathcal{A} \left( x \right) \right \| \le m \left \| x \right \|[/math]

Определение:

Л.о. непрерывен в X, если [math]\lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} \mathcal{A} \left( x + \mathcal{4}x \right) = \mathcal{A} \left( x \right) [/math]

Теорема:

Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.

Вопрос №28. Норма линейного оператора

Определение:

Нормой ограниченного оператора [math]\left \| \mathcal{A} \right \|[/math] является [math]\sup \limits_{\left \| x \right \| \le 1} \left \| \mathcal{A}x \right \|[/math].

Вопрос №29. Линейные функционалы в унитарном пространстве, разделение точек

Определение:

Линейный функционал - линейный оператор вида [math] \mathcal{A}: H \rightarrow \mathbb{R} [/math], где [math] H [/math] - гильбертово пространство.

Теорема:

Для любого [math] x_0 \in H [/math] существует ограниченный линейный функционал [math]f \colon H \to \mathbb{R}[/math], обладающий такими свойствами: [math]f \left ( x_0 \right ) = \left \| x_0 \right \|[/math] [math]\left \| f \right \| = 1[/math]

Утверждение (Разделение точек):

[math]\forall x \ne y\ \exists[/math] линейный функционал [math]\mathcal{A} : \mathcal{A}x \ne \mathcal{A}y[/math]

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]x-y[/math]. [math]\exists \mathcal{A} : \mathcal{A}(x - y) = \| x- y\|[/math]. По линейности, [math]\mathcal{A}(x - y) = \mathcal{A}x - \mathcal{A}y[/math]. Значит, [math]\mathcal{A}x \ne \mathcal{A}y[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Вопрос №30. Пространство R^n : покоординатная сходимость

Утверждение (покоординатная сходимость в [math]\mathbb R^n[/math]):

Пусть дана последовательность [math]\overline x^{(m)} \in \mathbb R^n[/math]. Тогда [math]\overline x^{(m)} \rightarrow \overline x[/math] в [math]\mathbb R^n[/math] тогда и только тогда, когда для любого [math]j \in 1,\dots,n[/math] последовательность [math]\overline x_j^{(m)} \rightarrow \overline x_j[/math]

Вопрос №31. Полнота R^n

Теорема:

Пространство [math]\mathbb R^n[/math] с евклидовой нормой является B-пространством.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Надо установить, что из сходимости в себе следует существование предела по норме [math]\mathbb R^n[/math]. Если [math]\|\overline x^{(m)} - \overline x^{(p)}\| \rightarrow 0[/math], то для любого [math]j[/math] выполняется [math]|x_j^{(m)} - x_j^{(p)}| \rightarrow 0[/math]. По критерию Коши для числовых последовательностей из этого следует, что каждая из последовательностей [math]x_j^{(m)}[/math] имеет предел, то есть, последовательность точек сходится покоординатно. Но по доказанному ранее утверждению из покоординатной сходимости следует сходимость по норме, что и требовалось доказать.

[math]\triangleleft[/math]

Вопрос №32. Критерий компактности в R^n

Теорема (критерий компактности в [math] R^n [/math]):

Множество [math] X [/math] в [math] R^n [/math] компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

Ворпос №33. Непрерывные отображения в R^n: координатные функции, непрерывность линейных операторов

Определение:

Л.о. непрерывен в X, если [math]\lim \limits_{\mathcal {4} x \to 0} \mathcal{A} \left( x + \mathcal{4}x \right) = \mathcal{A} \left( x \right) [/math]

Также, непрерывность л.о. совпадает с его непрерывностью в нуле.

В [math]\mathbb{R}^n[/math] сходимость покоординатная. [math]\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|[/math] (по неравенству Коши для сумм), таким образом, из [math]\overline x \to 0[/math] неизбежно следует [math]\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0[/math]

Утверждение:

[math]\left \| \mathcal{A} \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2}[/math]

[math]\triangleright[/math]

[math]\overline y = \mathcal{A} \overline x, y_j = \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k[/math] — здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: [math]\mathcal{A} \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \longleftrightarrow \mathcal{A} = \left ( a_{jk} \right )[/math], где [math]j[/math] и [math]k[/math] пробегают от [math]1[/math] до [math]n[/math] и [math]m[/math] соответственно, а [math]\mathcal{A} \overline x [/math] — результат действия л.о. [math]\mathcal{A}[/math] на точку [math]\overline x[/math] можно представить в виде произведения матрицы [math]\mathcal{A}[/math] и столбца [math]x[/math]. В [math]\mathbb{R}^n[/math] сходимость покоординатная. [math]\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|[/math] (по неравенству Коши для сумм), таким образом, из [math]\overline x \to 0[/math] неизбежно следует [math]\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0[/math] Итак, линейный оператор, действующий из одного конечномерного пространства в другое, всегда непрерывен.

[math]\triangleleft[/math]

Вопрос №34. Дифференциал отображения и частные производные, дифференцируемость суперпозиции

Определение:

Пусть [math]V_{r}(x)[/math] —шар в [math]X, \quad \mathcal{F} : V_r(x) \to Y [/math]. [math]\mathcal{F}[/math] — дифференцируема в точке [math]x[/math], если существует зависящий от [math] x [/math] ограниченный линейный оператор [math]\mathcal{A} : X \to Y[/math], такой, что если [math]\left \| \Delta x \right \| \lt r \quad (x + \Delta x \in V_r(x))[/math], то: [math] \mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) = \mathcal{A}(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \left \| \Delta x \right \| [/math], причем [math] \alpha(\Delta x) \rightarrow 0[/math] при [math]\Delta x \rightarrow 0[/math] Тогда [math]\mathcal{A}(x) = \mathcal{F}'(x)[/math] — производная Фреше отображения [math]\mathcal{F}[/math] в точке [math]x[/math].

Теорема:

Композиция дифференцируемых отображений дифференцируема. Производная Фреше равна композиции производных Фреше отображений. Пусть [math]\mathcal{F} : V_r(x) \to Y, y = \mathcal{F}(x), \mathcal{G} : V_{r_1}(y) \to Z \quad \exists \mathcal{F}'(x), \mathcal{G}'(y), \mathcal{T} = \mathcal{G} \circ \mathcal{F}[/math], тогда [math]\exists \mathcal{T}'(x) = \mathcal{G}'(y)\mathcal{F}'(x)[/math]

Определение:

Данный предел называется частной производной первого порядка функции [math]\mathcal{F}_i[/math] по переменной [math]x_j[/math]. [math]A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h} = \frac{\partial \mathcal{F}_i}{\partial x_j}[/math]

Вопрос №35. Формула конечных приращений для функции многих переменных

[math]\mathcal{F}_i(\overline{a}) - \mathcal{F}_i(\overline{b}) = \mathcal{F}'_i(\theta_i\overline{a}+(1-\theta_i)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b})[/math]

Вопрос №36. Неравенство Лагранжа

Теорема (Неравенство Лагранжа):

Пусть [math]V[/math] — шар в [math]\mathbb{R}^n, \quad \mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m, \quad \mathcal{F}[/math] —дифференцируема в каждой точке шара, тогда: [math]\forall \overline{a},\overline{b} \in V : \left|\left| \mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right| \le M\left|\left|\overline{b}-\overline{a}\right|\right|[/math], где [math]M = \sup\limits_{x \in [\overline{a},\overline{b}]} \left|\left|\mathcal{F}'(\overline{x})\right|\right| [/math]

Вопрос №37. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных

Теорема:

Пусть [math]V(a) \subset \mathbb{R}^n[/math] [math]y = f(x_1,...,x_n)[/math], [math]y : V \to \mathbb{R}[/math] [math]\forall x \in V: \ \exists \frac{\partial f}{\partial x_j}[/math], каждая из которых, как функция [math]n[/math] переменных, непрерывна в [math]\overline{a} :\lim\limits_{\overline{x} \to \overline{a}}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x}) = \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a})[/math]. Тогда существует дифференциал этой функции в точке [math]a[/math].

Вопрос №38. Дифференциалы высших порядков, теорема о смешанных производных

Определим частные производные и дифференциалы высших порядков.

[math]\frac \partial{\partial x_j}[/math] — оператор, дифференцирующий функцию по [math]x_j[/math]. Последовательное применение такого рода оператора даёт нам частные производные высших порядков. Пусть [math]z = f(x,y)[/math]. Тогда [math]\frac \partial{\partial y} \left ( \frac {\partial f}{\partial x} \right )\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}[/math] — частная производная второго порядка функции [math]f[/math]. Дифференцирование осуществляется по переменной в знаменателе, слева направо.

Теорема (О смешанных производных):

Пусть в двумерном шаре у функции [math]z = f(x,y)[/math] существуют смешанные производные второго порядка и каждая из них непрерывна в некоторой точке [math]\overline a[/math] этого шара. Тогда в [math]\overline a[/math]: [math]\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y} (\overline a)=\frac {\partial^2 f}{\partial y \partial x}(\overline a)[/math]

Вопрос №39. Формула Тейлора для функции многих переменных

[math]f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}f(\overline a)}{k!}+\frac {d^{n+1}f(\overline a+\theta\Delta \overline a)}{(n+1)!}[/math]

Вопрос №40. Безусловный экстремум: необходимое и достаточное условия

Определение:

Пусть задан линейный функционал [math]y = f(x_1, x_2, \dots, x_n) [/math] на [math] V(\overline{a}) \subset R^n [/math]. Если при [math]\| \Delta \overline{a} \| \le \delta[/math], [math]\delta \approx 0 \Rightarrow f(\overline{a} + \Delta \overline{a}) \le f(\overline{a})[/math], то [math]a[/math] — точка локального максимума. Аналогично определяется точка локального минимума.

Теорема (Аналог теоремы Ферма):

Пусть [math]f[/math] дифференцируема в точке локального экстремума [math]a[/math]. Тогда [math]\forall j = 1..n : \frac{\partial{f}}{\partial{x_j}} \overline{a} = 0[/math]

Вопрос №41. Локальная теорема о неявном отображении

Теорема (О неявном отображении):

Пусть для [math]f[/math] поставлена задача о неявном отображении, с начальными данными [math](x_0,y_0)[/math]. Известно, что в окрестности начальных данных[math]f_{\overline y}'[/math] непрерывно зависит от [math]\overline x,\overline y[/math] и непрерывно обратима в [math](x_0,y_0)[/math]. Тогда в некоторой окрестности начальных данных неявное отображение существует.

TODO: здесь надо еще написать что-нибудь типа определения неявного отображения

Вопрос №42. Исследование функции многих переменных на условный экстремум

[math]z=f(\overline x, \overline y),~\overline x=(x_1,\dots x_n),~\overline y=(y_1,\dots y_m)[/math]. Пусть заданы «уравнения связи» в количестве m:

[math]\begin{cases} g_1(\overline x,\overline y)=0\\ g_2(\overline x,\overline y)=0\\ \dots\\ g_m(\overline x,\overline y)=0 \end{cases};[/math]

[math](\overline{x_0},\overline{y_0})[/math] — условный максимум функции [math]f[/math], если для всех [math]\overline x \approx \overline{x_0},~\overline y \approx \overline{y_0}[/math] и [math](\overline x,\overline y)[/math], удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство [math]f(\overline x,\overline y)\le f(\overline {x_0},\overline {y_0})[/math]. Если же [math]f(\overline x,\overline y)\ge f(\overline {x_0},\overline {y_0}),~(\overline{x_0},\overline{y_0})[/math] — условный минимум.

Вопрос №43. Определенный интеграл, зависящий от параметра: непрерывность, интегрирование и дифференцирование

<wikitex> Рассматриваем $ z = f(x, y) $, заданную на прямоугольнике $ a \le x \le b; \quad c \le y \le d $.

$ f $ непрерывна.

$ F(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx $ - интеграл, зависящий от параметра.

1. $ F(y) $ - непрерывна на $ [c; d] $.
2. Если существует непрерывная $ \frac{\partial f}{\partial y} $, то cуществует $ F'(y) = \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $ - формула Лейбница.
3. $ \int\limits_c^d F(y) dy = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $ - формула читается справа налево, является повторным интегралом и по сути означает смену местами интегралов по двум переменным.

</wikitex>

Вопрос №44. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра, признак Вейерштрасса

<wikitex> Если выполняется следующее условие: $ f $ непрерывна, $ \forall \varepsilon > 0 : \exists A_0 : \forall A > A_0 , \forall y_0 \in [c; d] \Rightarrow | \int\limits_A^{\infty} f(x, y_0) dx | < \varepsilon $, то $ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx $ равномерно сходится на $ [c; d] $.

Теорема (Вейерштрасс, Признак равномерной сходимости несобственных интегралов):

Пусть $

</wikitex>

Вопрос №45. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: непрерывность

<wikitex> $ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \stackrel{?}{\Rightarrow} \Delta F(y) \xrightarrow[\Delta y \to 0]{} 0 $ </wikitex>

Вопрос №46. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: интегрирование

<wikitex> $ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx = \int\limits_a^{\infty} dx \int\limits_c^d f(x,y) dy $ </wikitex>

Вопрос №47. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: дифференцирование

<wikitex> $ \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx = \left( \int\limits_c^{y} g(t) dt \right)' = \left( \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \right)' $ </wikitex>

Вопрос №48. Понятие о Гамма и Бета функциях Эйлера

<wikitex> $ B (a, b) = \int\limits_0^1 x^{a - 1} (1 - x)^{b - 1} dx $

$ \Gamma (a) = \int\limits_0^{\infty} x^{a - 1} e^{-x} dx $

В обоих случаях: интегралы, зависящие от параметра.

Легко понять, что $ B (a, b) $ Сходится при $ a, b > 0 $; $ \Gamma(a) $ сходится при $ a > 0 $. </wikitex>

Вопрос №49. Интеграл Римана по прямоугольнику: критерий существования

[math](\bar{x_i}, \bar{y_i}) \in \Pi_{ij}[/math]

[math]\sigma(f, \tau) = \sum\limits_{i= 0}^{n - 1} \sum\limits_{j = 0}^{m - 1} f(\bar{x_i}, \bar{y_j}) \delta x_i \delta y_j[/math]

[math]|\Pi_{ij}| = \delta x_i \delta y_j[/math]

Определение:

Двойной интеграл [math]\iint\limits_\Pi f = \iint\limits_\Pi f(x, y) dx dy = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma(f, \tau)[/math]

[math]\underline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} m_{ij} \delta x_i \delta y_j[/math],

[math]\overline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} M_{ij} \delta x_i \delta y_j[/math]

если [math]f[/math] — непрерывна на [math] \Pi [/math], то существует [math]\iint\limits_\Pi f[/math](достаточное условие интегрируемости).

Вопрос №50. Аддитивность интеграла по прямоугольнику

Если [math]\Pi[/math] разбито на конечное число прямоугольников [math]p[/math], и они не имеют общих внутренних точек, то:

• [math]\exists \iint\limits_\Pi f \iff \forall m \in \mathbb N : m \leq p \ \exists \iint\limits_{\Pi_m} f[/math]
• [math]\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{m = 1}^p \, \iint\limits_{\Pi_m} f[/math]

Вопрос №51. Формула повторного интегрирования для прямоугольника

А ВАС ЭТО НЕ СПРОСЯТ

Вопрос №52. Критерий квадрируемости фигуры по Жордану

Определение:

[math]E \subset \mathbb{R}^2[/math] квадрируема по Жордану, если существует [math]\iint\limits_E 1[/math]. Значение этого интеграла называется 'площадью фигуры'.

Вопрос №53. Условие существования интеграла по квадрируемому компакту

Теорема:

Пусть [math]E[/math] — квадрируемый компакт на плоскости, [math]f[/math] непрерывна на [math]E[/math]. Тогда существует [math]\iint\limits_E f[/math].

Вопрос №54. Формула повторного интегрирования в общем случае

А ВАС ЭТО НЕ СПРОСЯТ

Вопрос №55. Вычисление площади фигуры в криволинейных координатах

[math]\int \int dx dy = \int \int | J(u, v) | du dv [/math]

Вопрос №56. Замена переменных интегрирования в двойном интеграле

[math]\mathcal{J}(u_1, \ldots, u_n) = \left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x_1}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial u_n} \\\vdots & \ddots & \vdots \\\frac{\partial x_n}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial u_n} \\\end{array}\right| \ne 0[/math]

[math]\int\limits_E f(\bar x) d \bar x = \int\limits_{E'} f(\bar x(\bar u)) |\mathcal{J}(\bar u)| d \bar u[/math]